<\/span> Wie ist die relative Lage zweier Geraden in der Ebene? <\/span><\/h2>\n\n<\/div>\n<\/div>\n Bevor Sie sich die relativen Positionen zwischen zwei Linien in der Ebene ansehen, m\u00fcssen Sie nat\u00fcrlich genau wissen, was eine Linie ist. Sie k\u00f6nnen es in der Definition von Linie<\/a> finden.<\/p>\n Beim Arbeiten in zwei Dimensionen (in R2) gibt es also drei Arten m\u00f6glicher relativer Positionen zwischen zwei Linien: <\/p>\n
\n\n Schnittlinien<\/strong> <\/p>\n\n![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/angles-droits-secants.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Zwei sich schneidende Geraden haben nur einen gemeinsamen Punkt. <\/p>\n<\/div>\n
\n Parallele Linien<\/strong><\/strong> <\/p>\n\n![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/droites-paralleles-a-langle.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Zwei Geraden sind parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben. Das hei\u00dft, wenn sich ihre Wege nie kreuzen. <\/p>\n<\/div>\n
\n zusammenfallende Linien<\/strong> <\/p>\n\n![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/angle-coincident-lignes.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Zwei Geraden sind gleich, wenn alle ihre Punkte gemeinsam sind. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n<\/div>\n<\/div>\n Andererseits h\u00e4ngt der Winkel zwischen zwei Geraden in der Ebene auch von ihrer relativen Lage ab:<\/p>\n
\n- Schnittlinien schneiden sich in einem Winkel zwischen 0\u00b0 (nicht eingeschlossen) und 90\u00b0 (einschlie\u00dflich). Wenn sie au\u00dferdem nur einen rechten Winkel von 90\u00b0 bilden, bedeutet das, dass die beiden Linien senkrecht zueinander stehen.<\/li>\n
- Parallele Linien bilden einen Winkel von 0\u00b0, da sie die gleiche Richtung haben.<\/li>\n
- Und aus dem gleichen Grund bilden die zusammenfallenden Linien auch einen Winkel von 0\u00b0 zwischen sich.<\/li>\n<\/ul>\n
Wenn Sie wissen m\u00f6chten, wie der Winkel zwischen zwei Linien berechnet wird, k\u00f6nnen Sie sich die Formel f\u00fcr den Winkel zwischen zwei Linien<\/a> ansehen. Hier finden Sie eine ausf\u00fchrliche Erkl\u00e4rung zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Linien sowie mehrere Beispiele und sogar gel\u00f6ste \u00dcbungen, damit Sie das Konzept \u00fcben und vollst\u00e4ndig verstehen k\u00f6nnen. <\/p>\n<\/span>So ermitteln Sie die relative Position zweier Linien in der Ebene <\/span><\/h2>\n\n<\/div>\n<\/div>\n Die Kenntnis der relativen Position zwischen zwei Linien im zweidimensionalen Raum h\u00e4ngt davon ab, wie die Linien ausgedr\u00fcckt werden:<\/p>\n
\n- Linienrichtungsvektoren:<\/strong> Wenn zwei Linien einen unterschiedlichen Richtungsvektor haben, m\u00fcssen sie sich schneiden. Wenn andererseits die Koordinaten ihrer Richtungsvektoren gleich oder proportional sind, k\u00f6nnen sie parallel sein oder zusammenfallen (es muss \u00fcberpr\u00fcft werden, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben).<\/li>\n<\/ul>\n
\n- Explizite Gleichung:<\/strong> wenn zwei Geraden unterschiedliche Steigungen haben\n
![\"(m)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cbf220caa0234311cbdde7c24a842b1b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
Sie trocknen im Gegenteil, wenn die Linien die gleiche Steigung, aber eine unterschiedliche Reihenfolge im Ursprung haben<\/p>\n
![\"(n)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9098105a2659ae64387c39c113fab615_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
sie sind parallel. Schlie\u00dflich werden zwei Linien verwechselt, wenn sie urspr\u00fcnglich gleiche Steigungen und Ordinaten haben.<\/li>\n<\/ul>\n
\n- Allgemeine (oder implizite) Gleichung:<\/strong> Zwei Geraden mit den nichtproportionalen Koeffizienten A und B schneiden sich immer. Sie sind jedoch parallel, wenn diese beiden Parameter zueinander proportional sind, nicht jedoch zum Koeffizienten C. Und wenn die drei Terme schlie\u00dflich proportional sind, bedeutet dies, dass die Linien verwechselt sind.<\/li>\n<\/ul>\n
