Der Grenzwert einer Funktion, wenn x sich der Unendlichkeit n\u00e4hert,<\/strong> kann, ob positiv oder negativ, ein reeller Wert sein, plus Unendlich, minus Unendlich oder nicht vorhanden. Um nach Grenzen im Unendlichen zu suchen, m\u00fcssen Sie x durch Unendlich ersetzen. <\/p>\n Wie Sie dem ersten Diagramm entnehmen k\u00f6nnen, tendiert die dargestellte Funktion in Richtung Unendlich zum realen Wert k<\/em> , da sie sich mit zunehmendem x<\/em> n\u00e4her an k<\/em> ann\u00e4hert. Die Funktion oben rechts strebt gegen Unendlich, wenn x<\/em> sich der Unendlichkeit n\u00e4hert, da sie mit zunehmendem x-<\/em> Wert unbegrenzt w\u00e4chst. Andererseits nimmt die Grafik unten links kontinuierlich ab und tendiert daher gegen minus Unendlich. Schlie\u00dflich ist die letzte Funktion periodisch und tendiert zu keinem Wert, daher gibt es in diesem Fall keine Grenze bis Unendlich. <\/p>\n Um eine Grenze zur Unendlichkeit in Polynomfunktionen zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir x nur im Term h\u00f6chster Ordnung der Funktion durch Unendlich ersetzen.<\/p>\n<\/div>\n Schauen Sie sich zum Beispiel die folgende Berechnung einer Grenze zur Unendlichkeit an, bei der wir nur die Unendlichkeit in das Monom des h\u00f6chsten Grades einsetzen:<\/p>\n<\/p>\n Wie Sie im Beispiel sehen k\u00f6nnen, ergibt +\u221e im Quadrat +\u221e, da eine sehr gro\u00dfe Zahl (+\u221e) hoch 2 immer eine sehr gro\u00dfe Zahl (+\u221e) ergibt.<\/p>\n Und das Gleiche passiert auch bei der Multiplikation: Wenn man eine sehr gro\u00dfe Zahl (+\u221e) multipliziert, erh\u00e4lt man immer eine sehr gro\u00dfe Zahl (+\u221e). Zum Beispiel: <\/p>\n<\/p>\n Warnung:<\/strong> Um Grenzwerte bis ins Unendliche zu berechnen, m\u00fcssen die folgenden Elemente ber\u00fccksichtigt werden:<\/p>\n \u2192<\/strong><\/span> Eine negative Zahl, die auf einen geraden Exponenten erh\u00f6ht wird, ist positiv. Daher ergibt minus Unendlich, erh\u00f6ht auf einen geraden Exponenten, plus Unendlich:<\/p>\n<\/p>\n \u2192<\/strong><\/span> Eine negative Zahl, die auf einen ungeraden Exponenten erh\u00f6ht wird, ist negativ. Daher ist minus Unendlich, erh\u00f6ht auf einen ungeraden Exponenten, minus Unendlich:<\/p>\n<\/p>\n \u2192<\/strong><\/span> Die Multiplikation einer negativen Zahl \u00e4ndert das Vorzeichen der Unendlichkeit:<\/p>\n<\/p>\n \u2192<\/strong><\/span> Beliebige Zahl dividiert durch<\/p>\n<\/p>\n ergibt 0: <\/p>\n<\/p>\n Damit Sie sehen k\u00f6nnen, wie Grenzwerte bis ins Unendliche in Polynomen gel\u00f6st werden, finden Sie unten einige solcher gel\u00f6sten Grenzwerte: <\/p>\n<\/p>\n Die Grenzen zur Unendlichkeit werden nicht immer so einfach zu berechnen sein, da wir manchmal die Unbestimmtheit der Unendlichkeit zwischen Unendlichkeit oder die Unbestimmtheit der Unendlichkeit minus Unendlichkeit erhalten.<\/p>\n<\/p>\n Wenn wir diese Art von Unbestimmtheiten (oder unbestimmten Formen) erhalten, k\u00f6nnen wir das Ergebnis nicht direkt kennen, sondern m\u00fcssen ein vorl\u00e4ufiges Verfahren durchf\u00fchren, um den Grenzwert zu ermitteln. Wir werden dann sehen, wie die unbestimmten Grenzen im Unendlichen aufgel\u00f6st werden. <\/p>\n Um das Ergebnis der Unbestimmtheit Unendlichkeit geteilt durch Unendlich zu finden, m\u00fcssen wir den Grad des Z\u00e4hlers und den Grad des Nenners des Bruchs vergleichen:<\/p>\n Im folgenden Grenzwert hat beispielsweise das Z\u00e4hlerpolynom zweiten Grades, w\u00e4hrend das Nennerpolynom dritten Grades ist, sodass die L\u00f6sung des Grenzwerts 0 ist.<\/p>\n<\/p>\n Schauen Sie sich dieses andere Beispiel an, in dem die beiden Polynome der rationalen Funktion zweiten Grades sind, sodass wir die Koeffizienten der Terme h\u00f6heren Grades dividieren m\u00fcssen, um den Grenzwert im Unendlichen zu berechnen.