Die Formel f\u00fcr die Gleichung der Ellipse<\/strong> in kartesischen Koordinaten lautet:<\/p>\n<\/p>\n Gold:<\/p>\n Und<\/p>\n sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Ellipse:<\/p>\n ist der horizontale Radius der Ellipse.<\/li>\n ist der vertikale Radius der Ellipse. <\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n Eine sehr h\u00e4ufige Art von Ellipse ist eine, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, also im Punkt (0,0). Deshalb werden wir sehen, wie man die Gleichung der Ellipse findet, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt.<\/p>\n Folgen Sie der Formel f\u00fcr die Ellipsengleichung:<\/p>\n<\/p>\n Wenn die Ellipse auf dem Koordinatenursprung zentriert ist, bedeutet dies Folgendes<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n sind gleich 0, also lautet Ihre Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n Es gibt Mathematiker, die diesen Ausdruck auch kanonische Gleichung oder reduzierte Gleichung der Ellipse nennen.<\/p>\n Sobald wir sehen, wie die Gleichung der Ellipse aussieht, werden wir sehen, was ihre Elemente sind. Aber erinnern wir uns zun\u00e4chst daran, was genau eine Ellipse ist:<\/p>\n Die Ellipse ist eine flache, geschlossene, gekr\u00fcmmte Linie, die dem Umfang sehr \u00e4hnlich ist, ihre Form jedoch eher oval ist. Insbesondere ist die Ellipse der Ort aller Punkte einer Ebene, deren Summe der Abst\u00e4nde zu zwei anderen festen Punkten (genannt Brennpunkte F und F‘) konstant ist.<\/p>\n Die Elemente einer Ellipse sind also:<\/p>\n Die verschiedenen Elemente einer Ellipse sind miteinander verkn\u00fcpft. Dar\u00fcber hinaus sind die Beziehungen zwischen ihnen f\u00fcr \u00dcbungen zu Ellipsen sehr wichtig, da sie normalerweise zum L\u00f6sen von Problemen auf Ellipsen und zur Bestimmung ihrer Gleichungen erforderlich sind.<\/p>\n Wie wir oben bei der Definition der Ellipse gesehen haben, ist der Abstand von jedem Punkt auf der Ellipse zum Brennpunkt F plus der Abstand vom gleichen Punkt zum Brennpunkt F‘ konstant. Nun, dieser konstante Wert entspricht dem Doppelten dessen, was die gro\u00dfe Halbachse misst. Mit anderen Worten, die folgende Gleichung gilt f\u00fcr jeden Punkt auf einer Ellipse:<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n ist der Abstand vom Punkt P zum Fokus F bzw. F‘ und<\/p>\n ist die L\u00e4nge der Halbbrennachse.<\/p>\n Da der Scheitelpunkt der Sekund\u00e4rachse genau in der Mitte der Brennachse liegt, entspricht der Abstand von diesem zu einem der Brennpunkte der L\u00e4nge der Halbprim\u00e4rachse (<\/p>\n<\/p>\n ): <\/p>\n Aus dem Satz des Pythagoras<\/a> l\u00e4sst sich also die Beziehung ermitteln, die zwischen der Haupthalbachse, der Nebenhalbachse und der Halbbrennweite besteht:<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Denken Sie an diese Formel, da sie f\u00fcr die Berechnung der Ergebnisse von \u00dcbungen mit Ellipsen sehr n\u00fctzlich ist. <\/p>\n Nat\u00fcrlich sind nicht alle Ellipsen gleich, aber einige sind l\u00e4nger und andere flacher. Es gibt also einen Koeffizienten, der misst, wie rund eine bestimmte Ellipse ist. Dieser Koeffizient wird Exzentrizit\u00e4t<\/strong> genannt und mit der folgenden Formel berechnet:<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n ist der Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zu einem ihrer Brennpunkte und<\/p>\n die L\u00e4nge der gro\u00dfen Halbachse. <\/p>\n Wie Sie in der vorherigen Darstellung sehen k\u00f6nnen, \u00e4hnelt die Ellipse umso mehr einem Kreis, je kleiner der Wert der Exzentrizit\u00e4t ist. Andererseits gilt: Je gr\u00f6\u00dfer der Koeffizient, desto abgeflachter ist die Ellipse. Dar\u00fcber hinaus reicht der Exzentrizit\u00e4tswert von Null (perfekter Kreis) bis Eins (horizontale Linie), beides nicht inklusive.<\/p>\n<\/p>\n Une fois que nous avons vu toutes les propri\u00e9t\u00e9s de l’ellipse, nous allons r\u00e9soudre un probl\u00e8me d’ellipse \u00e0 titre d’exemple :<\/p>\n Pour d\u00e9terminer l’\u00e9quation d’une ellipse, nous avons besoin de la longueur du demi-axe principal, de la longueur du demi-axe secondaire et des coordonn\u00e9es de son point.