Wenn Sie Zweifel an den Gleichungen der Linie oben haben, k\u00f6nnen Sie die Erkl\u00e4rung der Gleichungen der Linie in der Ebene<\/a> konsultieren. Hier finden Sie die Formel aller Geradengleichungen, deren Berechnung, Beispiele und gel\u00f6ste Aufgaben zu Geradengleichungen.<\/p>\n In der folgenden Tabelle finden Sie eine Zusammenfassung der bisherigen Eigenschaften: <\/p>\n
\n![\"relative](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/position-relative-de-deux-droites-dans-le-plan-1.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Als n\u00e4chstes sehen wir uns zwei Beispiele an, wie man die relative Position zwischen zwei Linien bestimmt:<\/p>\n
<\/span> Beispiel 1<\/span><\/h3>\n\n- Finden Sie die relative Position zwischen den folgenden zwei Linien, die in Form einer expliziten Gleichung definiert sind:<\/li>\n<\/ul>\n
![\"r:](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da7047627c75c1e890b8dcd638f77ed6_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung:<\/p>\n<\/p>\n
![\"m_r](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-873fd0b2da446bff0d72d56424846ad5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Aber sie haben unterschiedliche Computer im Ursprung:<\/p>\n<\/p>\n
![\"n_r](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd55fdc8ff8e806fd683fad5ee625dc3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Da sie also die gleiche Steigung, aber unterschiedliche Achsenabschnitte haben, sind die Linien parallel<\/strong> .<\/p>\n<\/span> Beispiel 2<\/span><\/h3>\n\n- Bestimmen Sie die relative Position zwischen den folgenden beiden Linien, ausgedr\u00fcckt durch ihre implizite (oder allgemeine) Gleichung:<\/li>\n<\/ul>\n
![\"r:](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c917d50b692b0f59a5846479d74b6e19_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Beide Geraden werden als explizite Gleichung ausgedr\u00fcckt, daher m\u00fcssen wir pr\u00fcfen, ob einer ihrer Koeffizienten proportional ist:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\cfrac{4}{-2}=\\cfrac{2}{-1}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cce65e5ed8b8969e9349325d13a192ec_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Die 3 Terme der Linien sind proportional, daher fallen die Linien zusammen<\/strong> . <\/p>\n<\/span> Bestimmen Sie die relative Lage zweier Geraden in der Ebene mit einem Gleichungssystem<\/span><\/h2>\n Eine andere M\u00f6glichkeit, die relative Position zwischen zwei Linien zu ermitteln, besteht darin, das Gleichungssystem zu analysieren, das aus den Gleichungen der Linien besteht:<\/p>\n
\n- Wenn das System eine eindeutige L\u00f6sung hat<\/strong> , schneiden sich die Geraden. Dar\u00fcber hinaus ist der Schnittpunkt der beiden Geraden die L\u00f6sung des Systems.<\/li>\n
- Wenn es sich um ein System ohne L\u00f6sung<\/strong> handelt, bedeutet dies, dass die Geraden keine gemeinsamen Punkte haben und es sich daher um parallele Geraden handelt.<\/li>\n
- Wenn das System unendlich viele L\u00f6sungen hat<\/strong> , bedeutet dies, dass die Geraden alle Punkte gemeinsam haben und es sich daher um Schnittlinien handelt.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/span> Beispiel 3<\/span><\/h3>\n\n- Berechnen Sie die relative Position der folgenden beiden Linien mithilfe eines Gleichungssystems:<\/li>\n<\/ul>\n
![\"r:](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a333dd2d8363e9caf5bfcb7fcc4b307a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Um die relative Position der beiden Linien zu ermitteln, m\u00fcssen wir das folgende lineare Gleichungssystem l\u00f6sen, das durch die beiden Linien gebildet wird:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\left.\\begin{array}{l}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-243b1e787e6532fbafbfca53d934f4ad_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
In diesem Fall l\u00f6sen wir das System mit der Substitutionsmethode. Wir werden daher die Variable isolieren<\/p>\n<\/p>\n