<\/p>\n<\/p>\n Am n\u00e4chsten Grenzwert schlie\u00dflich hat die Funktion des Z\u00e4hlers einen gr\u00f6\u00dferen Grad als die des Nenners, sodass die Unbestimmtheit von Unendlich \u00fcber Unendlich Unendlichkeit ergibt. Dar\u00fcber hinaus ergibt sich aus dem Z\u00e4hler eine positive Unendlichkeit, aus dem Nenner jedoch eine negative Unendlichkeit, sodass das Ergebnis des Grenzwerts negativ ist (das Positive zwischen dem Negativen ist negativ).<\/p>\n<\/p>\n Andererseits ist der Grad einer irrationalen Funktion<\/strong> (Funktion mit Wurzeln) der Quotient zwischen dem Grad des Hauptterms und dem Index des Radikals.<\/p>\n<\/p>\n Wenn also der Grenzwert einer Funktion mit Wurzeln eine unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit ergibt<\/strong> , m\u00fcssen wir dieselben oben erl\u00e4uterten Regeln f\u00fcr die Grade von Z\u00e4hler und Nenner anwenden, wobei jedoch zu ber\u00fccksichtigen ist, dass der Grad eines Polynoms mit Wurzeln anders berechnet wird.<\/p>\n Schauen Sie sich das folgende Beispiel f\u00fcr den unendlichen Grenzwert einer Funktion mit Radikalen an:<\/p>\n<\/p>\n Der Grad des Z\u00e4hlers ist 2 und der Grad des Nenners ist 4 (8\/2=4), daher ist die Grenze 0, da der Grad des Z\u00e4hlers kleiner als der Grad des Nenners ist.<\/p>\n Das Wachstum einer Exponentialfunktion ist viel gr\u00f6\u00dfer als das Wachstum einer Polynomfunktion, daher m\u00fcssen wir ber\u00fccksichtigen, dass der Grad einer Exponentialfunktion gr\u00f6\u00dfer ist als der Grad einer Polynomfunktion.<\/strong><\/p>\n<\/p>\n Wenn sich also die Unbestimmtheit Unendlich dividiert durch Unendlich aus einem Grenzwert mit Exponentialfunktionen ergibt, m\u00fcssen wir einfach dieselben Regeln anwenden, die die Grade des Z\u00e4hlers und des Nenners erkl\u00e4ren, wobei jedoch zu ber\u00fccksichtigen ist, dass eine Exponentialfunktion von h\u00f6herer Ordnung ist als ein Polynom.<\/p>\n Wenn wir au\u00dferdem Exponentialfunktionen im Z\u00e4hler und Nenner der Division haben, ist die Exponentialfunktion mit der gr\u00f6\u00dften Basis die Funktion h\u00f6chster Ordnung.<\/p>\n<\/p>\n In diesem Beispiel wird der Nenner aus einer Exponentialfunktion gebildet, ist also von h\u00f6herer Ordnung als der Z\u00e4hler. Daher ergibt die unbestimmte Form Unendlichkeit zwischen Unendlichkeit 0. <\/p>\n Die L\u00f6sung der unendlichen minus unendlichen Unbestimmtheit h\u00e4ngt davon ab, ob die Funktion Br\u00fcche oder Wurzeln hat. Sehen wir uns also an, wie diese Art von Unbestimmtheit f\u00fcr diese beiden unterschiedlichen F\u00e4lle gel\u00f6st werden kann.<\/p>\n Wenn bei einer Addition oder Subtraktion algebraischer Br\u00fcche unendlich minus unendlich Unbestimmtheit auftritt<\/strong> , m\u00fcssen wir zuerst die Addition oder Subtraktion der Br\u00fcche durchf\u00fchren und dann den Grenzwert berechnen.<\/p>\n<\/div>\n Sehen wir uns an, wie man die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich in einer Funktion mit Br\u00fcchen berechnet, indem man ein Beispiel Schritt f\u00fcr Schritt l\u00f6st:<\/p>\n<\/p>\n Wir versuchen zun\u00e4chst, den Grenzwert zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n Aber wir erhalten die Unbestimmtheit \u221e-\u221e.