{"id":226,"date":"2023-07-11T00:06:07","date_gmt":"2023-07-11T00:06:07","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/allgemeine-oder-implizite-kartesische-gleichung-einer-geraden\/"},"modified":"2023-07-11T00:06:07","modified_gmt":"2023-07-11T00:06:07","slug":"allgemeine-oder-implizite-kartesische-gleichung-einer-geraden","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/allgemeine-oder-implizite-kartesische-gleichung-einer-geraden\/","title":{"rendered":"Implizite oder allgemeine (oder kartesische) gleichung der geraden"},"content":{"rendered":"
Auf dieser Seite erfahren Sie, wie die implizite Geradengleichung, auch allgemeine oder kartesische Geradengleichung genannt, berechnet wird. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie sich verschiedene Beispiele ansehen und sogar mit geradlinigen \u00dcbungen \u00fcben, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
<\/span> Was ist die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden?<\/span><\/h2>\n
Denken Sie daran, dass die mathematische Definition einer Linie eine Menge aufeinanderfolgender Punkte ist, die in derselben Richtung ohne Kurven oder Winkel dargestellt werden. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Somit ist die implizite Geradengleichung<\/strong> , auch allgemeine oder kartesische<\/strong> Gleichung<\/strong> genannt, eine M\u00f6glichkeit, jede Gerade mathematisch auszudr\u00fccken. Dazu ben\u00f6tigen Sie lediglich den Richtungsvektor der Geraden und einen zur Geraden geh\u00f6renden Punkt. <\/p>\n
<\/span> Formel f\u00fcr die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden <\/span><\/h2>\n
\n
Ja<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
ist der Richtungsvektor der Geraden und<\/p>\n
<\/p>\n
ein Punkt, der nach rechts geh\u00f6rt:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die Formel f\u00fcr die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden<\/strong> lautet:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Gold:<\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n
Und<\/p>\n
<\/p>\n
sind die kartesischen Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie.<\/li>\n
der Koeffizient\n
<\/p>\n
ist die zweite Komponente des Richtungsvektors:<\/p>\n
<\/p>\n<\/li>\n
der Koeffizient\n
<\/p>\n
ist die erste Komponente des Richtungsvektors mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen:<\/p>\n
<\/p>\n<\/li>\n
der Koeffizient\n
<\/p>\n
wird durch Ersetzen des bekannten Punktes berechnet<\/p>\n
<\/p>\n
in der Geradengleichung. <\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Bedenken Sie andererseits, dass es neben der impliziten (oder allgemeinen) Gleichung noch andere M\u00f6glichkeiten gibt, eine Gerade analytisch auszudr\u00fccken: die Vektorgleichung, parametrische Gleichungen, die kontinuierliche Gleichung, die explizite Gleichung und die Punkt-Steigungsgleichung von Eine Linie. Sie k\u00f6nnen auf unserer Website nachsehen, um was es sich dabei handelt. <\/p>\n
<\/span> Beispiel f\u00fcr die Berechnung der impliziten, allgemeinen oder kartesischen Gleichung der Geraden<\/span><\/h2>\n
Wenn man sich nur die Formel ansieht, k\u00f6nnte man meinen, dass diese Art der Geradengleichung etwas schwierig zu finden ist. Damit Sie aber sehen k\u00f6nnen, dass es genau das Gegenteil ist, werden wir anhand eines Beispiels sehen, wie man die allgemeine (oder implizite) Gleichung der Geraden findet:<\/p>\n
\n
Finden Sie die implizite Gleichung der Geraden, die durch den Punkt verl\u00e4uft\n
<\/p>\n
und hat<\/p>\n
<\/p>\n
als Leitvektor:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wie wir im obigen Abschnitt gesehen haben, lautet die Formel f\u00fcr die implizite Gleichung der Geraden:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir m\u00fcssen also die Koeffizienten A, B und C finden. Die Unbekannten A und B werden aus den Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden gewonnen, da die folgende Gleichheit immer \u00fcberpr\u00fcft wird:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Folglich ist der Koeffizient A die zweite Koordinate des Vektors und der Koeffizient B ist die erste Koordinate des Vektors mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die implizite Gleichung der Geraden lautet daher wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Daher m\u00fcssen wir nur den Koeffizienten C ermitteln. Dazu m\u00fcssen wir den Punkt, von dem wir wissen, dass er zur Geraden geh\u00f6rt, in deren Gleichung einsetzen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und nun l\u00f6sen wir die resultierende Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden lautet also: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Finden Sie die implizite Gleichung (allgemein oder kartesisch) aus der kontinuierlichen Gleichung <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Wir haben gerade eine M\u00f6glichkeit gesehen, die allgemeine Gleichung einer Geraden zu finden. Es gibt jedoch eine andere Methode, die auf der kontinuierlichen Gleichung beruht. Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie das geht:<\/p>\n
\n
Berechnen Sie die allgemeine (oder implizite) Gleichung der folgenden Linie, die durch ihre kontinuierliche Gleichung definiert ist:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Zuerst kreuzen wir die Multiplikation von Br\u00fcchen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Zweitens l\u00f6sen wir die Klammern mithilfe der Verteilungseigenschaft:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Als n\u00e4chstes verschieben wir alle Terme auf die linke Seite der Gleichung:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und schlie\u00dflich gruppieren wir die Terme und erhalten so die allgemeine Geradengleichung: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Probleme der impliziten oder allgemeinen (oder kartesischen) Gleichung gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
Schreiben Sie die allgemeine Gleichung der Geraden, die durch den Punkt verl\u00e4uft<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
und hat<\/p>\n
<\/p>\n
