{"id":22,"date":"2023-09-17T11:08:12","date_gmt":"2023-09-17T11:08:12","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/unbestimmtheitstypen-unbestimmte-grenzen\/"},"modified":"2023-09-17T11:08:12","modified_gmt":"2023-09-17T11:08:12","slug":"unbestimmtheitstypen-unbestimmte-grenzen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/unbestimmtheitstypen-unbestimmte-grenzen\/","title":{"rendered":"Arten von unbestimmtheiten (unbestimmte grenzen)"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was Unbestimmtheit ist. Sie erfahren, was alle Arten von Unbestimmtheiten sind und wie Sie sie l\u00f6sen k\u00f6nnen. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6ste \u00dcbungen zu den Funktionsgrenzen aller Unbestimmtheiten sehen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-son-las-indeterminaciones\"><\/span> Was sind Unbestimmtheiten?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Unbestimmtheiten, auch unbestimmte Formen genannt, sind mathematische Ausdr\u00fccke, die bei der Berechnung der Grenzen von Funktionen auftreten, deren Ergebnis nicht definiert ist.<\/strong> Um die Unbestimmtheiten der Grenzen aufzul\u00f6sen, ist es daher notwendig, ein Vorverfahren anzuwenden, das von der Art der Funktion abh\u00e4ngt.<\/p>\n<p> Das hei\u00dft, wenn wir Unbestimmtheit erreichen, bedeutet das nicht, dass der Grenzwert nicht existiert oder dass er nicht gel\u00f6st werden kann, sondern dass wir \u00c4nderungen an der Funktion vornehmen m\u00fcssen, um die L\u00f6sung des Grenzwerts zu finden. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"tipos-de-indeterminaciones\"><\/span> Arten von Unbestimmtheiten<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Unbestimmte oder unbestimmte Formen werden in die folgenden Typen eingeteilt:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich<\/strong> (\u221e-\u221e)<\/li>\n<li> <strong>Anzahl der Unbestimmtheit zwischen Null<\/strong> (k\/\u221e)<\/li>\n<li> <strong>Nullunbestimmtheit zwischen Null<\/strong> (0\/0)<\/li>\n<li> <strong>Unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit<\/strong> (\u221e\/\u221e)<\/li>\n<li> <strong>Unbestimmtheit 1 ins Unendliche erhoben<\/strong> (1 <sup>\u221e<\/sup> )<\/li>\n<li> <strong>Nullunbestimmtheit auf Null erh\u00f6ht<\/strong> (0 <sup>0<\/sup> )<\/li>\n<li> <strong style=\"font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif; font-size: 1rem;\">Null-Unbestimmtheit f\u00fcr Unendlich<\/strong> <span style=\"font-family: -apple-system, BlinkMacSystemFont, &quot;Segoe UI&quot;, Roboto, Oxygen-Sans, Ubuntu, Cantarell, &quot;Helvetica Neue&quot;, sans-serif; font-size: 1rem; font-weight: inherit;\">(0\u00b7\u221e)<\/span><\/li>\n<li> <strong>Nullunbestimmtheit ins Unendliche erh\u00f6ht<\/strong> (0 <sup>\u221e<\/sup> )<\/li>\n<li> <strong>Unendliche Unbestimmtheit auf Null gebracht<\/strong> (\u221e <sup>0<\/sup> )<\/li>\n<\/ul>\n<p> Wir werden dann sehen, wie wir alle Arten von Unbestimmtheiten aufl\u00f6sen k\u00f6nnen. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-infinito-menos-infinito\"><\/span> Unendliche minus unendliche Unbestimmtheit<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Die <strong>unbestimmte Form Unendlich minus Unendlich<\/strong> ist nicht gleich Null, da wir zwei sehr gro\u00dfe Zahlen subtrahieren, aber nicht wissen, welche gr\u00f6\u00dfer ist. Das Ergebnis der Differenz der Unendlichkeiten h\u00e4ngt daher von der Ordnung jeder Unendlichkeit ab.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03349653243a9ad62377c721fea0e797_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\infty-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"56\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Aufl\u00f6sung dieser Art von Unbestimmtheit ist nicht einfach, da je nach Art der Funktion das eine oder andere Verfahren angewendet werden muss. Daher empfehlen wir Ihnen, die vollst\u00e4ndige Erkl\u00e4rung unter folgendem Link anzusehen:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/unbestimmtheit-unendlich-minus-unendlich-%e2%88%9e-%e2%88%9e\/\">So l\u00f6sen Sie die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich<\/a><\/span> <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-numero-entre-cero\"><\/span> Anzahl der Unbestimmtheit zwischen Null<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Die <strong>Unbestimmtheit einer durch Null dividierten Konstante<\/strong> erh\u00e4lt man, wenn der Nenner einer rationalen Funktion gestrichen wird.