<\/p>\n Wir m\u00fcssen zuerst die Br\u00fcche subtrahieren. Dazu reduzieren wir Br\u00fcche auf einen gemeinsamen Nenner, das hei\u00dft, wir multiplizieren Z\u00e4hler und Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen:<\/p>\n<\/p>\n Und da die beiden Br\u00fcche nun denselben Nenner haben, k\u00f6nnen wir sie zu einem einzigen Bruch kombinieren:<\/p>\n<\/p>\n Wir operieren mit dem Z\u00e4hler und dem Nenner:<\/p>\n<\/p>\n Und zum Schluss berechnen wir noch einmal den Grenzwert:<\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall ergibt die unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit +\u221e, weil der Grad des Z\u00e4hlers gr\u00f6\u00dfer ist als der Grad des Nenners.<\/p>\n Wenn bei der Radikaladdition oder -subtraktion unendlich minus unendlich Unbestimmtheit auftritt<\/strong> , m\u00fcssen wir die Funktion zun\u00e4chst mit dem konjugierten Radikalausdruck multiplizieren und dividieren und dann nach dem Grenzwert aufl\u00f6sen.<\/p>\n<\/div>\n Sehen wir uns an, wie man die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich in einer irrationalen Funktion l\u00f6st, indem wir einem Schritt-f\u00fcr-Schritt-Beispiel folgen:<\/p>\n<\/p>\n Wir versuchen zun\u00e4chst, den Limes der Funktion mit Radikalen zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Allerdings erhalten wir die unbestimmte Form \u221e-\u221e. Um also zu wissen, wie viel Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich ist, m\u00fcssen Sie das erl\u00e4uterte Verfahren anwenden.<\/p>\n Da die Funktion Radikale hat, multiplizieren und dividieren wir die gesamte Funktion durch den konjugierten irrationalen Ausdruck:<\/p>\n<\/p>\n Der algebraische Ausdruck des Z\u00e4hlers entspricht der bemerkenswerten Identit\u00e4t des Produkts aus einer Summe und einer Differenz. Wir k\u00f6nnen den Ausdruck daher vereinfachen:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt vereinfachen wir die Wurzel des Grenzwerts, da sie quadriert ist:<\/p>\n<\/p>\n Wir operieren mit dem Z\u00e4hler des Bruchs:<\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich wiederholen wir die Grenzwertberechnung:<\/p>\n<\/p>\n Das Ergebnis der Grenze ist daher 0, da jede durch Unendlich geteilte Zahl gleich Null ist. <\/p>\n Finden Sie die folgenden Grenzen der Diagrammfunktion: <\/p>\n Der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen minus Unendlich und plus Unendlich tendiert, ergibt 1: <\/p>\n<\/p>\n Die seitlichen Grenzen der Funktion links und rechts am Punkt x=-1 betragen plus Unendlich bzw. minus Unendlich: <\/p>\n<\/p>\n Schlie\u00dflich sind die seitlichen Grenzen der Funktion, wenn x gegen 1 tendiert, minus Unendlich und plus Unendlich wert: <\/p>\n<\/p>\n L\u00f6sen Sie den Grenzwert, wenn sich x der Zahl plus Unendlich der folgenden Funktion n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n Um den Grenzwert im Unendlichen zu ermitteln, m\u00fcssen wir x im Term h\u00f6chsten Grades des Polynoms durch Unendlich ersetzen: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie den Grenzwert ins Unendliche der folgenden Polynomfunktion: <\/p>\n<\/p>\n Um den Grenzwert im Unendlichen zu ermitteln, ersetzen wir x durch Unendlich im h\u00f6chsten Grad des Polynoms und f\u00fchren die Berechnungen durch: <\/p>\n<\/p>\n L\u00f6sen Sie den mindestens unendlichen Grenzwert der folgenden Polynomfunktion: <\/p>\n<\/p>\n Um den Grenzwert im Unendlichen zu berechnen, ersetzen wir x im h\u00f6chsten Grad des Polynoms durch minus Unendlich und werten die Funktion aus:<\/p>\n<\/p>\n Da minus Unendlich quadriert wird, wird das Vorzeichen der Unendlichkeit positiv.<\/p>\n Finden Sie den Grenzwert im Unendlichen der folgenden rationalen Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Um die Grenze zur Unendlichkeit zu bestimmen, ersetzen wir x durch plus Unendlich am Term des h\u00f6chsten Grades des Z\u00e4hlers und Nenners des Bruchs:<\/p>\n<\/p>\n Denken Sie daran, dass jede durch plus oder minus Unendlich geteilte Zahl gleich 0 ist.