![\"y\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0af556714940c351c933bba8cf840796_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
aus der zweiten Gleichung und setze es in die erste Gleichung ein: <\/p>\n<\/p>\n
![\"\\left.\\begin{array}{l}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad3456c92c838f40d60afdb45e1eb2f3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"3x+4(3-5x)+5=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e878bb5de718162dd547d349041c5a17_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"3x+12-20x+5=0\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b44339147102246aa99ce775ae1f4415_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"3x-20x=-12-5\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e51763736cd6ea39f0cf08f9c8d067f9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"-17x=-17\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-55630337168997a6a2a76aeaef1ad669_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"x=\\cfrac{-17}{-17}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50540499fd4810f10aa8d48376dc8370_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Und sobald wir wissen, wie viel das Unbekannte wert ist<\/p>\n<\/p>\n
![\"x\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
Wir setzen seinen Wert in den gefundenen Ausdruck ein <\/p>\n
![\"y:\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-526e84c5b87e970b9045246e059785fe_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"y=3-5x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b53c99a78c482f7c71588f8e0d769e9b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"y](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9985617b47dec6ac0faa8d98665cd8b8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Wir haben also nur eine L\u00f6sung des aus den beiden Geraden zusammengesetzten Gleichungssystems erhalten, die beiden Geraden schneiden sich<\/strong> also. Und der Punkt, an dem sie sich schneiden, ist die L\u00f6sung des Systems, also der Punkt <\/p>\n<\/p>\n![\"(1,-2).\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9dbd776d7ff2a9a72963326b278e12b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Probleme der relativen Position zweier Linien in der Ebene gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n \u00dcbung 1<\/h3>\n
Bestimmen Sie, ob sich die folgenden Linien schneiden, parallel sind oder zusammenfallen: <\/p>\n<\/p>\n
![\"r:](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8857a4b8101efdfb88107fae20a16bb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
\n siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n Beide Geraden werden als implizite (oder allgemeine) Gleichung ausgedr\u00fcckt, daher m\u00fcssen wir pr\u00fcfen, ob einer ihrer Koeffizienten proportional ist:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\cfrac{3}{9}=\\cfrac{-1}{-3}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1fd9a2de250f3a5cb1a7025e30eb00b8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Nur die Koeffizienten A und B der Geraden sind proportional zueinander und nicht zum Koeffizienten C. Daher sind die beiden Geraden parallel<\/strong> .<\/p>\n<\/div>\n \u00dcbung 2<\/h3>\n
Finden Sie die relative Position zwischen den folgenden beiden Linien, ausgedr\u00fcckt als parametrische Gleichungen: <\/p>\n<\/p>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bafb951a2141722b0bbb7a1681f506ea_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
\n siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n Wir k\u00f6nnten das durch die beiden Linien gebildete Gleichungssystem l\u00f6sen, um ihre relative Position zu ermitteln. Da es sich jedoch um parametrische Gleichungen handelt, kann man ihre Richtungsvektoren leicht ermitteln, und wenn sie nicht proportional sind, bedeutet das, dass sich die Geraden schneiden. Und in diesem Fall werden wir nicht so viel Zeit damit verbringen, ein ganzes Gleichungssystem zu l\u00f6sen.<\/p>\n