als Leitvektor: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Die Formel f\u00fcr die allgemeine Geradengleichung lautet:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir m\u00fcssen also A, B und C finden. Die Variablen A und B ergeben sich aus den Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden, da immer folgende Gleichheit verifiziert ist:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Folglich ist der Koeffizient A die zweite Koordinate des Vektors und der Koeffizient B ist die erste Koordinate des Vektors mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die implizite Gleichung der Geraden lautet daher wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Daher m\u00fcssen wir nur den Koeffizienten C ermitteln. Dazu m\u00fcssen wir den Punkt, von dem wir wissen, dass er zur Geraden geh\u00f6rt, in die Geradengleichung einsetzen und die resultierende Gleichung l\u00f6sen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Kurz gesagt lautet die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 2<\/h3>\n
Berechnen Sie die kartesische Gleichung der folgenden Zeile: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Die Gleichung wird als kontinuierliche Gleichung ausgedr\u00fcckt. Um ihre implizite Gleichung zu finden, m\u00fcssen wir die Br\u00fcche kreuzen und alle Terme auf eine Seite der Gleichung setzen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 3<\/h3>\n
Bestimmen Sie einen Punkt auf der folgenden Geraden und seinen Richtungsvektor. Die Gerade wird durch ihre allgemeine Gleichung ausgedr\u00fcckt: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden lassen sich aus den Koeffizienten A und B der allgemeinen Geradengleichung ermitteln: Die erste Komponente des Vektors entspricht dem Koeffizienten B mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen und die zweite Komponente des Vektors ist gleich dem Koeffizient A. ALSO: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Um andererseits einen Punkt auf der Linie zu berechnen, m\u00fcssen Sie einer Variablen einen Wert zuweisen. Das tun wir zum Beispiel<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
und wir l\u00f6sen die resultierende Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Der Punkt der Geraden ist also:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
M\u00f6glicherweise haben Sie einen anderen Punkt erhalten, da es davon abh\u00e4ngt, welchen Wert Sie der Variablen Andererseits muss der Richtungsvektor der Linie mit dem berechneten identisch sein.<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 4<\/h3>\n
Finden Sie die implizite Gleichung der Geraden, die durch die folgenden zwei Punkte verl\u00e4uft: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
In diesem Fall kennen wir den Richtungsvektor der Linie nicht, also m\u00fcssen wir zuerst ihren Richtungsvektor und dann die Gleichung der Linie finden.<\/p>\n
Um den Richtungsvektor der Linie zu ermitteln, berechnen Sie einfach den durch die beiden angegebenen Punkte definierten Vektor:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und sobald wir den Richtungsvektor der Linie kennen, k\u00f6nnen wir nun ihre implizite (oder allgemeine oder kartesische) Gleichung aus ihrer Formel bestimmen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die Unbekannten A und B werden aus den Koordinaten des Richtungsvektors der Linie erhalten, da der Koeffizient A die zweite Koordinate des Vektors ist und der Koeffizient B die erste Koordinate des Vektors mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen ist:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die implizite Gleichung der Geraden lautet daher wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Es reicht daher aus, den Koeffizienten C zu ermitteln. Dazu m\u00fcssen wir in die Geradengleichung einen Punkt einsetzen, von dem wir wissen, dass er zur Geraden geh\u00f6rt, und die resultierende Gleichung l\u00f6sen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Schlie\u00dflich lautet die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 5<\/h3>\n
Finden Sie die implizite Gleichung der Geraden senkrecht zur Geraden<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
und was passiert \u00fcber den Punkt hinweg <\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Zwei senkrechte Linien haben zueinander orthogonale Richtungsvektoren, daher m\u00fcssen wir den Richtungsvektor der Linie ermitteln<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
dann ein Vektor, der senkrecht dazu steht.<\/p>\n
Die Komponenten des Richtungsvektors der Linie<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
Sie k\u00f6nnen aus den Koeffizienten A und B der allgemeinen Geradengleichung erhalten werden: Die erste Komponente des Vektors entspricht dem Koeffizienten B mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen und die zweite Komponente des Vektors ist gleich dem Koeffizienten A. <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir m\u00fcssen nun einen senkrechten Vektor finden. Geben Sie dazu einfach die Koordinaten des Vektors ein und \u00e4ndern Sie das Vorzeichen eines davon:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Dies ist daher der Richtungsvektor der Linie senkrecht zu<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und sobald wir den Richtungsvektor der Linie kennen, k\u00f6nnen wir nun ihre implizite (oder allgemeine oder kartesische) Gleichung aus ihrer Formel bestimmen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die Unbekannten A und B werden aus den Koordinaten des Richtungsvektors der Linie erhalten, da der Koeffizient A die zweite Koordinate des Vektors ist und der Koeffizient B die erste Koordinate des Vektors mit ge\u00e4ndertem Vorzeichen ist:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die implizite Gleichung der Geraden lautet daher wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Es reicht daher aus, den Koeffizienten C zu ermitteln. Dazu m\u00fcssen wir in die Geradengleichung einen Punkt einsetzen, von dem wir wissen, dass er zur Geraden geh\u00f6rt, und die resultierende Gleichung l\u00f6sen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden lautet also: <\/p>\n<\/p>\n
Auf dieser Seite erfahren Sie, wie die implizite Geradengleichung, auch allgemeine oder kartesische Geradengleichung genannt, berechnet wird. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie sich verschiedene Beispiele ansehen und sogar mit geradlinigen \u00dcbungen \u00fcben, die Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6st werden. Was ist die implizite, allgemeine oder kartesische Gleichung der Geraden? Denken Sie daran, dass die mathematische Definition einer …<\/p>\n
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