Bevor wir sehen, was die Umfangsgleichung ist, erinnern wir uns an den Begriff des Umfangs:<\/p>\n
Der Umfang ist der Ort der Punkte auf der Ebene, die von einem festen Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind. <\/p>\n Daher haben alle Punkte auf einem Kreis den gleichen Abstand von seinem Mittelpunkt.<\/p>\n Dar\u00fcber hinaus ist der Kreis neben Ellipse, Parabel und Hyperbel einer der vier Kegelschnitte. Das hei\u00dft, ein Kreis kann durch Schneiden eines Kegels mit einer Ebene parallel zu seiner Basis erhalten werden.<\/p>\n Der einfachste Weg, einen Kreis in der kartesischen Ebene zu beschreiben, ist seine gew\u00f6hnliche Gleichung. Die Formel f\u00fcr die gew\u00f6hnliche Umfangsgleichung lautet also wie folgt: <\/p>\n Die gew\u00f6hnliche Kreisgleichung<\/strong> lautet:<\/p>\n<\/p>\n Gold:<\/p>\n ist der Radius des Kreises.<\/li>\n Und<\/p>\n sind die Koordinaten des Kreismittelpunkts:<\/p>\n Obwohl wir es nicht demonstrieren werden, weil es etwas m\u00fchsam ist, kann diese Gleichung aus dem Satz des Pythagoras abgeleitet werden.<\/p>\n Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie die gew\u00f6hnliche Kreisgleichung berechnet wird:<\/p>\n Die Formel f\u00fcr die gew\u00f6hnliche Kreisgleichung lautet:<\/p>\n<\/p>\n Deshalb m\u00fcssen wir nur das Unbekannte ersetzen<\/p>\n<\/p>\n durch den Wert des Radius und die Unbekannten<\/p>\n Und<\/p>\n durch die Koordinaten X bzw. Y des Kreismittelpunkts:<\/p>\n<\/p>\n Die gew\u00f6hnliche Kreisgleichung lautet also: <\/p>\n<\/p>\n Eine andere Art der Umfangsgleichung ist die allgemeine Gleichung, die tats\u00e4chlich am h\u00e4ufigsten verwendet wird. Wir werden dann sehen, wie man die allgemeine Gleichung eines beliebigen Umfangs aus seiner gew\u00f6hnlichen Gleichung erh\u00e4lt.<\/p>\n Betrachten Sie die gew\u00f6hnliche Kreisgleichung:<\/p>\n<\/p>\n Wenn wir die bemerkenswerten Gleichheiten (oder bemerkenswerten Produkte) entwickeln:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt nehmen wir 3 Variablen\u00e4nderungen vor:<\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich erhalten wir die allgemeine Gleichung des Umfangs: <\/p>\n<\/p>\n Die Formel f\u00fcr die allgemeine Umfangsgleichung<\/strong> lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n wobei der Mittelpunkt des Kreises ist:<\/p>\n<\/p>\n Und der Radius des Kreises ist:<\/p>\n<\/p>\n Diese Umfangsgleichung ergibt sich also immer aus der gew\u00f6hnlichen Gleichung. Hier ist ein Beispiel, um zu sehen, wie es gemacht wird:<\/p>\n Zuerst m\u00fcssen wir die gew\u00f6hnliche Kreisgleichung finden. Dazu verwenden wir seine Formel:<\/p>\n<\/p>\n Und nun operieren wir so lange, bis wir die allgemeine Gleichung des Umfangs gefunden haben, das hei\u00dft bis wir nicht mehr vereinfachen k\u00f6nnen: <\/p>\n<\/p>\n Die allgemeine Kreisgleichung lautet also:<\/p>\n<\/p>\n Obwohl das Problem dies nicht erforderte, k\u00f6nnen wir jetzt den Mittelpunkt und den Radius der gefundenen Gleichung berechnen, um zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob sie korrekt ist.<\/p>\n Um den Mittelpunkt des Kreises zu bestimmen, verwenden wir seine Formel: <\/p>\n<\/p>\n Tats\u00e4chlich stimmt der Mittelpunkt des Kreises mit dem der Aussage \u00fcberein.