<\/p>\n L\u00f6sen Sie den folgenden Grenzwert im Unendlichen: <\/p>\n<\/p>\n Um den Grenzwert zu berechnen, wenn x in Richtung \u00b1\u221e einer Funktion tendiert, schauen Sie sich einfach das Monom des h\u00f6chsten Grades der Funktion an: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Funktion, wenn x sich der negativen Unendlichkeit n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall reicht es aus, den quadratischen Term durch Unendlich zu ersetzen: <\/p>\n<\/p>\n Finden Sie den Grenzwert der folgenden Exponentialfunktion, wenn x gegen Unendlich geht: <\/p>\n<\/p>\n Obwohl es sich um eine Exponentialfunktion handelt, ist der Prozess zur L\u00f6sung des Grenzwerts derselbe: Ersetzen Sie x durch Unendlich. <\/p>\n<\/p>\n L\u00f6sen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden Exponentialfunktion: <\/p>\n<\/p>\n Um diese Grenze aufzul\u00f6sen, m\u00fcssen Sie die Eigenschaften von Br\u00fcchen nutzen: <\/p>\n<\/p>\n L\u00f6sen Sie den folgenden Grenzwert im Unendlichen: <\/p>\n<\/p>\n Der Grenzwert ergibt Unbestimmtheit minus Unendlichkeit zwischen plus Unendlichkeit. Der Grad des Z\u00e4hlers ist gr\u00f6\u00dfer als der Grad des Nenners, daher ist die unbestimmte Grenze gleich plus Unendlich. Da die Division jedoch negativ Unendlich durch positiv Unendlich ist, ist das Ergebnis negativ Unendlich. <\/p>\n<\/p>\n Korrigieren Sie die folgende unbestimmte Grenze: <\/p>\n<\/p>\n In diesem Problem wird die unbestimmte Form Unendlich \u00fcber Unendlich aus dem Quotienten zweier Polynome gleichen Grades erhalten, sodass das Ergebnis des unbestimmten Grenzwerts die Division ihrer Hauptkoeffizienten ist: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie den folgenden Grenzwert mindestens bis ins Unendliche: <\/p>\n<\/p>\n Der Grad des algebraischen Ausdrucks des Z\u00e4hlers ist geringer als der Grad des Ausdrucks des Nenners, daher ergibt die Unbestimmtheit +\u221e\/+\u221e 0: <\/p>\n<\/p>\n L\u00f6sen Sie den folgenden unbestimmten Grenzwert einer Funktion mit Wurzeln: <\/p>\n<\/p>\n Der Ausdruck des Z\u00e4hlers steht unter einem Wurzelzeichen, sein Grad ist also 7\/3. Andererseits ist das Nennerpolynom quadratisch. Und da 7\/3>2, ergibt der Grenzwert mehr Unendlichkeit: <\/p>\n<\/p>\n Bestimmen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion mit Br\u00fcchen: <\/p>\n<\/p>\n In dieser \u00dcbung erhalten wir die Unbestimmtheit minus Unendlich dividiert durch minus Unendlich, wobei der Grad des Z\u00e4hlers gr\u00f6\u00dfer als der Grad des Nenners ist, also: <\/p>\n<\/p>\n Finden Sie den mindestens unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Das Nennerpolynom ist quadratisch, w\u00e4hrend das Z\u00e4hlerpolynom linear ist. Daher ergibt unendliche Unbestimmtheit dividiert durch Unendlich 0. <\/p>\n<\/p>\n L\u00f6sen Sie den mindestens unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Der Z\u00e4hler ist einen Grad gr\u00f6\u00dfer als der Nenner, daher ist das Ergebnis der unbestimmten Form \u221e\/\u221e unendlich. Dar\u00fcber hinaus ist das Unendlichkeitszeichen negativ, da das Positive zwischen dem Negativen ins Negative \u00fcbersetzt wird: <\/p>\n<\/p>\n L\u00f6sen Sie den folgenden Grenzwert im Unendlichen: <\/p>\n<\/p>\n Die Exponentialfunktion ist von h\u00f6herer Ordnung als die Polynomfunktion, daher ergibt der Grenzwert Unendlich. Wenn man jedoch das Positive durch das Negative dividiert, erh\u00e4lt man ein negatives Unendlichkeitszeichen: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion mit einer Quadratwurzel: <\/p>\n<\/p>\n Der Z\u00e4hler besteht aus einer Quadratwurzel, sein Grad ist also 2\/2=1. Dann ist der Grad des Z\u00e4hlers gleich dem des Nenners, sodass die unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit wie folgt aufgel\u00f6st wird: <\/p>\n<\/p>\n L\u00f6sen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion mit zwei Radikalen: <\/p>\n<\/p>\n Der Grad des Z\u00e4hlers ist 7\/3=2,33 und der Grad des Nenners ist 5\/2=2,5. Da der Grad des Z\u00e4hlers kleiner ist als der Grad des Nenners, ist die unbestimmte Unendlichkeitsgrenze zwischen Unendlich 0: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: <\/p>\n<\/p>\n Unabh\u00e4ngig vom Grad des Z\u00e4hlers ist das Ergebnis der unbestimmten Form Unendlich \u00fcber Unendlich 0, da wir im Nenner eine Exponentialfunktion haben: <\/p>\n<\/p>\n Bestimmen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden rationalen Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Zuerst versuchen wir, den Grenzwert zu berechnen, indem wir Unendlich in die Funktion einsetzen:<\/p>\n<\/p>\n Aber wir finden die Unbestimmtheit \u221e \u2013 \u221e. Deshalb bringen wir die Br\u00fcche auf einen gemeinsamen Nenner:<\/p>\n<\/p>\n Und da die beiden Br\u00fcche nun den gleichen Nenner haben, k\u00f6nnen wir sie zu einem einzigen Bruch zusammenfassen:<\/p>\n<\/p>\n Wir machen die Klammern des Z\u00e4hlers:<\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich bestimmen wir den Grenzwert:<\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall ergibt die Unbestimmtheit \u221e\/\u221e +\u221e, da der Grad des Z\u00e4hlers gr\u00f6\u00dfer ist als der Grad des Nenners.<\/p>\n L\u00f6sen Sie den Grenzwert der folgenden Bruchfunktion, wenn x sich 0 n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n Wir versuchen zun\u00e4chst wie gewohnt den Grenzwert zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n Aber wir erhalten die unbestimmte Form \u221e-\u221e. Wir m\u00fcssen daher die Br\u00fcche der Funktion auf einen gemeinsamen Nenner bringen.<\/p>\n In diesem Fall ist x 4<\/sup> ein Vielfaches von x 2<\/sup> . Durch die einfache Multiplikation von Z\u00e4hler und Nenner des zweiten Bruchs mit x 2<\/sup> stellen wir sicher, dass beide Br\u00fcche denselben Nenner haben:<\/p>\n<\/p>\n Wir k\u00f6nnen nun die beiden Br\u00fcche subtrahieren:<\/p>\n<\/p>\n Wir versuchen das Limit erneut aufzul\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Aber am Ende haben wir die Unbestimmtheit einer Konstante, die bei Null beginnt. Daher ist es notwendig, die seitlichen Grenzen der Funktion zu berechnen. <\/p>\n<\/p>\n Zusammenfassend l\u00e4sst sich sagen, dass die L\u00f6sung des Grenzwerts -\u221e lautet, da die beiden seitlichen Grenzen der Funktion am Punkt x=0 -\u221e ergeben: <\/p>\n<\/p>\n L\u00f6sen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion mit Wurzeln: <\/p>\n<\/p>\n Beim Versuch, den Grenzwert zu l\u00f6sen, erhalten wir die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich:<\/p>\n<\/p>\n Da die Funktion Radikale enth\u00e4lt, muss sie daher multipliziert und durch den konjugierten Radikalausdruck dividiert werden:<\/p>\n<\/p>\n Im Z\u00e4hler haben wir das bemerkenswerte Produkt einer Summe und einer Differenz, das gleich der Differenz der Quadrate ist. Noch:<\/p>\n<\/p>\n Wir vereinfachen das Radikal zum Quadrat:<\/p>\n<\/p>\n Wir operieren mit dem Z\u00e4hler: <\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich finden wir die Grenze:<\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall ist die Unbestimmtheit Unendlich geteilt durch Unendlich unendlicher, weil der Grad des Z\u00e4hlers gr\u00f6\u00dfer ist als der Grad des Nenners (denken Sie daran, dass die Quadratwurzel den Grad um zwei reduziert:<\/p>\n<\/p>\n ).