Damit sind die kartesischen Koordinaten des Richtungsvektors jeder Linie die Zahlen vor dem Parameter <\/p>\n<\/p>\n
![\"t:\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40f8b062c79839dcf7f2885a9e1469e7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\vv{r}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2428dfdbfe571940b2c02da2581f3c83_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Sobald wir die Richtungsvektoren kennen, \u00fcberpr\u00fcfen wir ihre Proportionalit\u00e4t:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\cfrac{-5}{-2}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38d5cefd7229992008378fea28376585_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Die Richtungsvektoren sind nicht proportional, daher kreuzen sich die Linien<\/strong> .<\/p>\n<\/div>\n \u00dcbung 3<\/h3>\n
Geben Sie an, ob sich die folgenden Linien schneiden, parallel sind oder zusammenfallen, und suchen Sie auch einen Schnittpunkt zwischen ihnen (falls zutreffend). <\/p>\n<\/p>\n
![\"r:](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e1c8f120a7d86580808425ce4452bbc_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
\n siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n Die beiden Geraden werden durch ihre explizite Gleichung definiert und haben unterschiedliche Steigungen:<\/p>\n<\/p>\n
![\"m_r](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f8ff0ff270ad51df36633f3a7da08f0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Da sie unterschiedliche Steigungen haben, schneiden sich die Linien<\/strong> .<\/p>\n Da sich die Geraden schneiden, haben sie daher einen gemeinsamen Punkt und um ihn zu berechnen, m\u00fcssen wir das Gleichungssystem l\u00f6sen, das durch die beiden Geraden gebildet wird:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\left.\\begin{array}{l}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b3923ff74a214543ddd2cc44a42e3813_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
In diesem Fall werden wir das System mit der Ausgleichsmethode l\u00f6sen, weil beides<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
sind bereits gel\u00f6scht: <\/p>\n<\/p>\n
![\"y=y\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1043bcfc74c9c720f4d738403a0a5de9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"4x-5=-2x+7\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-30260dd1609f72d1b91e2431be1c4fec_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"4x+2x=5+7\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13a0532699efab3ce3fa0565ddd295f0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"6x=12\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20e2c2528083b16701309669036284a5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"x=\\cfrac{12}{6}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-54e0507e23104e014591f7bb9d0b9e02_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Und sobald wir das Unbekannte haben<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
Wir ersetzen seinen Wert in jedem Ausdruck von<\/p>\n
<\/p>\n
um herauszufinden, wie viel es wert ist: <\/p>\n<\/p>\n
![\"y=4x-5\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa1fe37c29ef252a2729d235c875f0ee_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"y](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e2858c9e13db1ef7d1777f6ee50501ae_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist also das Ergebnis des Systems: <\/p>\n<\/p>\n
![\"\\bm{(2,3)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-786ded60a053402b1fedabd27477fa77_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n\u00dcbung 4<\/h3>\n
Berechnen Sie den Wert der Unbekannten<\/p>\n<\/p>\n
![\"a\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c53d6ebabdbcfa4e107550ea60b1b19_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
Und<\/p>\n
![\"b\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f56d50c26583f9a035ff6b4e3c0ca5c0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
