{"id":217,"date":"2023-07-11T12:27:22","date_gmt":"2023-07-11T12:27:22","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-gemischte-produkte-aus-drei-vektoren-oder-dreifache-skalarprodukte\/"},"modified":"2023-07-11T12:27:22","modified_gmt":"2023-07-11T12:27:22","slug":"beispiele-fur-gemischte-produkte-aus-drei-vektoren-oder-dreifache-skalarprodukte","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/beispiele-fur-gemischte-produkte-aus-drei-vektoren-oder-dreifache-skalarprodukte\/","title":{"rendered":"Gemischtes produkt aus drei vektoren (oder dreifachpunktprodukt)"},"content":{"rendered":"

Auf dieser Seite erkl\u00e4ren wir, was das gemischte Produkt dreier Vektoren (oder Dreifachpunktprodukt) ist und wie es berechnet wird. Au\u00dferdem sehen Sie Beispiele, \u00dcbungen und gel\u00f6ste Probleme zu dieser Art von Operation zwischen Vektoren. Dar\u00fcber hinaus finden Sie die Eigenschaften und Anwendungen des Mischprodukts. <\/p>\n

<\/span> Was ist das gemischte Produkt dreier Vektoren?<\/span><\/h2>\n

Das gemischte Produkt<\/strong> dreier Vektoren, auch dreifaches Skalarprodukt<\/strong> genannt, ist eine sukzessive Multiplikation zwischen drei Vektoren, die zwei verschiedene Arten von Operationen umfasst: das Skalarprodukt<\/a> und das Vektorprodukt<\/a> . Die Kombination der beiden Vektoroperationen ergibt also einen Skalar (eine reelle Zahl).<\/p>\n

Konkret besteht das gemischte Produkt aus der Berechnung des Vektorprodukts zweier Vektoren und der anschlie\u00dfenden vektoriellen Multiplikation des erhaltenen Ergebnisses mit einem dritten Vektor. So geschrieben mag es sehr kompliziert erscheinen, aber in Wirklichkeit ist es gar nicht so viel, schauen Sie sich die Formel des Triple-Dot-Produkts an:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr]<\/p>\n<\/p>\n

Wie Sie in der Formel sehen k\u00f6nnen, wird das gemischte Produkt dreier Vektoren durch zwei eckige Klammern angezeigt. <\/p>\n

<\/span> Wie berechnet man das gemischte Produkt dreier Vektoren?<\/span><\/h2>\n

Die Dreipunktproduktformel ist die, die wir gerade im vorherigen Abschnitt gesehen haben. Sie wird jedoch im Allgemeinen nicht zur Bestimmung des gemischten Produkts dreier Vektoren verwendet, da es einen anderen, einfacheren und schnelleren Weg gibt: <\/p>\n

\n

Es seien drei beliebige Vektoren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}=<\/p>\n<\/p>\n

Um das gemischte Produkt zwischen drei Vektoren zu berechnen,<\/strong> l\u00f6sen Sie einfach die 3\u00d73-Determinante, die durch die Komponenten der Vektoren gebildet wird:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr]=\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n

Damit Sie ein Beispiel daf\u00fcr sehen k\u00f6nnen, wie dies berechnet wird<\/span> , finden wir das gemischte Produkt der folgenden drei Vektoren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\vv{\\text{u}}=<\/p>\n<\/p>\n

Um das gemischte Produkt zu bestimmen, konstruieren wir eine Determinante der Ordnung 3, indem wir die Vektoren in Zeilen der Matrix platzieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr]=\\begin{vmatrix}<\/p>\n<\/p>\n

Und jetzt m\u00fcssen wir nur noch die Determinante der Matrix l\u00f6sen, daf\u00fcr k\u00f6nnen Sie jede Methode verwenden. In diesem Fall wenden wir die Regel von Sarrus an (dies kann aber auch durch Additionen oder Cofaktoren erfolgen): <\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}\\bigl[\\vv{\\text{u}},\\vv{\\text{v}},\\vv{\\text{w}}\\bigr]&<\/p>\n<\/p>\n

\n

Um zu zeigen, dass die beiden Verfahren \u00e4quivalent sind, berechnen wir das Mischprodukt derselben Vektoren anhand ihrer Definition:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{aligned}<\/p>\n<\/p>\n

Wir empfehlen, das Mischprodukt \u00fcber die Determinante der Vektoren zu berechnen, da dies schneller ist und die Fehlerwahrscheinlichkeit geringer ist. Aber wie Sie sehen, ist das Ergebnis unabh\u00e4ngig von der verwendeten Methode das gleiche. Verwenden Sie also die Methode, die Ihnen am besten gef\u00e4llt. \ud83d\udc4d <\/p>\n

<\/span> Geometrische Interpretation des Mischprodukts<\/span><\/h2>\n

Sobald Sie wissen, wie man das gemischte Produkt von drei Vektoren findet, fragen Sie sich vielleicht … und wozu dient das gemischte Produkt? Nun, in der Mathematik hat es zwei Hauptverwendungszwecke: die Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds und des Volumens eines Tetraeders.<\/p>\n

Das Volumen eines Parallelepipeds<\/strong> ist gleich dem Absolutwert des gemischten Produkts der Vektoren, die die drei Dimensionen des geometrischen Feldes markieren. <\/p>\n

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\"Beispiel<\/figure>\n<\/div>\n

Eine weitere Anwendung des Mischprodukts ist die Bestimmung des Volumens eines Tetraeders<\/strong> . Da geometrisch gesehen der sechste Teil des Absolutwerts des Mischprodukts das Volumen eines Tetraeders darstellt: <\/p>\n

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\"gemischtes<\/figure>\n<\/div>\n

<\/span> Eigenschaften des Mischprodukts bzw. Triple-Dot-Produkts<\/span><\/h2>\n

Das gemischte Produkt oder dreifache Skalarprodukt hat die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n