Die Punkt-Steigungsgleichung einer Geraden ist eine M\u00f6glichkeit, eine Gerade mathematisch auszudr\u00fccken. Insbesondere ben\u00f6tigen Sie nur die Steigung und die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden, um die Punkt-Steigung-Gleichung einer Geraden zu ermitteln. <\/p>\n
Die Formel f\u00fcr die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden<\/strong> lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n Gold<\/p>\n<\/p>\n ist die Steigung der Geraden und<\/p>\n sind die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden<\/p>\n Sehen wir uns anhand eines Beispiels an , wie die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden berechnet wird<\/strong> :<\/p>\n und Steigung m=3.<\/li>\n<\/ul>\n Die Formel f\u00fcr die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden lautet wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall besagt die Aussage, dass die Steigung der Geraden m=3 betr\u00e4gt, sodass die Gleichung der Geraden wie folgt lautet:<\/p>\n<\/p>\n Dar\u00fcber hinaus wissen wir auch, dass die Gerade durch den Punkt verl\u00e4uft<\/p>\n<\/p>\n , wir m\u00fcssen daher die Koordinaten dieses Punktes in die Gleichung einsetzen:<\/p>\n<\/p>\n Die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n Bedenken Sie, dass es neben der Punkt-Steigungsgleichung noch andere M\u00f6glichkeiten gibt, eine Gerade analytisch auszudr\u00fccken: die Vektorgleichung, parametrische Gleichungen, die kontinuierliche Gleichung, die implizite (oder allgemeine) Gleichung und die explizite Gleichung einer Geraden. Wenn Sie mehr Interesse haben, k\u00f6nnen Sie auf unserer Website nachsehen, um was es sich dabei handelt. <\/p>\n Wie wir bei der Definition der Punkt-Steigungsgleichung einer Geraden gesehen haben, ist der Parameter<\/p>\n<\/p>\n ist die Steigung der Geraden. Aber wirklich … was bedeutet die Steigung einer Linie? Sehen wir uns dies anhand der grafischen Darstellung einer Linie an: <\/p>\n Die Steigung der Linie<\/strong> gibt ihre Steilheit an. Wie Sie der Diagrammlinie entnehmen k\u00f6nnen,<\/p>\n<\/p>\n ist gleich 2, da die Linie um 2 vertikale Einheiten f\u00fcr 1 horizontale Einheit ansteigt.<\/p>\n Offensichtlich nimmt die Funktion zu, wenn die Steigung positiv ist (steigt), wenn die Steigung negativ ist, nimmt die Funktion ab (sinkt).<\/p>\n Dar\u00fcber hinaus gibt es drei verschiedene M\u00f6glichkeiten, die Steigung einer Geraden numerisch zu bestimmen:<\/p>\n <\/span> Und<\/p>\n Die Steigung der Geraden ist gleich:<\/li>\n<\/p>\n <\/span> ist der Richtungsvektor der Geraden, ihre Steigung ist:<\/li>\n<\/p>\n <\/span> ist der Winkel, den die Linie mit der Abszissenachse (X-Achse) bildet, die Steigung der Linie entspricht dem Tangens dieses Winkels: <\/li>\n<\/p>\n Schlie\u00dflich wird die Steigung einer Geraden auch genutzt, um die Beziehung zwischen mehreren Geraden zu kennen. Da zwei parallele<\/strong> Geraden die gleiche Steigung haben und andererseits die Steigung einer Geraden der negative Kehrwert der Steigung einer anderen Geraden ist, bedeutet dies, dass diese beiden Geraden senkrecht zueinander<\/strong> stehen. <\/p>\n Ein sehr h\u00e4ufiges Problem besteht darin, die Punkt-Steigungsgleichung aus zwei zur Geraden geh\u00f6renden Punkten zu ermitteln. Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie es gel\u00f6st wird:<\/p>\n Um die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden zu finden, m\u00fcssen wir die Steigung der Geraden bestimmen. Also berechnen wir die Steigung der Linie mit der Doppelpunktformel:<\/p>\n<\/p>\n Somit lautet die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n Daher m\u00fcssen wir nur die kartesischen Koordinaten eines Punktes auf der Geraden in die Gleichung einsetzen: <\/p>\n<\/p>\n Es ist auch gut, wenn wir den anderen Punkt der Aussage in die Gleichung der Geraden einsetzen: <\/p>\n<\/p>\n Wie wir in den obigen Abschnitten gesehen haben, gibt es mehrere M\u00f6glichkeiten, die Punkt-Steigungsgleichung einer Geraden numerisch zu ermitteln. Es ist jedoch auch grafisch zu finden. Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie das geht:<\/p>\n Um die Punkt-Steigungsgleichung f\u00fcr die gezeichnete Linie zu bestimmen, m\u00fcssen wir deren Steigung und einen Punkt auf der Linie ermitteln.<\/p>\n In diesem Fall betr\u00e4gt die Steigung der Linie 3, da die Linie f\u00fcr jede horizontale Einheit um 3 vertikale Einheiten ansteigt.<\/p>\n<\/p>\n Als n\u00e4chstes brauchen wir einen Punkt auf der Linie. Dazu k\u00f6nnen wir einen beliebigen Punkt im Diagramm ausw\u00e4hlen, durch den die Gerade verl\u00e4uft, beispielsweise den Punkt (1,1).