sodass die folgenden beiden Geraden parallel sind: <\/p>\n<\/p>\n
![\"r:](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-22406447457807bd671683c76d717494_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
\n siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n Die Linien werden in allgemeiner (oder impliziter) Gleichungsform beschrieben. Damit die beiden Geraden parallel sind, m\u00fcssen ihre Koeffizienten A und B proportional sein, d. h. die folgende Gleichung muss erf\u00fcllt sein:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\cfrac{2}{1}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-426cf79f7967a39d05301b57327425b9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Wir m\u00fcssen daher die vorherige Gleichung l\u00f6sen, um den Wert der Unbekannten zu erhalten<\/p>\n<\/p>\n
![\"a.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ebc59bdf10d3d739bfa532b65c85287_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
Dazu multiplizieren wir die Br\u00fcche kreuzweise: <\/p>\n<\/p>\n
![\"2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-778399973685974e5fab6ef86a4ff316_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"a](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fa72e494965cde5a39eef1003b449a40_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\bm{a=-2}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-115c97df060d69970606b1ae494bb4b9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Damit die Geraden hingegen parallel sind, k\u00f6nnen ihre unabh\u00e4ngigen Terme nicht proportional zu den anderen Koeffizienten sein:<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\cfrac{2}{1}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0eee380a4c98c2379e3b88fb5c00038e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Daher l\u00f6sen wir die Ungleichung wie zuvor durch Kreuzmultiplikation der Br\u00fcche: <\/p>\n<\/p>\n
![\"2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8f6fbac3664ac51fabbd88c63a6265c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"b](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d382f6f8b7a55e13812975129a29da1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"\\bm{b\\neq](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b74bf2f543632f7b7adec4ebd1f59b0e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Kurz gesagt, damit die beiden Linien parallel sind<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
muss 2 sein und<\/p>\n
<\/p>\n
kann jede reelle Zahl au\u00dfer 3 sein.<\/p>\n
<\/div>\n \u00dcbung 5<\/h3>\n
Finden Sie die explizite Gleichung der Geraden parallel zur Geraden<\/p>\n<\/p>\n
![\"r\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
und was passiert \u00fcber den Punkt hinweg<\/p>\n
![\"P(3,-1).\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3beed6e0b45d9e34dfb895ea2711797_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
gerade sein <\/p>\n
![\"r:\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c5986f031932e6b3512dc564514c34b5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"r:](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-731b64c6b0926aa016c615182da3d7d3_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
\n siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n Damit die Linie parallel zur Linie ist<\/p>\n<\/p>\n
![\"r,\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42ca8c420951296e93092e708435813a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n
beide m\u00fcssen die gleiche Steigung haben. und die Steigung der Linie<\/p>\n
<\/p>\n
ist 2:<\/p>\n<\/p>\n
![\"m](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f3439899d4781058b8eb19021ac25e27_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Daher lautet die Gleichung der Geraden, die wir finden m\u00fcssen:<\/p>\n<\/p>\n
![\"y=2x+n\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1bbbc8cea82d1688f21bcabc8ef7fa3e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Und sobald wir die Steigung der Geraden kennen, k\u00f6nnen wir den y-Achsenabschnitt berechnen, indem wir den zur Geraden geh\u00f6renden Punkt in die Geradengleichung einsetzen: <\/p>\n<\/p>\n
