Die Hyperbel ist eine offene Kurve mit zwei \u00c4sten, deren mathematische Definition wie folgt lautet:<\/p>\n
In der analytischen Geometrie ist eine Hyperbel der Ort von Punkten auf der Ebene, der die folgende Bedingung erf\u00fcllt: Der Absolutwert der Abstandsdifferenz zwischen einem beliebigen Punkt der Hyperbel und zwei festen Punkten (Brennpunkten genannt) muss konstant sein.<\/strong><\/p>\n Dar\u00fcber hinaus entspricht der Wert der Subtraktion dieser beiden Abst\u00e4nde immer dem Abstand zwischen den beiden Eckpunkten der Hyperbel. <\/p>\n<\/p>\n Unten sehen wir, was der Koeffizient bedeutet<\/p>\n<\/p>\n einer \u00dcbertreibung. <\/p>\n Dar\u00fcber hinaus geh\u00f6rt die Hyperbel zusammen mit dem Umfang, der Ellipse und der Parabel zur geometrischen Gruppe, die Kegelschnitte genannt wird. Daher ist eine Hyperbel ein Kegelschnitt, oder mit anderen Worten, sie kann aus einem Kegel erhalten werden.<\/p>\n Insbesondere ist eine Hyperbel das Ergebnis des Schnitts eines Kegels durch eine Ebene mit einem Winkel, der kleiner ist als der Winkel, den der Erzeuger des Kegels mit seiner Rotationsachse bildet. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n Die Eigenschaften einer Hyperbel h\u00e4ngen von Folgendem ab:<\/p>\n Zun\u00e4chst einmal sagen wir, dass Halbachse die H\u00e4lfte einer Achse bedeutet. Beispielsweise ist die wahre Halbachse das Segment, das vom Punkt A zum Mittelpunkt der Hyperbel verl\u00e4uft und dessen L\u00e4nge betr\u00e4gt<\/p>\n<\/p>\n Somit besteht ein sehr wichtiger Zusammenhang zwischen der realen Halbachse, der imagin\u00e4ren Halbachse und der halben Brennweite. Tats\u00e4chlich wird die Formel, die wir als n\u00e4chstes ableiten werden, h\u00e4ufig zur L\u00f6sung von Hyperbel\u00fcbungen und -problemen verwendet.<\/p>\n Sie sollten wissen, dass die Punkte B und B‘ einer Hyperbel den Schnittpunkten der Hauptachse und des imagin\u00e4ren Kreises mit Radius entsprechen<\/p>\n<\/p>\n (Halbbrennweite) vom Mittelpunkt zum Punkt A. Wie Sie in der folgenden grafischen Darstellung sehen k\u00f6nnen, stimmt das Segment, das Punkt A und Punkt B verbindet, mit dem Radius des Kreises \u00fcberein (<\/p>\n ): <\/p>\n Aus dem Satz des Pythagoras kann also gezeigt werden, dass die Beziehung zwischen den Parametern besteht<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n ist das Folgende: <\/p>\n<\/p>\n Es gibt verschiedene Arten von Hyperbelgleichungen, da je nach ihren Eigenschaften die eine oder die andere verwendet wird, um sie mathematisch auszudr\u00fccken. Als n\u00e4chstes werden wir jeden im Detail analysieren.<\/p>\n Zuerst haben wir die gew\u00f6hnliche Gleichung<\/strong> der Hyperbel. Zweitens werden wir eine Variante der gew\u00f6hnlichen Gleichung sehen, das ist die reduzierte oder kanonische Gleichung<\/strong> der Hyperbel. Als n\u00e4chstes werden wir untersuchen, wie die allgemeine Gleichung<\/strong> einer Hyperbel lautet. Und schlie\u00dflich analysieren wir die Gleichungen zweier Spezialf\u00e4lle von Hyperbeln: der gleichseitigen Hyperbel<\/strong> und der konjugierten Hyperbeln<\/strong> . <\/p>\n Wenn wir durch eine Gleichung eine Hyperbel mit einem \u00e4u\u00dferen Mittelpunkt im Koordinatenursprung (Punkt (0,0)) definieren wollen, m\u00fcssen wir die folgende Formel verwenden: <\/p>\n Die Formel f\u00fcr die gew\u00f6hnliche Gleichung der Hyperbel<\/strong> in kartesischen Koordinaten lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n Gold:<\/p>\n Und<\/p>\n sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Hyperbel:<\/p>\n ist die L\u00e4nge der gro\u00dfen Halbachse der Hyperbel.<\/li>\n ist die L\u00e4nge der kleinen Halbachse der Hyperbel.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n Mit dieser Gleichung kann man Hyperbeln beschreiben, deren Brennachse horizontal liegt (nach links und rechts offene \u00c4ste), was Hyperbeln normalerweise sind. Wenn wir jedoch mit einer vertikalen Brennachse arbeiten (\u00c4ste \u00f6ffnen sich von oben nach unten), geht das negative Vorzeichen von der Variablen y auf<\/em> die Variable x<\/em> \u00fcber:<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n sind wie zuvor die Koordinaten des Mittelpunkts der Hyperbel und die Terme<\/p>\n Und<\/p>\n Sie sind immer noch die gro\u00dfe Halbachse und die kleine Halbachse der Hyperbel, obwohl diese beiden nun im Gegensatz zu zuvor vertikal bzw. horizontal ausgerichtet sind. <\/p>\n Diese Art von Hyperbelgleichung ist der gew\u00f6hnlichen Gleichung sehr \u00e4hnlich. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die kanonische Gleichung verwendet wird, um Hyperbeln analytisch auszudr\u00fccken, deren Mittelpunkt der Punkt (0,0) ist. Daher verwenden wir die kanonische oder reduzierte Gleichung der Hyperbel, wenn der Mittelpunkt der Hyperbel der Koordinatenursprung ist.<\/strong><\/p>\n Wir werden nun die Formel f\u00fcr die reduzierte Gleichung der Hyperbel aus ihrer gew\u00f6hnlichen Gleichung ableiten:<\/p>\n<\/p>\n Wenn der Mittelpunkt der Hyperbel der Koordinatenursprung, also der Punkt (0,0), sein soll, gilt immer:<\/p>\n<\/p>\n Somit lautet die kanonische oder reduzierte Gleichungsformel der Hyperbel:<\/p>\n<\/p>\n Wenn die Brennachse wie zuvor vertikal statt horizontal w\u00e4re, w\u00e4re die negative Variable x<\/em> : <\/p>\n<\/p>\n Die Formel f\u00fcr die allgemeine Gleichung einer Hyperbel lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n Damit die obige Gleichung jedoch eine Hyperbel ist, sind die Koeffizienten<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n Sie m\u00fcssen von Null verschieden sein und gleichzeitig das umgekehrte Vorzeichen haben. <\/p>\n Eine gleichseitige Hyperbel<\/strong> ist eine Hyperbel, bei der die L\u00e4nge der realen Halbachse der L\u00e4nge der imagin\u00e4ren Halbachse entspricht, das hei\u00dft<\/p>\n<\/p>\n Daher lautet die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel:<\/p>\n<\/p>\n Au\u00dferdem stehen die Asymptoten der gleichseitigen Hyperbeln senkrecht zueinander. Und die Gleichungen dieser Linien lauten wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n Wenn wir genau hinsehen, sind diese beiden Gleichungen die Winkelhalbierenden des ersten (und dritten) Quadranten bzw. des zweiten (und vierten) Quadranten. Wenn wir also eine gleichseitige Hyperbel um 45\u00b0 nach links drehen, nehmen ihre Asymptoten die Stelle der Koordinatenachsen ein: <\/p>\n Wenn wir also die 45\u00b0-Kurve machen, lautet die Gleichung f\u00fcr die Hyperbel: <\/p>\n<\/p>\n Zwei Hyperbeln sind konjugiert, wenn die reale Achse der einen mit der imagin\u00e4ren Achse der anderen \u00fcbereinstimmt<\/strong> . Daher besteht der einzige Unterschied zwischen den Gleichungen zweier konjugierter Hyperbeln darin, welche Variable negiert wird, da die Koeffizienten der Nenner gleich bleiben m\u00fcssen.<\/p>\n Hier ist ein Beispiel f\u00fcr die Gleichungen zweier miteinander konjugierter Hyperbeln: <\/p>\n<\/p>\n Dar\u00fcber hinaus haben die konjugierten Hyperbeln, wie Sie an den grafisch dargestellten Hyperbeln erkennen k\u00f6nnen, die gleichen Asymptoten.<\/p>\n Wie Sie in den vorherigen Grafiken gesehen haben, hat jede Hyperbel zwei Asymptoten. Denken Sie daran, dass eine Asymptote eine gerade Linie ist, die einer Funktion sehr nahe kommt, sie aber nie ganz schneidet oder ber\u00fchrt.<\/p>\n Die Formeln, die den Asymptoten der Hyperbeln entsprechen, lauten also:<\/p>\n<\/p>\n Damit lassen sich die Asymptoten jeder Hyperbel anhand ihrer Koeffizienten leicht bestimmen<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n Dies sind jeweils die L\u00e4ngen der realen Halbachse und der imagin\u00e4ren Halbachse der Hyperbel. <\/p>\n Die Exzentrizit\u00e4t einer Hyperbel<\/strong> ist ein charakteristischer Parameter, der bestimmt, wie offen oder geschlossen sie ist. Numerisch wird die Exzentrizit\u00e4t einer Hyperbel berechnet, indem man ihre halbe Brennweite durch ihre reale Halbachse dividiert:<\/p>\n<\/p>\n Die Exzentrizit\u00e4t jeder Hyperbel ist immer gr\u00f6\u00dfer als 1:<\/p>\n<\/p>\n Der Wert dieses Parameters ist sehr relevant, da er die Form einer bestimmten Hyperbel angibt. Je n\u00e4her die Exzentrizit\u00e4t einer Hyperbel bei 1 liegt, desto geschlossener sind ihre \u00c4ste; Andererseits sind die Zweige umso offener, je gr\u00f6\u00dfer der Wert der Exzentrizit\u00e4t ist. <\/p>\n Abschlie\u00dfend ist zu beachten, dass die Exzentrizit\u00e4t einer gleichseitigen Hyperbel immer gleich ist <\/p>\n<\/p>\n Nachfolgend k\u00f6nnen Sie die Konzepte, die wir gesehen haben, anhand von Problemen und gel\u00f6sten \u00dcbungen zu Hyperbeln und der Hyperbelgleichung \u00fcben.