{"id":239,"date":"2023-07-10T18:00:41","date_gmt":"2023-07-10T18:00:41","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/exzentrizitat-der-ellipse\/"},"modified":"2023-07-10T18:00:41","modified_gmt":"2023-07-10T18:00:41","slug":"exzentrizitat-der-ellipse","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/exzentrizitat-der-ellipse\/","title":{"rendered":"Berechnen sie die exzentrizit\u00e4t der ellipse"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was die Exzentrizit\u00e4t der Ellipse bedeutet und wie sie berechnet wird (Formel). Dar\u00fcber hinaus sehen Sie Beispiele f\u00fcr die Berechnung der Ellipsenexzentrizit\u00e4t. <\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-104\"><\/div>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-excentricidad-de-la-elipse\"><\/span> Was ist die Exzentrizit\u00e4t der Ellipse?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Die Exzentrizit\u00e4t einer Ellipse ist ein Parameter, der misst, wie rund oder abgeflacht eine Ellipse ist. Das hei\u00dft, die Exzentrizit\u00e4t einer Ellipse gibt an, wie sehr die Ellipse einem Kreis \u00e4hnelt.<\/strong> <\/p>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-105\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Andererseits erinnern wir uns auch daran, woraus eine Ellipse besteht: Die Ellipse ist der <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ortsdefinition-und-beispiele\/\">Ort<\/a> aller Punkte einer Ebene, deren Summe der Abst\u00e4nde zu zwei anderen festen Punkten (genannt Brennpunkte F und F&#8216;) konstant ist. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-de-la-excentricidad-de-la-elipse\"><\/span> Ellipsen-Exzentrizit\u00e4tsformel <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div class=\"adsb30\" style=\" margin:12px; text-align:center\">\n<div id=\"ezoic-pub-ad-placeholder-106\"><\/div>\n<\/div>\n<p> Nachdem wir die Definition der Exzentrizit\u00e4t der Ellipse gesehen haben, sehen wir uns an, wie sie anhand ihrer Formel berechnet wird: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFCC8080;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px solid #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Die <strong>Formel f\u00fcr die Exzentrizit\u00e4t der Ellipse<\/strong> lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7290cf41b85af2331d8634e251ca44b9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"e=\\cfrac{c}{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"44\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p style=\"text-align:left; margin-bottom:4px\"> Gold:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3fc193f43cc29c1eef788f64ba43c1bd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"e\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die Exzentrizit\u00e4t der Ellipse<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41a04eeea923a1a0c28094a8a4680525_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"c\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"8\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist der Abstand von einem Brennpunkt (Punkte F und F&#8216;) der Ellipse zu ihrem Mittelpunkt<\/li>\n<li>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"a\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"9\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> ist die L\u00e4nge der gro\u00dfen Halbachse (oder Hauptachse) der Ellipse. <\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-dexcentricite-de-lellipse.webp\" alt=\"Formel f\u00fcr die Exzentrizit\u00e4t einer Ellipse\" class=\"wp-image-2143\" width=\"343\" height=\"339\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Denken Sie daran, dass die Brennpunkte einer Ellipse die festen Punkte sind, deren Summe der Abst\u00e4nde zu jedem Punkt auf der Ellipse konstant ist. Dar\u00fcber hinaus wird der Abstand zwischen den beiden Brennpunkten als Brennweite bezeichnet.<\/p>\n<p> Der Exzentrizit\u00e4tswert reicht von Null, was bedeutet, dass es sich um einen perfekten Kreis handelt, bis zu Eins, was bedeutet, dass es sich um eine horizontale Linie handelt. Offensichtlich sind 0 und 1 nicht enthalten, da die resultierenden geometrischen Objekte keine Ellipsen mehr sind.