![\"P(3,-1)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e83b6065f321642320b736c8b866043c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"y=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-826526b2aef06a1f04f17c54f8db7369_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"-1=6+](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0aba6175b45d89611019ec5f89ebd82f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"-1-6=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-afeec8d1085931aed83404a8a7ba45dd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
![\"-7=](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-35b29a0fad2239bd507e2d044f846092_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
Die explizite Gleichung der Geraden lautet also: <\/p>\n<\/p>\n
![\"\\bm{y=2x-7}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fd88ac415e522e13e3437bb0e3da393a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n Wenn Sie es bis hierher geschafft haben, bedeutet das, dass Sie die relativen Positionen zwischen zwei Linien im Plan bereits beherrschen. Gut gemacht!<\/p>\n
Viele fragen sich jedoch: Welchen Nutzen hat es, die relative Position zwischen zwei Linien zu kennen?<\/p>\n
Nun, eine der Anwendungen der relativen Position zwischen Linien besteht darin, den Abstand zwischen zwei Linien zu ermitteln, da die Berechnung des Abstands zwischen zwei Linien von ihrer relativen Position abh\u00e4ngt:<\/p>\n
\n- Wenn sich die Linien schneiden oder zusammenfallen, ist der Abstand Null.<\/li>\n
- Wenn die Linien hingegen parallel sind, muss eine bestimmte Formel angewendet werden. Wenn Sie mehr Interesse haben, k\u00f6nnen Sie sich ansehen, wie der Abstand zwischen zwei parallelen Linien<\/a> berechnet wird.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Auf dieser Seite finden Sie die Erkl\u00e4rung der verschiedenen Methoden, die es gibt, um die relative Position zweier Geraden in der Ebene (im R2) zu bestimmen. Dar\u00fcber hinaus sehen Sie mehrere Beispiele und k\u00f6nnen anhand von Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6sten \u00dcbungen \u00fcben. Wie ist die relative Lage zweier Geraden in der Ebene? Bevor Sie sich …<\/p>\n
Bevor Sie sich die relativen Positionen zwischen zwei Linien in der Ebene ansehen, m\u00fcssen Sie nat\u00fcrlich genau wissen, was eine Linie ist. Sie k\u00f6nnen es in der Definition von Linie<\/a> finden.<\/p>\n Beim Arbeiten in zwei Dimensionen (in R2) gibt es also drei Arten m\u00f6glicher relativer Positionen zwischen zwei Linien: <\/p>\n Schnittlinien<\/strong> <\/p>\n Zwei sich schneidende Geraden haben nur einen gemeinsamen Punkt. <\/p>\n<\/div>\n Parallele Linien<\/strong><\/strong> <\/p>\n Zwei Geraden sind parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben. Das hei\u00dft, wenn sich ihre Wege nie kreuzen. <\/p>\n<\/div>\n zusammenfallende Linien<\/strong> <\/p>\n Zwei Geraden sind gleich, wenn alle ihre Punkte gemeinsam sind. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n Andererseits h\u00e4ngt der Winkel zwischen zwei Geraden in der Ebene auch von ihrer relativen Lage ab:<\/p>\n Wenn Sie wissen m\u00f6chten, wie der Winkel zwischen zwei Linien berechnet wird, k\u00f6nnen Sie sich die Formel f\u00fcr den Winkel zwischen zwei Linien<\/a> ansehen. Hier finden Sie eine ausf\u00fchrliche Erkl\u00e4rung zur Bestimmung des Winkels zwischen zwei Linien sowie mehrere Beispiele und sogar gel\u00f6ste \u00dcbungen, damit Sie das Konzept \u00fcben und vollst\u00e4ndig verstehen k\u00f6nnen. <\/p>\n Die Kenntnis der relativen Position zwischen zwei Linien im zweidimensionalen Raum h\u00e4ngt davon ab, wie die Linien ausgedr\u00fcckt werden:<\/p>\n Sie trocknen im Gegenteil, wenn die Linien die gleiche Steigung, aber eine unterschiedliche Reihenfolge im Ursprung haben<\/p>\n sie sind parallel. Schlie\u00dflich werden zwei Linien verwechselt, wenn sie urspr\u00fcnglich gleiche Steigungen und Ordinaten haben.