{"id":247,"date":"2023-07-10T14:01:40","date_gmt":"2023-07-10T14:01:40","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/implizite-allgemeine-oder-kartesische-gleichung-der-ebene\/"},"modified":"2023-07-10T14:01:40","modified_gmt":"2023-07-10T14:01:40","slug":"implizite-allgemeine-oder-kartesische-gleichung-der-ebene","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/implizite-allgemeine-oder-kartesische-gleichung-der-ebene\/","title":{"rendered":"Implizite, allgemeine oder kartesische gleichung der ebene"},"content":{"rendered":"

Erl\u00e4uterung, wie die implizite Ebenengleichung (Formel), auch allgemeine oder kartesische Gleichung genannt, berechnet wird. Dar\u00fcber hinaus erfahren Sie, wie Sie die Gleichung der Ebene aus ihrem Normalenvektor ermitteln. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Beispiele und \u00dcbungen Schritt f\u00fcr Schritt l\u00f6sen sehen. <\/p>\n

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<\/span> Was ist die implizite oder allgemeine Gleichung des Plans? <\/span><\/h2>\n
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In der analytischen Geometrie ist die implizite Gleichung einer Ebene<\/strong> , auch allgemeine<\/strong> oder kartesische<\/strong> Gleichung der Ebene genannt, eine Gleichung, die es erm\u00f6glicht, jede Ebene mathematisch auszudr\u00fccken. Um die implizite oder allgemeine Gleichung einer Ebene zu finden, ben\u00f6tigen wir einen Punkt und zwei linear unabh\u00e4ngige Vektoren, die zu dieser Ebene geh\u00f6ren. <\/p>\n

<\/span> Formel der impliziten oder allgemeinen Gleichung des Plans <\/span><\/h2>\n
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Betrachten Sie einen Punkt und zwei Richtungsvektoren einer Ebene:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{c}<\/p>\n<\/p>\n

Die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung einer Ebene erh\u00e4lt man, indem man die folgende Determinante l\u00f6st und das Ergebnis gleich 0 setzt:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Somit lautet die implizite oder allgemeine Gleichung des resultierenden Plans<\/strong> wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n

\"Ax+By+Cz+D=0\"<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

Wichtig ist, dass die beiden Vektoren in der Formel linear unabh\u00e4ngig voneinander sind, also unterschiedliche Richtungen haben m\u00fcssen. Und damit diese Bedingung erf\u00fcllt ist, reicht es aus, dass die beiden Vektoren nicht parallel sind. <\/p>\n

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\"implizite<\/figure>\n<\/div>\n

Obwohl es nicht notwendig ist, den Grund f\u00fcr diese Formel zu kennen, k\u00f6nnen Sie ihre Demonstration unten sehen.<\/p>\n

Ausgehend von den parametrischen Gleichungen eines Plans gehen wir zur impliziten (oder allgemeinen) Gleichung des Plans \u00fcber:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Zuerst \u00fcbergeben wir den unabh\u00e4ngigen Term jeder parametrischen Gleichung an die andere Seite der Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Oder gleichwertig:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Damit das obige Gleichungssystem eine zul\u00e4ssige L\u00f6sung hat, muss der Rang der folgenden Matrix gleich 2 sein (Theorem von Rouche-Frobenius):<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\begin{pmatrix}\\text{u}_x<\/p>\n<\/p>\n

Wenn also der Bereich der vorherigen Matrix zwei sein muss, muss die 3×3-Determinante notwendigerweise gleich Null sein:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\begin{vmatrix}\\text{u}_x<\/p>\n<\/p>\n

Und indem wir diese Determinante l\u00f6sen, erhalten wir die allgemeine, implizite oder kartesische Gleichung einer Ebene:<\/p>\n<\/p>\n

\"Ax+By+Cz+D=0\"<\/p>\n<\/p>\n

Wir haben also gerade die implizite (oder allgemeine) Gleichung und die parametrischen Gleichungen der Ebene gesehen, es gibt jedoch noch mehr M\u00f6glichkeiten, eine Ebene analytisch auszudr\u00fccken, wie zum Beispiel die Vektorgleichung und die kanonische Gleichung. Die Formel und Erkl\u00e4rung aller Gleichungen im Plan<\/a> finden Sie unter diesem Link. <\/p>\n

<\/span> Beispiel daf\u00fcr, wie man die implizite oder allgemeine Gleichung der Ebene findet <\/span><\/h2>\n
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Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie man die implizite (oder allgemeine oder kartesische) Gleichung einer Ebene bestimmt:<\/p>\n