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d550f72be2a531eb89d5cf200f54dc8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{k}{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Das Ergebnis dieser Art unbestimmter Form wird immer unendlicher oder weniger unendlich sein, andernfalls existiert der Grenzwert der Funktion nicht. Sehen wir uns an, wie diese Unbestimmtheit berechnet wird, indem wir als Beispiel einen Grenzwert l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f20a823489187682e3becf93cbd93c7e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0}\\cfrac{-4}{x^2}=\\cfrac{-4}{0^2}=\\cfrac{-4}{0}=\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir haben die Unbestimmtheit einer Zahl dividiert durch Null erhalten, <u style=\"text-decoration-color:#FF9B28;\">also m\u00fcssen wir die seitlichen Grenzen der Funktion berechnen:<\/u><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-84821ecfa11641959a1463c3f2dd00e6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^-}\\cfrac{-4}{0^2}=\\cfrac{-4}{(-0,001)^2}=\\cfrac{-4}{+0}=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"289\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-904f4d1bb401493cdb76cbb9ce607f0f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+}\\cfrac{-4}{0^2}=\\cfrac{-4}{0,001^2}=\\cfrac{-4}{+0}=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"42\" width=\"261\" style=\"vertical-align: -16px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/seitliche-grenzen\/\">Was sind seitliche Begrenzungen?<\/a><\/span><\/p>\n<p> Die beiden seitlichen Grenzen der Funktion f\u00fchren zum gleichen Ergebnis. Per Definition ergibt der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen 0 geht, minus Unendlich:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c1b718f44360fe4322ba69ee40c9613_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^-}f(x)=\\lim_{x\\to 0^+}f(x)=-\\infty \\ \\longrightarrow \\ \\lim_{x\\to 0}f(x)=-\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"401\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beachten Sie, dass der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt nicht existieren w\u00fcrde, wenn die seitlichen Grenzen unterschiedliche Werte ergeben h\u00e4tten. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-entre-cero\"><\/span> Null zwischen Null Unbestimmtheit<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Der <strong>unbestimmte Grenzwert Null dividiert durch Null<\/strong> kommt sehr h\u00e4ufig vor und wird bei Funktionen mit Br\u00fcchen erhalten, bei denen sich Z\u00e4hler und Nenner aufheben.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f88512bac0562399d5d8e65829073b54_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{0}{0}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"9\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Diese Art unbestimmter Grenze wird je nach Funktion unterschiedlich aufgel\u00f6st. Wenn die Funktion beispielsweise Wurzeln hat, m\u00fcssen verschiedene Schritte ausgef\u00fchrt werden. Die verschiedenen Aufl\u00f6sungen dieser Art von Unbestimmtheit k\u00f6nnen Sie im folgenden Link sehen:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/null-zwischen-null-0-0-unbestimmtheit\/\">So l\u00f6sen Sie die Nullunbestimmtheit zwischen Null<\/a><\/span> <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-infinito-entre-infinito\"><\/span> Unendliche Unbestimmtheit zwischen dem Unendlichen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit<\/strong> tritt normalerweise in den unendlichen Grenzen von Funktionen mit Br\u00fcchen auf. Obwohl Unbestimmtheit der Quotient zweier Unendlichkeiten ist, muss das Ergebnis nicht unbedingt Unendlichkeit sein.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5322af410095265a81aa545e533ebd1e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\cfrac{\\infty}{\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"34\" width=\"18\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Diese Art unbestimmter Form wird durch Vergleich aufgel\u00f6st. Das hei\u00dft, der Grad des Z\u00e4hlers und der Grad des Nenners werden beobachtet und je nachdem, welcher Wert gr\u00f6\u00dfer ist, ist das Grenzergebnis das eine oder das andere. Alle F\u00e4lle k\u00f6nnen Sie unter folgendem Link einsehen:<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\">gel\u00f6ste \u00dcbungen zu unendlichen Grenzen zwischen Unendlich<\/a><\/span> <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-1-elevado-a-infinito\"><\/span> Unbestimmtheit 1 ins Unendliche erh\u00f6ht<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Mathematisch k\u00f6nnte man denken, dass <strong>1 bis Unendlich<\/strong> 1 ergibt, da jede Potenz von 1 gleich 1 ist. Dieser Term ist jedoch eine Unbestimmtheit und daher kann man sein Ergebnis nicht so einfach ableiten.