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14599d3dfc5dd832ced7cdb4378e4065_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0 Par cons\u00e9quent, comme vous pouvez le voir dans la repr\u00e9sentation graphique ci-dessous, plus la valeur de l'excentricit\u00e9 de l'ellipse est petite, plus elle ressemble \u00e0 un cercle, au contraire, plus le coefficient est grand, plus l'ellipse est aplatie. \n\n<div class=&quot;wp-block-image&quot;>\n<figure class=&quot;aligncenter size-large is-resized&quot;><img decoding=&quot;async&quot; loading=&quot;lazy&quot; src=&quot;https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/excentricite-dellipse.webp&quot; alt=&quot;valeur de l'excentricit\u00e9 de l'ellipse&quot; class=&quot;wp-image-2095&quot; width=&quot;669&quot; height=&quot;154&quot; srcset=&quot;&quot; sizes=&quot;&quot;><\/figure>\n<\/div>\n<p> En bref, l&#8217;excentricit\u00e9 d&#8217;une ellipse est un coefficient dont la valeur d\u00e9termine la forme qu&#8217;elle a. <\/p>\n<div class=&quot;adsb30&quot; style=&quot; margin:12px; text-align:center&quot;>\n<div id=&quot;ezoic-pub-ad-placeholder-109&quot;><\/div>\n<\/div>\n<p> Si vous \u00eates plus int\u00e9ress\u00e9 par les caract\u00e9ristiques d&#8217;une ellipse, vous pouvez vous r\u00e9f\u00e9rer \u00e0 l&#8216; <a href=&quot;https:\/\/mathority.org\/equation-de-la-formule-de-l'ellipse\/&quot;>\u00e9quation de l&#8217;ellipse<\/a> . Sur cette page, vous trouverez une explication d\u00e9taill\u00e9e de ce qu&#8217;est une ellipse, de tous ses \u00e9l\u00e9ments et de la fa\u00e7on dont son \u00e9quation est calcul\u00e9e. Et, en plus, vous pourrez voir plusieurs exemples, exercices et probl\u00e8mes r\u00e9solus sur des ellipses. <\/p>\n<h2 class=&quot;wp-block-heading&quot;><span class=&quot;ez-toc-section&quot; id=&quot;relacion-importante-para-hallar-la-excentricidad-de-la-elipse&quot;><\/span> Relation importante pour trouver l&#8217;excentricit\u00e9 de l&#8217;ellipse<span class=&quot;ez-toc-section-end&quot;><\/span><\/h2>\n<p> Les diff\u00e9rents \u00e9l\u00e9ments d&#8217;une ellipse sont li\u00e9s les uns aux autres. De plus, les relations entre eux sont tr\u00e8s importantes pour les exercices sur les ellipses, car elles sont g\u00e9n\u00e9ralement n\u00e9cessaires pour r\u00e9soudre des probl\u00e8mes sur les ellipses et d\u00e9terminer leurs \u00e9quations. Comme nous l&#8217;avons vu plus haut dans l&#8217;explication de la notion d&#8217;excentricit\u00e9 de l&#8217;ellipse, la distance de tout point de l&#8217;ellipse au foyer F plus la distance du m\u00eame point au foyer F&#8216; est constante. Eh bien, cette valeur constante est \u00e9gale \u00e0 deux fois ce que mesure le demi-grand axe. Autrement dit, l&#8217;\u00e9galit\u00e9 suivante vaut pour tout point d&#8217;une ellipse :&#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;478&#8243; width=&#8220;3899&#8243; style=&#8220;vertical-align: -4px;&#8220;><\/p>\n<p> d(P,F) + d(P,F&#8216;)= 2a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c2b5745fffac46d01eb44166fb263ed6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" O\u00f9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"24\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> d(P,F)<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34cba514525aad2083c7dec3111c8d4b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"et\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> d(P,F&#8216;)<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-196b5f01a7de97251db68211ac7c5116_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"est la distance du point P au foyer F et F' respectivement et\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"424\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> hat<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a64e3f6d477fb8b92938774b2debd7c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"est la longueur de l'axe semi-focal. Par cons\u00e9quent, puisque le sommet de l'axe secondaire est juste au milieu de l'axe principal, la distance de celui-ci \u00e0 l'un des foyers est \u00e9quivalente \u00e0 la