<\/p>\n Wie lautet die Gleichung der Hyperbel mit Mittelpunkt im Punkt (-1,3), L\u00e4nge der realen Halbachse von 3 Einheiten und L\u00e4nge der imagin\u00e4ren Halbachse (parallel zur Y-Achse) von 7 Einheiten? <\/p>\n Um die Gleichung der Hyperbel zu finden, wenden Sie einfach die Formel f\u00fcr die gew\u00f6hnliche Gleichung der Hyperbel an:<\/p>\n<\/p>\n Wir setzen die Koordinaten des Mittelpunkts der Hyperbel in die Gleichung ein: <\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich ersetzen wir die Werte der Unbekannten<\/p>\n<\/p>\n Und <\/p>\n Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts, der Eckpunkte, der Brennpunkte, den Wert der Exzentrizit\u00e4t und die Asymptoten der Hyperbel, deren Gleichung definiert ist durch: <\/p>\n<\/p>\n Zun\u00e4chst ist zu beachten, dass die negative Variable in der Gleichung die Variable y<\/em> ist, sodass sich die Zweige der Hyperbel nach rechts und links \u00f6ffnen (Brennachse parallel zur X-Achse).<\/p>\n Zweitens entspricht die Gleichung der kanonischen (oder reduzierten) Gleichung der Hyperbel, sodass ihr Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist.<\/p>\n<\/p>\n Sobald wir den Mittelpunkt der Hyperbel kennen, m\u00fcssen wir zur Berechnung aller anderen Punkte den Wert der realen Halbachse (Parameter) ermitteln<\/p>\n<\/p>\n ) und die imagin\u00e4re Halbachse (Parameter<\/p>\n ). Beides k\u00f6nnen wir aus der Formel der kanonischen (oder reduzierten) Gleichung der Hyperbel ableiten: <\/p>\n<\/p>\n Wenn also zwischen dem Mittelpunkt und den Eckpunkten ein Abstand von 5 Einheiten besteht, bedeutet dies, dass die Eckpunkte der Hyperbeln wie folgt sind:<\/p>\n<\/p>\n Um die Koordinaten jedes Brennpunkts zu bestimmen, m\u00fcssen Sie den Wert der halben Brennweite (Parameter) kennen<\/p>\n<\/p>\n ). Und dazu k\u00f6nnen wir die Formel verwenden, die die Elemente einer Hyperbel verbindet: <\/p>\n<\/p>\n Zwischen dem Zentrum und den H\u00e4usern liegt somit eine Fl\u00e4che von 13 Einheiten. Somit sind die Koordinaten jedes Haushalts:<\/p>\n<\/p>\n Um dann die Exzentrizit\u00e4t der Hyperbel zu berechnen, m\u00fcssen wir die entsprechende Formel verwenden:<\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich finden wir die Asymptoten der Hyperbel mit ihren Formeln: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie die Gleichung der Hyperbel mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung unter der Bedingung, dass der Unterschied in den Abst\u00e4nden von einem Punkt der Hyperbel zu den Brennpunkten F(-4,0) und F(4,0) 6 Einheiten betr\u00e4gt. <\/p>\n Da die Hyperbel den Mittelpunkt im Koordinatenursprung hat, verwenden wir zun\u00e4chst die kanonische oder reduzierte Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n Dann muss gem\u00e4\u00df der Definition einer Hyperbel der Absolutwert der Differenz der Abst\u00e4nde von einem ihrer Punkte zu den Brennpunkten (in diesem Fall 6) gleich der L\u00e4nge der realen Achse sein (<\/p>\n<\/p>\n ). Noch: <\/p>\n<\/p>\n Andererseits ist der Mittelpunkt der Hyperbel der Punkt (0,0) und ein Fokus ist der Punkt (4,0). Damit ist der Abstand zu den beiden Punkten (Parameter<\/p>\n<\/p>\n ) sind 4 Einheiten.<\/p>\n<\/p>\n Wir k\u00f6nnen nun den Wert des Parameters kennen<\/p>\n<\/p>\n mit dem mathematischen Zusammenhang zwischen den 3 charakteristischen Koeffizienten der Hyperbel: <\/p>\n<\/p>\n Die Gleichung der Hyperbel lautet also: <\/p>\n<\/p>\n![\"\\lvert](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08f25424560ca1e7449189d00268f0b9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n![\"Definition](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/definition-dhyperbole.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"a\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"Kegelhyperbel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/hyperbole-conique.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Elemente einer Hyperbel<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/p>\n<\/li>\n<\/p>\n<\/li>\n![\"2b.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1d8ead68299e64ffadc626710518ae55_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/li>\n![\"Elemente](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/elements-de-l-hyperbole.webp\")