<\/strong> Par cons\u00e9quent, dans ce cas, nous n’avons besoin de conna\u00eetre que l’axe semi-secondaire. Ainsi, pour calculer la longueur mesur\u00e9e par l’axe semi-secondaire, nous pouvons utiliser la relation entre l’axe semi-principal, l’axe semi-secondaire et la distance semi-focale : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“215″ width=“2133″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n a^2=b^2+c^2 b^2=a^2-c^2 b=\\sqrt{a^2-c^2} = \\sqrt{5^2-4^2}=\\sqrt {9} = 3<\/p>\n \\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1\\cfrac{(x-4)^2}{5^2 }+\\cfrac{(y-(-1))^2}{3^2} = 1\\cfrac{\\bm{(x-4)^2}}{\\bm{25}}+\\cfrac{\\ bm{(y+1)^2}}{\\bm{9}} \\bm{= 1}<\/p>\n Quelle est l’\u00e9quation de l’ellipse centr\u00e9e au point C(2,0) dont l’axe semi-principal (parall\u00e8le \u00e0 l’axe X) et l’axe secondaire mesurent respectivement 6 et 3 unit\u00e9s ? Repr\u00e9senter graphiquement ladite ellipse. <\/p>\n L’\u00e9quation de l’ellipse est la suivante :“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“208″ width=“1595″ style=“vertical-align: -20px;“><\/p>\n \\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1<\/p>\n \\cfrac{(x-2)^2}{6^2}+\\cfrac{(y-0)^2}{3^2} = 1\\cfrac{\\bm{(x-2)^2}} {\\bm{36}}+\\cfrac{\\bm{y^2}}{\\bm{9}} \\bm{= 1}<\/p>\n Calculer l’\u00e9quation de l’ellipse dont le demi-axe principal (parall\u00e8le \u00e0 l’axe des abscisses) mesure 13 unit\u00e9s, son centre est l’origine des coordonn\u00e9es et la distance de son centre \u00e0 l’un de ses foyers est de 5 unit\u00e9s. <\/p>\n Pour calculer l’\u00e9quation de l’ellipse, nous devons savoir combien de temps mesure l’axe semi-secondaire. Et, pour cela, on peut utiliser la relation math\u00e9matique qui existe entre le demi-axe principal, le demi-axe secondaire et la demi-distance focale : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“299″ width=“2688″ style=“vertical-align: -20px;“><\/p>\n a^2=b^2+c^2 b^2=a^2-c^2 b=\\sqrt{a^2-c^2} = \\sqrt{13^2-5^2}=\\sqrt {144} = 12<\/p>\n \\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1\\cfrac{(x-0)^2}{13^2 }+\\cfrac{(y-0)^2}{12^2} = 1\\cfrac{\\bm{x^2}}{\\bm{169}}+\\cfrac{\\bm{y^2}} {\\bm{144}} \\bm{= 1}<\/p>\n D\u00e9terminer l’\u00e9quation de l’ellipse suivante et les coordonn\u00e9es de ses foyers : <\/p>\n Les sommets horizontaux de l’ellipse sont les points (-4,1) et (10,1). Par cons\u00e9quent, son diam\u00e8tre horizontal et son rayon sont : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“252″ width=“2047″ style=“vertical-align: -20px;“><\/p>\n d_h=10-(-4) =14 a =\\cfrac{14}{2} = 7<\/p>\n d_v=6-(-4) =10 b =\\cfrac{10}{2} = 5<\/p>\n C_x= \\cfrac{10+(-4)}{2} = \\cfrac{6}{2} =3 C_y= \\cfrac{6+(-4)}{2} = \\cfrac{2}{ 2} = 1 C(3.1)<\/p>\n \\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1\\cfrac{(x-3)^2}{7^2 }+\\cfrac{(y-1)^2}{5^2} =1\\cfrac{\\bm{(x-3)^2}}{\\bm{49}}+\\cfrac{\\bm{( y-1)^2}}{\\bm{25}} \\bm{= 1}<\/p>\n a^2=b^2+c^2 c^2=a^2-b^2 c=\\sqrt{a^2-b^2} = \\sqrt{7^2-5^2}=\\sqrt {24}<\/p>\n \\sqrt{24}<\/p>\n C(3,1) \\bm{F\\left(3+\\sqrt{24},1}\\right)} \\bm{F\\left(3-\\sqrt{24},1}\\right)}<\/p>\n Calculez l’\u00e9quation de l’ellipse qui r\u00e9pond aux caract\u00e9ristiques suivantes :<\/p>\n On peut calculer la demi-focale \u00e0 partir de la focale : “ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“185″ width=“1667″ style=“vertical-align: -19px;“><\/p>\n 2c = 6 c=\\cfrac{6}{2} c=3<\/p>\n d(P,F) + d(P,F‘)= 2a 3+5= 2a 8= 2a \\cfrac{8}{2}= a 4= a<\/p>\n a^2=b^2+c^2 b^2=a^2-c^2 b=\\sqrt{a^2-c^2} = \\sqrt{4^2-3^2}=\\sqrt {7}<\/p>\n \\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1\\cfrac{(x-0)^2}{4^2 }+\\cfrac{(y-0)^2}{\\left(\\sqrt{7}\\right)^2} =1\\cfrac{\\bm{x^2}}{\\bm{16}}+\\ cfrac{\\bm{y^2}}{\\bm{7}} \\bm{= 1}$<\/p>\n Wenn dieser Artikel f\u00fcr Sie hilfreich war, werden Sie sicherlich auch an unseren Seiten zur Hyperbelformel<\/a> und zur Parabelformel<\/a> interessiert sein. Sie finden eine detaillierte Erkl\u00e4rung, was die Hyperbel und die Parabel sind, ihre Gleichungen, ihre Eigenschaften, Beispiele, gel\u00f6ste Aufgaben, \u2026<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Hier erfahren Sie, wie die Ellipsengleichung (Formel) berechnet wird, unabh\u00e4ngig davon, ob sie den Ursprung als Mittelpunkt hat oder nicht. Au\u00dferdem erfahren Sie, was die Elemente der Ellipse sind, wie man sie berechnet und wof\u00fcr sie verwendet werden. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie sich Beispiele und gel\u00f6ste Aufgaben zu Ellipsengleichungen ansehen. Ellipsengleichungsformel Die Formel f\u00fcr die …<\/p>\n![\"\\cfrac{(x-x_0)^2}{a^2}+\\cfrac{(y-y_0)^2}{b^2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e29350c8a9f9271d7c58bb5636661eae_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
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<\/p>\n<\/li>\n![\"a\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n![\"Ellipsengleichungsformel\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-dune-ellipse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Gleichung der im Ursprung zentrierten Ellipse<\/span><\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"\\cfrac{\\bm{x^2}}{\\bm{a^2}}+\\cfrac{\\bm{y^2}}{\\bm{b^2}}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7821573c61c10361101554eb56041901_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Elemente der Ellipse<\/span><\/h2>\n
\n
![\"Elemente](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/elements-dellipse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Beziehung zwischen Elementen einer Ellipse<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"d(P,F)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6be809958050006a77cc59c5b7c32557_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"Ellipsenbeweisgleichung\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/relation-delements-dellipse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"a^2=b^2+c^2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f07be3767557be2f8c17fc9a226a2506_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Exzentrizit\u00e4t der Ellipse<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"c\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-41a04eeea923a1a0c28094a8a4680525_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Exzentrizit\u00e4t](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/excentricite-dellipse.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"0\n\n<h2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7cba3912f2e788be4e73f1e18c9fb21_l3.png\")
<\/span> Exemple de calcul de l’\u00e9quation de l’ellipse<\/span><\/h2>\n\n
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<\/p>\n![\"\n\n<h2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c8518a77b08b28dd3989532a9c1a0bd_l3.png\")
<\/span> Probl\u00e8mes r\u00e9solus de l’\u00e9quation de l’ellipse<\/span><\/h2>\n Exercice 1<\/h3>\n
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\n!["\u00e9quation]("https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/centre-de-lellipse-de-lequation-a-lexterieur-de-lorigine.webp")
<\/figure>\n<\/div>\n Exercice 2<\/h3>\n
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<\/p>\n![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e53a75087af9221fe85fa404a4045ff_l3.png\")
<\/div>\n Exercice 3<\/h3>\n
!["exercices]("https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-resolus-de-lequation-de-lellipse.webp")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76aa999f562c86113192c06e01991927_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n![\"\n\n<div](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d494da27f7cde61e219586567d178c8_l3.png\")
<\/div>\n Exercice 4<\/h3>\n
\n
![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ae016b9237aee40e4130230eb495fe6b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-615d5b2ccb4a343777d9d707806526ab_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-98a1c514fb7344ec3be2558c5a559feb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n