<\/li>\n<\/ul>\n Wenn Sie Zweifel an den Gleichungen der Linie oben haben, k\u00f6nnen Sie die Erkl\u00e4rung der Gleichungen der Linie in der Ebene<\/a> konsultieren. Hier finden Sie die Formel aller Geradengleichungen, deren Berechnung, Beispiele und gel\u00f6ste Aufgaben zu Geradengleichungen.<\/p>\n In der folgenden Tabelle finden Sie eine Zusammenfassung der bisherigen Eigenschaften: <\/p>\n Als n\u00e4chstes sehen wir uns zwei Beispiele an, wie man die relative Position zwischen zwei Linien bestimmt:<\/p>\n Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung:<\/p>\n<\/p>\n Aber sie haben unterschiedliche Computer im Ursprung:<\/p>\n<\/p>\n Da sie also die gleiche Steigung, aber unterschiedliche Achsenabschnitte haben, sind die Linien parallel<\/strong> .<\/p>\n Beide Geraden werden als explizite Gleichung ausgedr\u00fcckt, daher m\u00fcssen wir pr\u00fcfen, ob einer ihrer Koeffizienten proportional ist:<\/p>\n<\/p>\n Die 3 Terme der Linien sind proportional, daher fallen die Linien zusammen<\/strong> . <\/p>\n Eine andere M\u00f6glichkeit, die relative Position zwischen zwei Linien zu ermitteln, besteht darin, das Gleichungssystem zu analysieren, das aus den Gleichungen der Linien besteht:<\/p>\n Um die relative Position der beiden Linien zu ermitteln, m\u00fcssen wir das folgende lineare Gleichungssystem l\u00f6sen, das durch die beiden Linien gebildet wird:<\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall l\u00f6sen wir das System mit der Substitutionsmethode. Wir werden daher die Variable isolieren<\/p>\n<\/p>\n aus der zweiten Gleichung und setze es in die erste Gleichung ein: <\/p>\n<\/p>\n Und sobald wir wissen, wie viel das Unbekannte wert ist<\/p>\n<\/p>\n Wir setzen seinen Wert in den gefundenen Ausdruck ein <\/p>\n Wir haben also nur eine L\u00f6sung des aus den beiden Geraden zusammengesetzten Gleichungssystems erhalten, die beiden Geraden schneiden sich<\/strong> also. Und der Punkt, an dem sie sich schneiden, ist die L\u00f6sung des Systems, also der Punkt <\/p>\n<\/p>\n Bestimmen Sie, ob sich die folgenden Linien schneiden, parallel sind oder zusammenfallen: <\/p>\n<\/p>\n Beide Geraden werden als implizite (oder allgemeine) Gleichung ausgedr\u00fcckt, daher m\u00fcssen wir pr\u00fcfen, ob einer ihrer Koeffizienten proportional ist:<\/p>\n<\/p>\n Nur die Koeffizienten A und B der Geraden sind proportional zueinander und nicht zum Koeffizienten C. Daher sind die beiden Geraden parallel<\/strong> .<\/p>\n Finden Sie die relative Position zwischen den folgenden beiden Linien, ausgedr\u00fcckt als parametrische Gleichungen: <\/p>\n<\/p>\n Wir k\u00f6nnten das durch die beiden Linien gebildete Gleichungssystem l\u00f6sen, um ihre relative Position zu ermitteln. Da es sich jedoch um parametrische Gleichungen handelt, kann man ihre Richtungsvektoren leicht ermitteln, und wenn sie nicht proportional sind, bedeutet das, dass sich die Geraden schneiden. Und in diesem Fall werden wir nicht so viel Zeit damit verbringen, ein ganzes Gleichungssystem zu l\u00f6sen.<\/p>\n Damit sind die kartesischen Koordinaten des Richtungsvektors jeder Linie die Zahlen vor dem Parameter <\/p>\n<\/p>\n Sobald wir die Richtungsvektoren kennen, \u00fcberpr\u00fcfen wir ihre Proportionalit\u00e4t:<\/p>\n<\/p>\n Die Richtungsvektoren sind nicht proportional, daher kreuzen sich die Linien<\/strong> .<\/p>\n Geben Sie an, ob sich die folgenden Linien schneiden, parallel sind oder zusammenfallen, und suchen Sie auch einen Schnittpunkt zwischen ihnen (falls zutreffend). <\/p>\n<\/p>\n Die beiden Geraden werden durch ihre explizite Gleichung definiert und haben unterschiedliche Steigungen:<\/p>\n<\/p>\n Da sie unterschiedliche Steigungen haben, schneiden sich die Linien<\/strong> .