{"id":234,"date":"2023-07-10T20:13:15","date_gmt":"2023-07-10T20:13:15","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/definition-und-beispiele-fur-zusammenfallende-linien\/"},"modified":"2023-07-10T20:13:15","modified_gmt":"2023-07-10T20:13:15","slug":"definition-und-beispiele-fur-zusammenfallende-linien","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/definition-und-beispiele-fur-zusammenfallende-linien\/","title":{"rendered":"Zusammenfallende linien"},"content":{"rendered":"

Hier finden Sie alles \u00fcber zusammenfallende Linien: Was sie bedeuten, wie man feststellt, ob zwei Linien zusammenfallen, welche Eigenschaften sie haben usw. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie sich Beispiele und gel\u00f6ste \u00dcbungen zu koinzidenten Linien ansehen. <\/p>\n

<\/span> Was sind zwei zusammenfallende Linien?<\/span><\/h2>\n

Zwei zusammenfallende Geraden sind zwei Geraden, die alle ihre Punkte gemeinsam haben.<\/strong> Daher sind zwei zusammenfallende Linien v\u00f6llig identisch.<\/p>\n

Unten sehen Sie beispielsweise zwei zusammenfallende Linien. Was passiert, ist, dass Sie nur eine sehen, weil sie sich \u00fcberlappen (sie sind gleich). <\/p>\n

\"\"<\/figure>\n

Zwei zusammenfallende Geraden haben immer die gleiche Richtung, bilden also geometrisch einen Winkel von 0\u00b0.<\/p>\n

Denken Sie andererseits daran, dass es in der Ebene vier M\u00f6glichkeiten f\u00fcr das Konzept der relativen Position zwischen zwei Linien gibt: Zwei Linien k\u00f6nnen zusammenfallen, parallel<\/a> , sekante<\/a> und senkrecht<\/a> sein. Wenn Sie m\u00f6chten, k\u00f6nnen Sie in diesen drei Links die Bedeutung der einzelnen Linientypen und den Unterschied zwischen ihnen \u00fcberpr\u00fcfen. <\/p>\n

<\/span> Woher wissen Sie, ob zwei Linien zusammenfallen?<\/span><\/h2>\n

Zu wissen, wann zwei Geraden zusammenfallen, h\u00e4ngt davon ab, ob Sie mit zwei Koordinaten (in R2) oder mit drei Koordinaten (in R3) arbeiten. <\/p>\n

<\/span> Bestimmen Sie zwei zusammenfallende Linien in der Ebene<\/span><\/h3>\n

Wenn wir im zweidimensionalen (2D) Raum arbeiten, ist es sehr leicht zu erkennen, wann zwei Linien zusammenfallen und wann sie nicht aus der impliziten Gleichung<\/strong> oder der expliziten<\/strong> Gleichung<\/strong> der Linie entstehen.<\/p>\n

Abgesehen von diesen beiden M\u00f6glichkeiten k\u00f6nnen wir auch \u00fcberpr\u00fcfen, ob zwei Geraden \u00fcbereinstimmen, indem wir das Gleichungssystem l\u00f6sen, das aus den Gleichungen der beiden Geraden besteht (wenn das System unendlich viele L\u00f6sungen liefert, bedeutet dies, dass sie \u00fcbereinstimmen). Dieses Verfahren ist jedoch komplizierter und zeitaufw\u00e4ndiger, weshalb wir es nicht im Detail erkl\u00e4ren, da es besser ist, es anhand der Koeffizienten der impliziten Gleichung oder der expliziten Gleichung durchzuf\u00fchren. <\/p>\n

<\/span> Aus der impliziten (oder allgemeinen) Gleichung der Geraden<\/span><\/h4>\n

Eine M\u00f6glichkeit, festzustellen, ob zwei Linien zusammenfallen, besteht darin, die implizite Gleichung der Linie zu verwenden, die auch als allgemeine oder kartesische Gleichung bekannt ist.<\/p>\n

Die implizite Gleichung der Geraden entspricht dem folgenden Ausdruck:<\/p>\n<\/p>\n

\"Ax+By+C=0\"<\/p>\n<\/p>\n

Wenn zwei Geraden die drei Proportionalkoeffizienten (A, B und C) haben<\/strong> , bedeutet dies, dass sie \u00fcbereinstimmen.<\/p>\n<\/p>\n

\"r:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{A}{A'}<\/p>\n<\/p>\n

Beispielsweise stimmen die folgenden zwei Zeilen \u00fcberein:<\/p>\n<\/p>\n

\"r:<\/p>\n<\/p>\n

Und sie fallen zusammen, weil die Parameter A, B und C proportional zueinander sind: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\cfrac{4}{2}<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Aus der expliziten Gleichung der Geraden<\/span><\/h4>\n

Eine andere M\u00f6glichkeit herauszufinden, ob zwei Geraden tats\u00e4chlich zusammenfallen, besteht darin, die explizite Geradengleichung zu verwenden. Denken Sie daran, dass die explizite Gleichung der Geraden wie folgt lautet:<\/p>\n<\/p>\n

\"y=mx+n\"<\/p>\n<\/p>\n

Wenn zwei Linien die gleiche Steigung<\/strong> (Koeffizient m) und die gleiche Ordinate im Ursprung<\/strong> (Koeffizient n) haben, handelt es sich um zwei kombinierte Linien.<\/p>\n<\/p>\n

\"r:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\left.\\begin{array}{c}<\/p>\n<\/p>\n

Beispielsweise sind die beiden folgenden Linien identisch, da sie urspr\u00fcnglich \u00e4quivalente Steigungen und Ordinaten haben:<\/p>\n<\/p>\n

\"r:<\/p>\n<\/p>\n

Es ist zu beachten, dass sie parallele und keine zusammenfallenden Linien w\u00e4ren, wenn sie die gleiche Steigung h\u00e4tten, aber im Ursprung unterschiedlich angeordnet w\u00e4ren.<\/p>\n

Schlie\u00dflich haben die beiden zusammenfallenden Linien, wie Sie im Beispiel sehen k\u00f6nnen, dieselbe explizite Gleichung. Dies gilt f\u00fcr jede Art von Geradengleichung: Wenn zwei Geraden in ihrer Gleichung zusammenfallen, bedeutet dies, dass sie koinzident sind. <\/p>\n

<\/span> Finden Sie zwei zusammenfallende Linien im Raum<\/span><\/h3>\n

Die Identifizierung zweier zusammenfallender Linien im Raum (in R3) unterscheidet sich von der in der kartesischen Ebene (in R2), da Berechnungen mit einer weiteren Koordinate durchgef\u00fchrt werden m\u00fcssen. Schauen wir uns also an, wie es gemacht wird:<\/p>\n

Gegeben sind die Gleichungen zweier verschiedener Linien im Raum:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Und seien M und M‘ die durch die Koeffizienten der Geraden gebildeten Matrizen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

Wenn dann der Rang der Matrizen M und M‘ gleich 2 ist, fallen die beiden Geraden zusammen.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n

\"rg(M)=rg(M')<\/p>\n<\/p>\n

Sehen wir uns anhand einer Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbung ein Beispiel f\u00fcr zusammenfallende Linien im Raum an:<\/p>\n