<\/p>\n L\u00f6sen Sie den Grenzwert, wenn x sich der Unendlichkeit der folgenden irrationalen Funktion n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n Zun\u00e4chst versuchen wir wie gewohnt den Grenzwert zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n Dies f\u00fchrt aber zur Unbestimmtheit der Differenz der Unendlichkeiten. Da die Funktion Wurzeln hat, m\u00fcssen wir daher den Ausdruck mit dem konjugierten Radikal multiplizieren und dividieren:<\/p>\n<\/p>\n Wir gruppieren die bemerkenswerte Gleichheit des Z\u00e4hlers des Bruchs:<\/p>\n<\/p>\n Wir l\u00f6sen die Quadratwurzel:<\/p>\n<\/p>\n Wir l\u00f6sen die bemerkenswerte Identit\u00e4t des Quadrats einer Differenz:<\/p>\n<\/p>\n Wir operieren mit dem Z\u00e4hler: <\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich berechnen wir den Wert des Grenzwerts im Unendlichen:<\/p>\n<\/p>\n Auch wenn im Nenner ein x zum Quadrat steht, ist sein Grad tats\u00e4chlich 1, da er innerhalb einer Wurzel liegt:<\/p>\n<\/p>\n Daher ist das Ergebnis der Unbestimmtheit -\u221e\/+\u221e die Division der Koeffizienten von x mit dem h\u00f6chsten Grad, da der Grad des Z\u00e4hlers derselbe ist wie der Grad des Nenners.<\/p>\n<\/p>\n Beachten Sie, dass der Nenner zwei Terme ersten Grades enth\u00e4lt<\/p>\n<\/p>\n Und<\/p>\n , um die Unbestimmtheit -\u221e\/+\u221e aufzul\u00f6sen, ist es notwendig, alle Koeffizienten der Terme ersten Grades zu nehmen, also die<\/p>\n von<\/p>\n und das<\/p>\n von <\/p>\n Berechnen Sie den Grenzwert, wenn x sich 1 der folgenden Funktion mit Br\u00fcchen n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n Indem wir versuchen, den Grenzwert festzulegen, erhalten wir den unbestimmten Grenzwert von Unendlich minus Unendlich:<\/p>\n<\/p>\n Wir m\u00fcssen also die Br\u00fcche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, oder mit anderen Worten, wir m\u00fcssen den Z\u00e4hler und den Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n Und da nun die beiden Br\u00fcche den gleichen Nenner haben, k\u00f6nnen wir sie zusammensetzen:<\/p>\n<\/p>\n Wir betreiben: <\/p>\n<\/p>\n Und wir versuchen das Limit noch einmal zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n Aber wir finden die Unbestimmtheit Null dividiert durch Null. Wir m\u00fcssen daher die Polynome des Z\u00e4hlers und des Nenners faktorisieren:<\/p>\n<\/p>\n Jetzt vereinfachen wir den Bruch, indem wir den Faktor entfernen, der sich im Z\u00e4hler und Nenner wiederholt:<\/p>\n<\/p>\n Und schlie\u00dflich l\u00f6sen wir das Limit auf:<\/p>\n<\/p>\n![\"Grenzen](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/limites-a-linfini.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> So l\u00f6sen Sie Grenzen im Unendlichen <\/span><\/h2>\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-effad2986ba2e74fbe500e289a69da9b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"3\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1c763b44697322fd24e76bfa51f5c5c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"(-\\infty)^2](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-05dc9f255893d95b9e79b7b5d51dd22e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"(-\\infty)^3](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49e1e0668bc635216d447fffa91818f2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"-2(+\\infty)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74eb011f930bf861413a1f1b76504d87_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\pm](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1e47b723e734ab9ab0854874654472fb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\cfrac{5}{\\infty}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2a3e55d57fa71b3742567248df7ec299_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/span> Beispiele f\u00fcr Grenzen bis zur Unendlichkeit<\/span><\/h2>\n
