{"id":221,"date":"2023-07-11T05:13:14","date_gmt":"2023-07-11T05:13:14","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/parallele-vektoren\/"},"modified":"2023-07-11T05:13:14","modified_gmt":"2023-07-11T05:13:14","slug":"parallele-vektoren","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/parallele-vektoren\/","title":{"rendered":"Parallele vektoren"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie alles \u00fcber parallele Vektoren: Was sie bedeuten, wenn zwei Vektoren parallel sind, wie man einen Vektor parallel zu einem anderen Vektor findet, die Eigenschaften dieses Vektortyps, &#8230; Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere sehen Beispiele und gel\u00f6ste parallele Vektor\u00fcbungen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-son-los-vectores-paralelos\"><\/span> Was sind Parallelvektoren? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffe0aa\"> <strong>Parallele Vektoren<\/strong> sind Vektoren, die die gleiche Richtung haben. Mit anderen Worten: Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie in zwei parallelen Geraden enthalten sind. Daher bilden zwei parallele Vektoren zwischen sich einen Winkel von 0 oder 180 Grad.<\/p>\n<p> Beispielsweise sind die folgenden drei Vektoren parallel: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/que-sont-deux-vecteurs-paralleles.webp\" alt=\"Was sind zwei parallele Vektoren?\" class=\"wp-image-1210\" width=\"172\" height=\"179\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Dar\u00fcber hinaus h\u00e4ngt die Parallelit\u00e4t zweier Vektoren nur von ihrer Richtung ab. Das hei\u00dft, zwei Vektoren sind parallel, wenn sie in der Richtung \u00fcbereinstimmen, unabh\u00e4ngig davon, ob sie die gleiche oder die entgegengesetzte Richtung haben. Und das Gleiche passiert mit dem Modul (oder der Gr\u00f6\u00dfe): Zwei Vektoren k\u00f6nnen unterschiedliche Module haben und parallel sein.<\/p>\n<p> Wenn andererseits zwei Vektoren die gleiche, aber entgegengesetzte Richtung haben, werden sie <strong>antiparallele Vektoren<\/strong> genannt. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcomo-se-sabe-cuando-dos-vectores-son-paralelos\"><\/span> Woher wissen Sie, ob zwei Vektoren parallel sind? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffe0aa\"> <strong>Zwei Vektoren sind parallel, wenn sie proportional sind.<\/strong> Um zu wissen, ob zwei Vektoren parallel sind, m\u00fcssen wir daher bestimmen, ob ihre jeweiligen Komponenten proportional sind oder nicht.<\/p>\n<p> Wie wir herausfinden k\u00f6nnen, ob zwei Vektoren parallel sind, werden wir durch zwei verschiedene gel\u00f6ste Aufgaben sehen, eine mit Vektoren mit 2 Koordinaten und die andere mit Vektoren mit 3 Koordinaten. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-vectores-paralelos-en-el-plano-en-r2\"><\/span> Beispiel f\u00fcr Vektoren parallel zur Ebene (im R2)<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> Bestimmen Sie, ob die folgenden zwei Vektoren parallel sind:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c173e0154210a443e280bb34e4966353_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}=(-2,4) \\qquad\\vv{\\text{v}}=(1,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"208\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um zu wissen, ob es sich tats\u00e4chlich um parallele Vektoren handelt, m\u00fcssen wir pr\u00fcfen, ob ihre kartesischen Koordinaten proportional sind:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b970d4aa09dea3c37f9ae2a3586bc175_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{-2}{1} = \\cfrac{4}{-2} = -2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"124\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Division der X-Komponenten und der Y-Komponenten durch sie ergibt das gleiche Ergebnis (-2), sodass die beiden Vektoren proportional und daher auch <strong>parallel<\/strong> sind.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c66764b9ce657ef712e852b979d40918_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} \\parallel \\vv{\\text{v}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"38\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beachten Sie, dass in der Mathematik die Parallelit\u00e4t zweier geometrischer Elemente durch zwei vertikale Balken (II) angezeigt wird. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-vectores-paralelos-en-el-espacio-en-r3\"><\/span> Beispiel f\u00fcr parallele Vektoren im Raum (in R3)<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<ul>\n<li> Finden Sie heraus, ob die Parallelit\u00e4tsbedingung in den folgenden zwei Vektoren erf\u00fcllt ist:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08ef4919348b52567179757f34e1bad3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}}=(1,3,-2) \\qquad\\vv{\\text{v}}=(2,6,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"227\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um festzustellen, ob es sich tats\u00e4chlich um parallele Vektoren handelt, m\u00fcssen wir pr\u00fcfen, ob die Koordinaten der Vektoren proportional sind:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4c13df7c3c1c0daf95938c3b2e391ce4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{1}{2} = \\cfrac{3}{6} = 0,5  \\neq \\cfrac{-2}{4} = -0,5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"211\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die X-Komponenten und Y-Komponenten der Vektoren sind proportional zueinander, da wir bei der Division das gleiche Ergebnis erhalten, andererseits sind sie nicht proportional zur Z-Komponente. Daher sind die Vektoren nicht zu allen proportional und daher <strong>nicht parallel<\/strong> . <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0369ae5c4f9eba22ba004b8ad22a3791_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} \\ \\cancel{\\parallel} \\ \\vv{\\text{v}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"40\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcomo-calcular-un-vector-paralelo\"><\/span> Wie berechnet man einen Parallelvektor? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p class=\"has-background\" style=\"background-color:#ffe0aa\"> Um einen Vektor parallel zu einem anderen Vektor zu finden, <strong>multiplizieren Sie ihn einfach mit einem Skalar<\/strong> (einer reellen Zahl) ungleich Null (0). Es gibt also unendlich viele Vektoren parallel zueinander, da der Vektor mit unendlich vielen Zahlen multipliziert werden kann.<\/p>\n<p> Wir berechnen beispielsweise mehrere parallele Vektoren des folgenden Vektors:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-217fe4e1853355088713c8976a72dfdc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}}=(2,4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Das Ergebnis aller folgenden Produkte sind Vektoren parallel zum vorherigen Vektor: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f43bc21e50858797698ead97f18ab01e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2\\vv{\\text{v}}=(4,8)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"80\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e5cf4e24b83fa659231fe8849030ac0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3\\vv{\\text{v}}=(6,12)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"89\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7df6eabe318b8ed9a2e9fd7a6e968e09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-1\\vv{\\text{v}}=(-2,-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-089421914e4d52862a277469fd332a22_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{2}\\vv{\\text{v}}=(1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-los-vectores-paralelos\"><\/span> Eigenschaften paralleler Vektoren<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Parallele Vektoren haben die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Reflexive Eigenschaft<\/strong> : Jeder Vektor ist parallel zu sich selbst.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4be4d866adc6357e0dd4119dfc7fad9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{v}} \\parallel  \\vv{\\text{v}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"37\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Symmetrische Eigenschaft<\/strong> : Wenn ein Vektor parallel zu einem anderen ist, ist dieser Vektor auch parallel zum ersten. Diese Eigenschaft besitzen auch <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/orthogonale-senkrechte-vektoren\/\">senkrechte Vektoren<\/a> .<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1af75669cfe20e558447253ac3bd5ff1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} \\parallel  \\vv{\\text{v}} \\ \\longrightarrow \\ \\vv{\\text{v}} \\parallel \\vv{\\text{u}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"126\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Transitive Eigenschaft<\/strong> : Wenn ein Vektor parallel zu einem anderen Vektor ist und dieser zweite Vektor parallel zu einem dritten Vektor, ist der erste Vektor auch parallel zum dritten Vektor.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-97b12a1e00fb21369eea8ce80b3e1c72_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left. \\begin{array}{c} \\vv{\\text{u}} \\parallel  \\vv{\\text{v}} \\\\[2ex] \\vv{\\text{v}} \\parallel  \\vv{\\text{w}} \\end{array} \\right\\} \\longrightarrow \\ \\vv{\\text{u}} \\parallel  \\vv{\\text{w}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"65\" width=\"151\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Das Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Moduli. Sie k\u00f6nnen in den <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/berechnen-sie-das-skalarprodukt-zwischen-zwei-vektoren.-beispiele-fur-geloste-ubungen\/\">Skalarprodukteigenschaften<\/a> \u00fcberpr\u00fcfen, warum dies geschieht.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-af3ec9660e232f8b69bdc0f0aa194027_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} \\parallel \\vv{\\text{v}} \\ \\longrightarrow \\ \\vv{\\text{u}} \\cdot \\vv{\\text{v}}= \\lvert \\vv{\\text{u}} \\rvert \\cdot \\lvert \\vv{\\text{v}} \\rvert\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"194\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Zwei parallele Vektoren sind immer linear abh\u00e4ngig. Dieses Konzept ist sehr wichtig. Wenn Sie es also nicht kennen, k\u00f6nnen Sie sich auf <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/unabhangige-und-linear-abhangige-vektoren-unabhangigkeit-lineare-abhangigkeit\/\">zwei linear abh\u00e4ngige Vektoren<\/a> beziehen.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1a467a484d13c5204dd6aba944f29ebd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} \\parallel \\vv{\\text{v}} \\ \\longrightarrow \\ LD\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"115\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite finden Sie alles \u00fcber parallele Vektoren: Was sie bedeuten, wenn zwei Vektoren parallel sind, wie man einen Vektor parallel zu einem anderen Vektor findet, die Eigenschaften dieses Vektortyps, &#8230; Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere sehen Beispiele und gel\u00f6ste parallele Vektor\u00fcbungen. 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