<\/figure>\n<\/span> Beziehung zwischen den Elementen einer Hyperbel<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"Beziehung](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/elements-de-relation-dune-hyperbole.webp\")
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<\/p>\n<\/p>\n![\"c^2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d7a13f23d60337d2591c3d955d44faf_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Hyperbelgleichung<\/span><\/h2>\n
<\/span> Gew\u00f6hnliche Gleichung der Hyperbel<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/li>\n<\/p>\n![\"b\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Kanonische oder reduzierte Gleichung der Hyperbel<\/span><\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n![\"x_0](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f9ec62f2078baa728f7ebfabffd10153_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Allgemeine Gleichung der Hyperbel<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/span> Gleichseitige Hyperbelgleichung<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"gleichseitige](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-hyperbole-equilaterale.webp\")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> konjugierte Hyperbeln<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"konjugierte](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-des-hyperboles-conjuguees.webp\")
<\/figure>\n<\/span>Asymptoten der Hyperbel<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"b,\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a521efcd0a946cd643aebe98b5b41a3c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/span>Exzentrizit\u00e4t der Hyperbel<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"e](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47a5ae71a1f4a771f6017b1fc5600ec4_l3.png\")
1″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“14″ width=“40″ style=“vertical-align: -2px;“><\/p>\n<\/p>\n![\"Exzentrizit\u00e4t](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/excentricite-dune-hyperbole.webp\")
<\/figure>\n![\"\\sqrt{2}.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dcc432e053b2cf0b17f199b8eb91ab1f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Hyperbelprobleme gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{(x-(-1))^2}{a^2}-\\cfrac{(y-3)^2}{b^2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb8ad6c303104b76fdfe294488c60b30_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{(x+1)^2}{a^2}-\\cfrac{(y-3)^2}{b^2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd828d8d4d401a7179e88f283b89fb0d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"b:\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4586bc1b16791cf732fc00ee37db4357_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{(x+1)^2}{3^2}-\\cfrac{(y-3)^2}{7^2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc9216ffda5e5a35c5349a4c0162f456_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{\\bm{(x+1)^2}}{\\bm{9}}\\bm{-}\\cfrac{\\bm{(y-3)^2}}{\\bm{49}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a6dc9e5e100bccc73644512fcac3344_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2<\/h3>\n
![\"\\cfrac{x^2}{25}-\\cfrac{y^2}{144}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-024bdc18c959ac2ec840e7701edb4c2d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{O(0,0)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6cc3df15d40bf714accb800d97cc619d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{x^2}{a^2}-\\cfrac{y^2}{b^2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c236b71767c0cd45cba2e3be0826c02c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"a^2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c686e5df986b42acb7cae3ffa7226636_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"a](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30e75133dba02b3a9db45660814d8a8a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"a](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05c584db6eed155346c907e19f10f11f_l3.png\" "\\"Rendered")
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