<\/p>\n<\/p>\n Daher k\u00f6nnen wir nun die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden finden, indem wir ihre Formel anwenden:<\/p>\n<\/p>\n Schreiben Sie die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden, die durch den Punkt verl\u00e4uft<\/p>\n<\/p>\n und seine Steigung ist <\/p>\n Die Formel f\u00fcr die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden lautet:<\/p>\n<\/p>\n In diesem Fall besagt die Aussage, dass die Steigung der Geraden m=-2 ist, sodass die Gleichung der Geraden wie folgt lautet:<\/p>\n<\/p>\n Dar\u00fcber hinaus wissen wir aus der Aussage auch, dass die Gerade durch den Punkt verl\u00e4uft<\/p>\n<\/p>\n , es gen\u00fcgt also, die Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung einzusetzen: <\/p>\n<\/p>\n Wie lautet die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden, die durch die folgenden zwei Punkte verl\u00e4uft? <\/p>\n<\/p>\n Um die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden zu finden, m\u00fcssen wir die Steigung der Geraden bestimmen. Wir berechnen daher die Steigung der Geraden mit ihrer Formel:<\/p>\n<\/p>\n Somit lautet die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden wie folgt: <\/p>\n<\/p>\n Daher m\u00fcssen wir nur die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden in die Gleichung einsetzen: <\/p>\n<\/p>\n Es w\u00e4re auch richtig gewesen, den anderen Punkt der Aussage in die Gleichung einzubeziehen: <\/p>\n<\/p>\n Finden Sie die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden, die durch die folgenden zwei Punkte verl\u00e4uft: <\/p>\n<\/p>\n Um die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden zu finden, m\u00fcssen Sie zun\u00e4chst deren Steigung berechnen:<\/p>\n<\/p>\n Somit lautet die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden wie folgt: <\/p>\n<\/p>\n Daher m\u00fcssen wir nur die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden in die Gleichung einsetzen: <\/p>\n<\/p>\n Es ist auch richtig, den anderen Punkt der Aussage in die Geradengleichung einzuf\u00fcgen: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie die Punkt-Steigungsgleichung f\u00fcr die Linie, die mit der X-Achse einen Winkel von 45\u00b0 bildet und durch den Koordinatenursprung verl\u00e4uft. <\/p>\n Wenn die Linie mit der OX-Achse einen Winkel von 45 Grad bildet, betr\u00e4gt ihre Steigung: <\/p>\n<\/p>\n Und sobald wir die Steigung der Geraden kennen, k\u00f6nnen wir die Punkt-Steigungsgleichung finden, indem wir einen Punkt auf der Geraden in die Gleichung einsetzen. Dar\u00fcber hinaus sagt uns die Anweisung, dass die Linie durch den Koordinatenursprung verl\u00e4uft, was bedeutet, dass sie durch den Punkt (0,0) verl\u00e4uft. Noch: <\/p>\n<\/p>\n Die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden lautet daher: <\/p>\n<\/p>\n Finden Sie die Gleichung der Punktsteigung der Geraden parallel zur Geraden<\/p>\n<\/p>\n und was passiert \u00fcber den Punkt hinweg<\/p>\n gerade sein <\/p>\n Die Steigung der Linie<\/p>\n<\/p>\n ist gleich 2 (Zahl vor den Klammern) und damit zwei Geraden parallel sind, m\u00fcssen sie die gleiche Steigung haben, daher: <\/p>\n<\/p>\n Und sobald wir die Steigung der Linie kennen, ersetzen wir einfach die Koordinaten eines Punktes, der zur Linie geh\u00f6rt, in die Formel: <\/p>\n<\/p>\n Die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden lautet daher: <\/p>\n<\/p>\n![\"y-y_0=m(x-x_0)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3441e1da8c7da5805b1133af77b14f60_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Was bedeutet die Steigung einer Geraden?<\/span><\/h3>\n
<\/p>\n![\"Wie](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/point-pente-equation.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/p>\n So berechnen Sie die Steigung einer Geraden<\/h4>\n
\n
![\"P_1(x_1,y_1)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-99906702500e51b12e2859cc804a7b57_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/figure>\n<\/div>\n Relative Position der Linien<\/h4>\n
![\"parallele](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/lignes-paralleles-pente-dune-ligne.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n![\"\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/lignes-perpendiculaires-pente-d-une-ligne.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/span> Berechnen Sie die Punkt-Steigungsgleichung der Geraden, die durch zwei Punkte verl\u00e4uft<\/span><\/h2>\n
\n
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<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Finden Sie die Punkt-Steigungsgleichung einer Linie aus dem Diagramm<\/span><\/h2>\n
\n
![\"grafische](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/point-pente-ligne-equation.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"m](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0082d45adbb746641eb28f250a819459_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Probleme mit der Punkt-Steigung-Gleichung gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 3<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 4<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 5<\/h3>\n
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![\"Explizite](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercice-dequation-de-la-ligne-explicite.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"y-4](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2da731e16044d6c6ac573d0f5ecdc8b7_l3.png\" "\\"Rendered")
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