<\/p>\n Wir \u00fcberpr\u00fcfen auch den Radius des Umfangs mit seiner Formel:<\/p>\n<\/p>\n Und der Radius ist auch gleich dem der Aussage. Daher ist die berechnete Umfangsgleichung korrekt.<\/p>\n Alle Gleichungen in Form von<\/p>\n<\/p>\n entsprechen einem Kreis. Damit diese Art von Ausdruck wirklich die Gleichung eines Kreises ist, m\u00fcssen die folgenden drei Bedingungen erf\u00fcllt sein:<\/p>\n <\/span> und von<\/p>\n Sie m\u00fcssen gleich 1 sein. Bedenken Sie, dass die gesamte Gleichung durch diese Zahl dividiert werden k\u00f6nnte, wenn beiden Variablen eine andere Zahl als eins vorangestellt w\u00e4re, sie aber beide dieselbe Zahl h\u00e4tten, sodass ihre Koeffizienten 1 w\u00e4ren.<\/li>\n <\/span><\/li>\n Die beiden Kreisgleichungen, die wir gesehen haben, die gew\u00f6hnliche Gleichung und die allgemeine Gleichung, werden am h\u00e4ufigsten verwendet, um einen Kreis in der Ebene (im R2) mathematisch auszudr\u00fccken. Es gibt jedoch mehrere Arten von Gleichungen zur Beschreibung dieses geometrischen Objekts. Nachfolgend finden Sie eine Erkl\u00e4rung zu jeder dieser Gleichungen. <\/p>\n Die kanonische Gleichung oder reduzierte Gleichung eines Kreises wird verwendet, um jeden Kreis zu beschreiben, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt<\/strong> , also im Punkt (0,0). Diese Gleichung lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n Wenn zus\u00e4tzlich der Radius der Einheit (1) \u00e4quivalent w\u00e4re, w\u00e4re die Gleichung des Umfangs:<\/p>\n<\/p>\n Diese letzte Gleichung entspricht dem goniometrischen Umfang, auch Einheitsumfang oder Einheitskreis genannt. Es ist der Kreis mit dem Radius 1, der im Koordinatenursprung zentriert ist. <\/p>\n Zwei konzentrische Gleichungen sind solche, deren Mittelpunkt im selben Punkt liegt. Und der einzige Unterschied zwischen zwei konzentrischen Kreisen ist der Radius.<\/p>\n Damit diese Bedingung erf\u00fcllt ist, sind die Gleichungen zweier konzentrischer Kreise bis auf ihre unabh\u00e4ngigen Terme, die unterschiedlich sein m\u00fcssen, genau gleich.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Beispielsweise sind die folgenden zwei Kreise konzentrisch, da alle ihre Koeffizienten bis auf die unabh\u00e4ngigen Terme identisch sind: <\/p>\n<\/p>\n Wie die Gerade l\u00e4sst sich auch die Kreisgleichung mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus parametrisieren. Somit lauten die parametrischen Gleichungen des Kreises:<\/p>\n<\/p>\n wo der Punkt<\/p>\n<\/p>\n ist der Mittelpunkt des Kreises und<\/p>\n Das ist Ihre Abteilung. <\/p>\n Berechnen Sie die allgemeine Gleichung des Kreises mit dem Radius 5, dessen Mittelpunkt in diesem Punkt liegt <\/p>\n<\/p>\n Um die allgemeine Gleichung des Kreises zu finden, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst seine gew\u00f6hnliche Gleichung finden. Dazu verwenden wir die Formel f\u00fcr die gew\u00f6hnliche Kreisgleichung: <\/p>\n<\/p>\n Sobald wir die gew\u00f6hnliche Gleichung kennen, arbeiten wir, bis wir die allgemeine Gleichung des Kreises finden: <\/p>\n<\/p>\n Die allgemeine Kreisgleichung lautet also: <\/p>\n<\/p>\n Ermitteln Sie f\u00fcr jeden der folgenden Kreise die Koordinaten seines Mittelpunkts und die L\u00e4nge seines Radius. <\/p>\n<\/p>\n Umfang A)<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Der