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f68a3b617b5f1db37a9beea43e15264f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1^{\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"21\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Diese Art von Unbestimmtheit wird durch Anwendung der folgenden Formel berechnet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6bc13731241df168c3dc37d3e3b8e58_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}f(x)^{g(x)}=\\lim_{x\\to+\\infty}e^{g(x)\\cdot [f(x)-1]}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"30\" width=\"271\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beispielsweise ist der folgende Grenzwert unbestimmt, da er die Potenz der Unendlichkeit angibt:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-96004b3ff4fd888f2e7fbc30a14abf13_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}\\left(1-\\frac{1}{x}\\right)^x=\\left(1-\\frac{1}{+\\infty}\\right)^{+\\infty}=(1-0)^{+\\infty}=1^{+\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"428\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir m\u00fcssen daher die Formel f\u00fcr diese Art von Unbestimmtheit verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e577daa5f0e768ca16bfe27a4d7a8a85_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to+\\infty}e^{x\\cdot\\left[1-\\frac{1}{x}-1\\right]}=\\lim_{x\\to+\\infty}e^{x\\cdot\\left[-\\frac{1}{x}\\right]}=\\lim_{x\\to+\\infty}e^{-1}=\\frac{1}{e}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"37\" width=\"383\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Damit haben wir die ins Unendliche angehobene unbestimmte Grenze bereits gel\u00f6st. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-elevado-a-cero\"><\/span> Null Unbestimmtheit auf Null gebracht<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> <strong>Nullunbestimmtheit zur Nullpotenz<\/strong> tritt innerhalb der Grenzen komplizierter Funktionen auf.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dfc1e32d3dc765b27701a8576e765fc6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0^0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"16\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um diese Art von unbestimmtem Grenzwert aufzul\u00f6sen, m\u00fcssen Sie die folgende Grenzwerteigenschaft verwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56b621d520e28cf2dbcd93bcd5d35eb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)\\cdot \\ln\\bigl(f(x)\\bigr)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"266\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der folgende Grenzwert ergibt beispielsweise die unbestimmte Form 0 hoch 0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d8680b80b19cae955169d2c0a8ad41f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\left(\\frac{1}{x}\\right)^{\\frac{1}{x}}=\\left(\\frac{1}{+\\infty}\\right)^{\\frac{1}{+\\infty}}=0^0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"50\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn wir jedoch Logarithmen auf den Grenzwert anwenden, k\u00f6nnen wir seinen Wert ermitteln: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04165b15f4b40bbe84ae5a4b214d4846_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\left(\\frac{1}{x}\\right)^{\\frac{1}{x}}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{1}{x}\\cdot \\ln\\left(\\frac{1}{x}\\right)}}=\\\\[5ex]\\displaystyle =e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{\\ln\\left(\\frac{1}{x}\\right)}{x}}}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{\\ln1-\\ln x}{x}}}=\\\\[5ex]=\\displaystyle e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{-\\ln x}{x}}}=e^{^{\\displaystyle\\frac{-\\infty}{+\\infty}}}=e^0=1\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"239\" width=\"307\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-por-infinito\"><\/span> Null Unbestimmtheit f\u00fcr die Unendlichkeit<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Es ist schwierig, der <strong>Unbestimmtheit des Produkts aus Null und Unendlich<\/strong> zu begegnen, aber das bedeutet nicht, dass es leicht zu bestimmen ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-74b7fdba8e0feae988551f83341ec063_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0\\cdot \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"39\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Es gibt keine einheitliche Methode zur L\u00f6sung dieser Art von Unbestimmtheit, sie h\u00e4ngt jedoch von der Art der Funktion ab. In diesem Fall m\u00fcssen wir die Funktion in eine unendliche Unbestimmtheit geteilt durch Unendlich oder eine Null-Unbestimmtheit geteilt durch Null umwandeln und von dort aus die L\u00f6sungsmethoden anwenden, die wir oben f\u00fcr jede Unbestimmtheit gesehen haben.