<\/p>\n Da sich die Geraden schneiden, haben sie daher einen gemeinsamen Punkt und um ihn zu berechnen, m\u00fcssen wir das Gleichungssystem l\u00f6sen, das durch die beiden Geraden gebildet wird:<\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall werden wir das System mit der Ausgleichsmethode l\u00f6sen, weil beides<\/p>\n<\/p>\n sind bereits gel\u00f6scht: <\/p>\n<\/p>\n Und sobald wir das Unbekannte haben<\/p>\n<\/p>\n Wir ersetzen seinen Wert in jedem Ausdruck von<\/p>\n um herauszufinden, wie viel es wert ist: <\/p>\n<\/p>\n Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist also das Ergebnis des Systems: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie den Wert der Unbekannten<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n sodass die folgenden beiden Geraden parallel sind: <\/p>\n<\/p>\n Die Linien werden in allgemeiner (oder impliziter) Gleichungsform beschrieben. Damit die beiden Geraden parallel sind, m\u00fcssen ihre Koeffizienten A und B proportional sein, d. h. die folgende Gleichung muss erf\u00fcllt sein:<\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen daher die vorherige Gleichung l\u00f6sen, um den Wert der Unbekannten zu erhalten<\/p>\n<\/p>\n Dazu multiplizieren wir die Br\u00fcche kreuzweise: <\/p>\n<\/p>\n Damit die Geraden hingegen parallel sind, k\u00f6nnen ihre unabh\u00e4ngigen Terme nicht proportional zu den anderen Koeffizienten sein:<\/p>\n<\/p>\n Daher l\u00f6sen wir die Ungleichung wie zuvor durch Kreuzmultiplikation der Br\u00fcche: <\/p>\n<\/p>\n Kurz gesagt, damit die beiden Linien parallel sind<\/p>\n<\/p>\n muss 2 sein und<\/p>\n kann jede reelle Zahl au\u00dfer 3 sein.<\/p>\n Finden Sie die explizite Gleichung der Geraden parallel zur Geraden<\/p>\n<\/p>\n und was passiert \u00fcber den Punkt hinweg<\/p>\n gerade sein <\/p>\n Damit die Linie parallel zur Linie ist<\/p>\n<\/p>\n beide m\u00fcssen die gleiche Steigung haben. und die Steigung der Linie<\/p>\n ist 2:<\/p>\n<\/p>\n Daher lautet die Gleichung der Geraden, die wir finden m\u00fcssen:<\/p>\n<\/p>\n Und sobald wir die Steigung der Geraden kennen, k\u00f6nnen wir den y-Achsenabschnitt berechnen, indem wir den zur Geraden geh\u00f6renden Punkt in die Geradengleichung einsetzen: <\/p>\n<\/p>\n Die explizite Gleichung der Geraden lautet also: <\/p>\n<\/p>\n Wenn Sie es bis hierher geschafft haben, bedeutet das, dass Sie die relativen Positionen zwischen zwei Linien im Plan bereits beherrschen. Gut gemacht!<\/p>\n Viele fragen sich jedoch: Welchen Nutzen hat es, die relative Position zwischen zwei Linien zu kennen?<\/p>\n Nun, eine der Anwendungen der relativen Position zwischen Linien besteht darin, den Abstand zwischen zwei Linien zu ermitteln, da die Berechnung des Abstands zwischen zwei Linien von ihrer relativen Position abh\u00e4ngt:<\/p>\n Auf dieser Seite finden Sie die Erkl\u00e4rung der verschiedenen Methoden, die es gibt, um die relative Position zweier Geraden in der Ebene (im R2) zu bestimmen. Dar\u00fcber hinaus sehen Sie mehrere Beispiele und k\u00f6nnen anhand von Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6sten \u00dcbungen \u00fcben. Wie ist die relative Lage zweier Geraden in der Ebene? Bevor Sie sich …<\/p>\n<\/figure>\n<\/div>\n<\/figure>\n<\/div>\n<\/figure>\n<\/div>\n\n
<\/span>So ermitteln Sie die relative Position zweier Linien in der Ebene <\/span><\/h2>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n\n
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Beispiel 1<\/span><\/h3>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Beispiel 2<\/span><\/h3>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Bestimmen Sie die relative Lage zweier Geraden in der Ebene mit einem Gleichungssystem<\/span><\/h2>\n
\n
<\/span> Beispiel 3<\/span><\/h3>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Probleme der relativen Position zweier Linien in der Ebene gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n \u00dcbung 2<\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n \u00dcbung 3<\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 4<\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n \u00dcbung 5<\/h3>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n\n