Umfang wird in Form einer gew\u00f6hnlichen Gleichung ausgedr\u00fcckt, deren Formel lautet:<\/p>\n<\/p>\n Daher sind die Koordinaten des Kreismittelpunkts: <\/p>\n<\/p>\n Und sein Radius ist: <\/p>\n<\/p>\n Umfang B)<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Dieser Umfang wird in Form einer allgemeinen Gleichung ausgedr\u00fcckt. Um die Koordinaten seines Mittelpunkts zu berechnen, m\u00fcssen Sie daher die folgende Formel verwenden: <\/p>\n<\/p>\n Andererseits lautet die Formel zum Ermitteln des Kreisradius:<\/p>\n<\/p>\n Umfang C)<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Der Umfang wird in Form einer gew\u00f6hnlichen Gleichung ausgedr\u00fcckt, deren Formel lautet:<\/p>\n<\/p>\n Daher sind die Koordinaten des Kreismittelpunkts:<\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall hat die Gleichung keinen Term.<\/p>\n<\/p>\n weder<\/p>\n es ist daher auf den Koordinatenursprung zentriert:<\/p>\n<\/p>\n Und sein Radius ist: <\/p>\n<\/p>\n Welche der folgenden Gleichungen ist die Kreisgleichung? <\/p>\n<\/p>\n Damit ein Ausdruck die Gleichung eines Kreises ist, m\u00fcssen die folgenden Bedingungen erf\u00fcllt sein:<\/p>\n 1.<\/strong> Die Koeffizienten von<\/p>\n<\/p>\n und von<\/p>\n Sie m\u00fcssen gleich 1 sein. 3.<\/strong><\/p>\n Wir m\u00fcssen daher \u00fcberpr\u00fcfen, ob die drei Bedingungen f\u00fcr jede Gleichung erf\u00fcllt sind. <\/p>\n Gleichung A)<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Die Koeffizienten von<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n sind 1 und die Gleichung hat keinen Term<\/p>\n Es reicht daher aus, die dritte Bedingung zu \u00fcberpr\u00fcfen: <\/p>\n<\/p>\n Die Gleichung erf\u00fcllt die drei Bedingungen, es handelt sich also um die Gleichung eines Kreises.<\/strong> <\/p>\n Gleichung B)<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Die Gleichung hat einen Term mit<\/p>\n<\/p>\n womit die Gleichung keinem Kreis entspricht.<\/strong> <\/p>\n Gleichung C)<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Die Koeffizienten von<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n sind nicht 1, aber wir k\u00f6nnen die Gleichung umwandeln, indem wir alle Terme dividieren:<\/p>\n<\/p>\n Auf diese Weise sind nun die Koeffizienten von<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n Ja, sie sind 1 und au\u00dferdem hat die Gleichung keinen Term<\/p>\n Wir m\u00fcssen daher nur die dritte Bedingung best\u00e4tigen: <\/p>\n<\/p>\n Die Gleichung erf\u00fcllt die drei Bedingungen, es handelt sich also um die Gleichung eines Kreises.<\/strong> <\/p>\n Gleichung D)<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Die Koeffizienten von<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n sind 1 und die Gleichung hat keinen Term<\/p>\n Es reicht daher aus, die dritte Bedingung zu \u00fcberpr\u00fcfen: <\/p>\n<\/p>\n Die Gleichung erf\u00fcllt die letzte Bedingung nicht, es handelt sich also nicht um die Gleichung eines Kreises<\/strong> .