longueur du demi-axe principal (\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"1088\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> hat<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7fa84c41ca006919409ec34bb4eabaa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"): \n\n<div class=&quot;wp-block-image&quot;>\n<figure class=&quot;aligncenter size-large is-resized&quot;><img decoding=&quot;async&quot; loading=&quot;lazy&quot; src=&quot;https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/relation-delements-dellipse.webp&quot; alt=&quot;\u00e9quation de preuve d'ellipse&quot; class=&quot;wp-image-2087&quot; width=&quot;332&quot; height=&quot;197&quot; srcset=&quot;&quot; sizes=&quot;&quot;><\/figure>\n<\/div>\n<p> Par cons\u00e9quent, \u00e0 partir du th\u00e9or\u00e8me de Pythagore, il est possible de trouver <strong>la relation qui existe entre le demi-axe principal, le demi-axe secondaire et la distance semi-focale d&#8217;une ellipse :<\/strong>&#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;195&#8243; width=&#8220;582&#8243; style=&#8220;vertical-align: -5px;&#8220;><\/p>\n<p> a^2=b^2+c^2<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d17620f5d1ac3496df21cdce30ad9fc5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" Retenez \u00e9galement cette autre formule car elle vous sera tr\u00e8s utile pour calculer le r\u00e9sultat des exercices avec des ellipses. \n\n<h2 class=&quot;wp-block-heading&quot;><span class=&quot;ez-toc-section&quot; id=&quot;ejemplo-de-como-calcular-la-excentricidad-de-la-elipse&quot;><\/span> Exemple de calcul de l&#8217;excentricit\u00e9 de l&#8217;ellipse<span class=&quot;ez-toc-section-end&quot;><\/span><\/h2>\n<p> Vous trouverez ci-dessous un exercice r\u00e9solu pour voir comment l&#8217;excentricit\u00e9 d&#8217;une ellipse est calcul\u00e9e :<\/p>\n<ul>\n<li> Trouver l&#8217;excentricit\u00e9 de l&#8217;ellipse dont le demi-grand axe et le demi-grand axe mesurent respectivement 5 et 3 unit\u00e9s.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Pour trouver la valeur de l&#8217;excentricit\u00e9 de l&#8217;ellipse, il faut conna\u00eetre la longueur du demi-axe principal et la longueur du segment entre un foyer et le centre de l&#8217;ellipse. Nous connaissons d\u00e9j\u00e0 le premier, nous n&#8217;avons donc qu&#8217;\u00e0 d\u00e9terminer la distance semi-focale. A partir de la formule de la relation entre les \u00e9l\u00e9ments d&#8217;une ellipse, on peut calculer combien vaut la demi-distance focale : &#8220; title=&#8220;Rendered by QuickLaTeX.com&#8220; height=&#8220;193&#8243; width=&#8220;2952&#8243; style=&#8220;vertical-align: -5px;&#8220;><\/p>\n<p> a^2=b^2+c^2 c^2=a^2-b^2 c=\\sqrt{a^2-b^2} = \\sqrt{5^2-3^2}=\\sqrt {16} = 4<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05a82fe932095d842744854d443304ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\" Et quand on conna\u00eet d\u00e9j\u00e0 la valeur des termes\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"328\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> hat<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-34cba514525aad2083c7dec3111c8d4b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"et\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"14\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> vs,<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad162aa4c12617a7e88c19db14dc717f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Nous pouvons maintenant d\u00e9terminer l'excentricit\u00e9 de l'ellipse :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"18\" width=\"483\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> e= \\cfrac{c}{a} = \\cfrac{4}{5} = \\bm{0,8} $<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite erfahren Sie, was die Exzentrizit\u00e4t der Ellipse bedeutet und wie sie berechnet wird (Formel). Dar\u00fcber hinaus sehen Sie Beispiele f\u00fcr die Berechnung der Ellipsenexzentrizit\u00e4t. Was ist die Exzentrizit\u00e4t der Ellipse? Die Exzentrizit\u00e4t einer Ellipse ist ein Parameter, der misst, wie rund oder abgeflacht eine Ellipse ist. 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