{"id":248,"date":"2023-07-10T13:40:44","date_gmt":"2023-07-10T13:40:44","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/symmetrischer-punkt-durch-berucksichtigung-eines-anderen-punktes-auf-einer-linie-und-auf-einer-formelebene\/"},"modified":"2023-07-10T13:40:44","modified_gmt":"2023-07-10T13:40:44","slug":"symmetrischer-punkt-durch-berucksichtigung-eines-anderen-punktes-auf-einer-linie-und-auf-einer-formelebene","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/symmetrischer-punkt-durch-berucksichtigung-eines-anderen-punktes-auf-einer-linie-und-auf-einer-formelebene\/","title":{"rendered":"Punkt symmetrisch in bezug auf einen anderen punkt, eine linie und eine ebene"},"content":{"rendered":"

Hier erfahren Sie, wie Sie den Symmetriepunkt in Bezug auf einen anderen Punkt, in Bezug auf eine Linie und in Bezug auf eine Ebene berechnen. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele und \u00dcbungen sehen, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. <\/p>\n

<\/span> Punkt symmetrisch zu einem anderen Punkt<\/span><\/h2>\n

Bevor wir uns ansehen, wie der symmetrische Punkt berechnet wird, schauen wir uns an, was genau ein symmetrischer Punkt in Bezug auf einen anderen Punkt ist:<\/p>\n

Punkt A‘ ist der symmetrische Punkt von Punkt A in Bezug auf einen anderen Punkt M, wenn Punkt A‘ symmetrisch im gleichen Abstand von Punkt M liegt wie der Abstand zwischen den Punkten A und M. Daher ist M der Mittelpunkt des Segments, das durch gebildet wird Punkte A und A‘.<\/strong> <\/p>\n

\n
\"Punkt<\/figure>\n<\/div>\n

\"d(A,M)<\/p>\n<\/p>\n

Andererseits sagen wir auch, dass Punkt M das Symmetriezentrum ist.<\/p>\n

Um die Koordinaten des Symmetriepunkts zu berechnen, verwenden wir die Formel f\u00fcr den Mittelpunkt eines Segments<\/a> :<\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{A+A'}{2}=M\"<\/p>\n<\/p>\n

Aus dieser Gleichung extrahieren wir den unbekannten Punkt A‘ und erhalten die Formel f\u00fcr den Punkt, der symmetrisch zu einem anderen Punkt ist:<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n

\"\\color{orange}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Beispiel f\u00fcr die Feststellung, dass der Punkt in Bezug auf einen anderen Punkt symmetrisch ist<\/span><\/h3>\n

Als Beispiel berechnen wir den Symmetriepunkt von Punkt A in Bezug auf Punkt M. Betrachten Sie die beiden Punkte:<\/p>\n<\/p>\n

\"A(1,3,0)<\/p>\n<\/p>\n

Um den Symmetriepunkt zwischen diesen beiden Punkten zu bestimmen, wenden wir die Formel f\u00fcr den Symmetriepunkt in Bezug auf einen anderen an:<\/p>\n<\/p>\n

\"A'<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt ersetzen wir die Punkte in der Formel:<\/p>\n<\/p>\n

\"A'<\/p>\n<\/p>\n

Und wir betreiben: <\/p>\n<\/p>\n

\"A'<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bm{A'=(-3,5,4)}\"<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Punkt symmetrisch zu einer Geraden<\/span><\/h2>\n

Wir haben gerade die Vorstellung eines Punktes gesehen, der in Bezug auf einen anderen Punkt symmetrisch ist. Nun, die Symmetrie eines Punktes bez\u00fcglich einer Linie ist sehr \u00e4hnlich:<\/p>\n

Punkt A‘ ist der symmetrische Punkt von Punkt A bez\u00fcglich einer Geraden, wenn die beiden Punkte A‘ und A auf derselben Geraden senkrecht zur Geraden liegen und au\u00dferdem der Abstand zwischen Punkt A‘ und der Geraden gleich dem Abstand ist zwischen Punkt A und der Linie.<\/strong> <\/p>\n

\n
\"symmetrischer<\/figure>\n<\/div>\n

\"d(A,r)=<\/p>\n<\/p>\n

Die Gerade r<\/em> ist also auch eine Symmetrieachse zwischen den Punkten.<\/p>\n

Um also den Symmetriepunkt des Punktes A in Bezug auf die Gerade r<\/em> zu bestimmen, m\u00fcssen wir das folgende Verfahren befolgen:<\/p>\n

    \n
  1. \n
  2. Wir finden die Ebene senkrecht zur Linie r<\/em> , die durch Punkt A geht (Ebene \u03c0 der vorherigen grafischen Darstellung). Dazu m\u00fcssen wir den Richtungsvektor der Linie verwenden, der der Normalenvektor der Ebene ist.<\/span><\/li>\n
  3. Wir berechnen den Schnittpunkt<\/a> zwischen der gefundenen Ebene und der Geraden (Punkt M im vorherigen Bild).<\/span><\/li>\n
  4. Wir verwenden die symmetrische Punkt-\u00fcber-Punkt-Formel (siehe Abschnitt oben), um den symmetrischen Punkt von Punkt A in Bezug auf Punkt M zu finden. Das Ergebnis ist der symmetrische Punkt, nach dem wir gesucht haben.<\/span> <\/li>\n<\/ol>\n

    <\/span> Beispiel f\u00fcr die Berechnung des Symmetriepunkts bez\u00fcglich einer Geraden<\/span><\/h3>\n

    Sobald wir wissen, wie man den Symmetriepunkt eines anderen Punktes in Bezug auf eine Linie berechnet, sehen wir eine beispielhaft gel\u00f6ste \u00dcbung:<\/p>\n