<\/p>\n<p> Wenn also der Grenzwert einer Funktion 0 und der Grenzwert der anderen Funktion \u221e ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ac028c501a7835fdfa3bab5c769849b3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)=0\\qquad\\lim_{x\\to a}g(x)=\\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"243\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir k\u00f6nnen diesen Typ auf unbestimmte Zeit transformieren, indem wir die folgenden \u00c4nderungen vornehmen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df402461269ae26c30768fc0bf83f2ea_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)\\cdot g(x)\\begin{cases}\\displaystyle\\lim_{x\\to a}\\frac{f(x)}{\\displaystyle\\frac{1}{g(x)}}=\\frac{0}{0}\\\\[10ex]\\displaystyle\\lim_{x\\to a}\\frac{g(x)}{\\displaystyle\\frac{1}{f(x)}}=\\frac{\\infty}{\\infty}\\end{cases}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"174\" width=\"248\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sehen wir uns an, wie das geht, indem wir als Beispiel einen unbestimmten Grenzwert l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-929e74562ababa44a253522d4474afad_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}e^{-x}\\cdot x=e^{-\\infty}\\cdot (+\\infty)=0\\cdot \\infty\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"27\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -13px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir bearbeiten die Funktion, um eine unendliche Unbestimmtheit \u00fcber die Unendlichkeit zu erhalten, und finden dann den Grenzwert: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3c29bbb439514449cd12fd8d66e327af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to +\\infty}e^{-x}\\cdot x=\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{x}{\\displaystyle\\frac{1}{e^{-x}}}=\\\\[6ex]=\\displaystyle \\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{x}{e^x}=\\frac{+\\infty}{e^{+\\infty}}=\\frac{+\\infty}{+\\infty}=0\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"108\" width=\"241\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-cero-elevado-a-infinito\"><\/span> Null-Unbestimmtheit ins Unendliche erh\u00f6ht<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Die <strong>ins Unendliche erh\u00f6hte Unbestimmtheitsnull<\/strong> ist etwas schwer zu verstehen, da wir eine sehr kleine Zahl auf eine sehr gro\u00dfe Zahl erh\u00f6hen.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4894b918853d6dca8db65a026b1a349b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"0^{\\infty}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"22\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn diese unbestimmten Formen erhalten werden, muss die folgende Formel verwendet werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56b621d520e28cf2dbcd93bcd5d35eb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)\\cdot \\ln\\bigl(f(x)\\bigr)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"266\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Lassen Sie uns ein Beispiel l\u00f6sen, um besser zu verstehen, wie diese Art von Unbestimmtheit berechnet wird: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6ca354428ea8889a956a9b77b04a088f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+}x^{\\frac{1}{x}}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to 0^+}\\frac{1}{x}\\cdot \\ln(x)}}=\\\\[3.5ex]\\displaystyle =e^{^{\\displaystyle\\frac{1}{0^+}\\cdot \\ln(0^+)}}=e^{+\\infty\\cdot (-\\infty)}\\\\[3ex]\\displaystyle =e^{-\\infty}=\\frac{1}{e^{+\\infty}}=0\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"190\" width=\"221\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"indeterminacion-infinito-elevado-a-cero\"><\/span> Unendliche Unbestimmtheit auf Null gebracht<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Normalerweise ergibt jede Potenz, die auf Null erh\u00f6ht wird, 1, die <strong>Unbestimmtheit der Unendlichkeit, die auf Null erh\u00f6ht wird<\/strong> , muss jedoch nicht unbedingt so sein.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4a2ef9259a35e0e2f7a176bcdb934ad9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\infty^0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"25\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie bei den Unbestimmtheiten Null auf Null erh\u00f6ht und Null auf Unendlich erh\u00f6ht, ist es zur Aufl\u00f6sung dieser Art unbestimmter Grenze notwendig, Logarithmen anzuwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56b621d520e28cf2dbcd93bcd5d35eb5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)^{g(x)}=e^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)\\cdot \\ln\\bigl(f(x)\\bigr)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"48\" width=\"266\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Sehen wir uns an, wie diese Art unbestimmter Grenzen gel\u00f6st wird, indem wir Schritt f\u00fcr Schritt ein Beispiel berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a45090015a206189aca3884f8b2cab30_l3.png\" 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