![\"\\begin{array}{l}\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bbab608d243555490569fab22938c6e9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Unbestimmte Grenzen bis zur Unendlichkeit<\/span><\/h2>\n
![\"\\cfrac{\\infty}{\\infty}\\qquad](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d019f26dd82d4b42553a1594f23c061_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Unendliche Unbestimmtheit zwischen dem Unendlichen<\/span><\/h3>\n
\n
![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2c969e4b99985b44006e57d554ff0247_l3.png\")
s \\end{array}\\right.“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“139″ width=“767″ style=“vertical-align: 0px;“><\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4b4e5e0058ab08d743a6dc18587912a7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6c21a5f7720fd6be40b043d30f904941_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-de6d4de74f4fe69e45ce1a55fcb8c7d8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n Unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit und Wurzeln<\/h4>\n
![\"\\sqrt[\\color{red}\\bm{m}\\color{black}]{a_nx^{\\color{blue}\\bm{n}\\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\\dots}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ffc00917d2cc316211a57feafdddd0d2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle\\lim_{x\\to](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b93ef0d623e6904538b361f5d6f1ef9d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n Unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit und Exponentialfunktionen<\/h4>\n
![\"\\text{exponencial}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49d708f83c6876b3cdb6d884ab7b6a23_l3.png\")
\\text{polinomio}“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“16″ width=“192″ style=“vertical-align: -4px;“><\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle\\lim_{x\\to](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50f9e93066ce9e76b76ef6c7a72a9fad_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Unendliche minus unendliche Unbestimmtheit<\/span><\/h3>\n
Unbestimmtheit unendlich minus unendlich mit Br\u00fcchen <\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n Unbestimmtheit unendlich minus unendlich mit Wurzeln <\/h4>\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> \u00dcbungen zu Grenzen im Unendlichen gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 3<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 4<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n \u00dcbung 5<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n \u00dcbung 6<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 7<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 8<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 9<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 10<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 11<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 12<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 13<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 14<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 15<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 16<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 17<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 18<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 19<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 20<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 21<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n \u00dcbung 22<\/h3>\n
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