<\/p>\n Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises, der durch die folgenden drei Punkte verl\u00e4uft: <\/p>\n<\/p>\n Die allgemeine Gleichung eines beliebigen Kreises lautet:<\/p>\n<\/p>\n Daher m\u00fcssen wir die Koordinaten der Punkte in die Kreisgleichung einsetzen, um die Parameter zu finden<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n Mit dem ersten Punkt ermitteln wir den Koeffizienten <\/p>\n<\/p>\n Mit dem zweiten Punkt ermitteln wir den Koeffizienten <\/p>\n<\/p>\n Und ab dem dritten Punkt finden wir den Koeffizienten <\/p>\n<\/p>\n Zusammenfassend lautet die allgemeine Gleichung f\u00fcr den Umfang:<\/p>\n<\/p>\n Wenn die gegen\u00fcberliegenden Enden eines Kreises die folgenden zwei Punkte sind:<\/p>\n<\/p>\n Wie lautet die gew\u00f6hnliche Kreisgleichung? <\/p>\n Wenn die beiden Punkte die Enden des Kreises sind, ist sein Mittelpunkt der Mittelpunkt zwischen diesen beiden Punkten: <\/p>\n<\/p>\n Andererseits ist der Durchmesser des Kreises der Abstand zwischen den beiden Punkten, der anhand der Gr\u00f6\u00dfe des Vektors berechnet werden kann, den die beiden Punkte bilden: <\/p>\n<\/p>\n Und der Radius des Kreises ist halb so gro\u00df wie der Durchmesser:<\/p>\n<\/p>\n Die gew\u00f6hnliche Kreisgleichung lautet daher: <\/p>\n<\/p>\n Wenn dieser Artikel f\u00fcr Sie hilfreich war, werden Sie sicherlich auch an unseren Seiten zu Hyperbeln (Mathematik)<\/a> und Parabeln (Mathematik)<\/a> interessiert sein. Sie finden eine detaillierte Erkl\u00e4rung, was die Hyperbel und die Parabel sind, ihre Gleichungen, ihre Eigenschaften, Beispiele, gel\u00f6ste \u00dcbungen \u2026<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Auf dieser Seite finden Sie alles \u00fcber die Umfangsgleichung: gew\u00f6hnliche Gleichung, allgemeine Gleichung, andere Arten von Umfangsgleichungen, wann die Umfangsgleichung korrekt ist, … Au\u00dferdem sehen Sie Beispiele, wie Sie die Gleichung finden eines Umfanges und Sie k\u00f6nnen mit gel\u00f6sten \u00dcbungen \u00fcben. Gew\u00f6hnliche Kreisgleichung Bevor wir sehen, was die Umfangsgleichung ist, erinnern wir uns an den …<\/p>\n![\"Wie](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-de-circonference-1.webp\")
<\/figure>\n![\"(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb8ffc83b27f7ed251e2233abbce5046_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Allgemeine Kreisgleichung<\/span><\/h2>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Existenz eines Umfangs<\/span><\/h2>\n
<\/p>\n\n
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0″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“47″ width=“190″ style=“vertical-align: -17px;“><\/p>\n<\/p>\n<\/ol>\n<\/span> Andere Arten von Kreisgleichungen<\/span><\/h2>\n
<\/span> Kanonische Gleichung des Kreises<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Gleichungen zweier konzentrischer Kreise<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Parametrische Gleichung des Kreises<\/span><\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Probleme der Kreisgleichung gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 3<\/h3>\n
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2.<\/strong> Die Gleichung darf keinen Term haben<\/p>\n<\/p>\n0″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“47″ width=“190″ style=“vertical-align: -17px;“><\/p>\n<\/p>\n
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![\"A(2,3)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1dad063e5dabd63e9833d42ad087a2ce_l3.png\" "\\"Rendered")
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