{"id":213,"date":"2023-07-11T20:48:25","date_gmt":"2023-07-11T20:48:25","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/modul-einer-vektorformel-beispiele-geloster-ubungen\/"},"modified":"2023-07-11T20:48:25","modified_gmt":"2023-07-11T20:48:25","slug":"modul-einer-vektorformel-beispiele-geloster-ubungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/modul-einer-vektorformel-beispiele-geloster-ubungen\/","title":{"rendered":"So berechnen sie den modul eines vektors"},"content":{"rendered":"
Auf dieser Seite sehen Sie die Erkl\u00e4rung der Gr\u00f6\u00dfe eines Vektors und wie man ihn mit seiner Formel berechnet. Sie k\u00f6nnen auch sehen, wie Sie das Modul von zwei Punkten aus finden: seinem Ursprung und seinem Ende. Dar\u00fcber hinaus erfahren Sie, wie Sie die Komponenten eines Vektors aus seinem Modul und den Eigenschaften des Moduls eines Vektors bestimmen. Sie k\u00f6nnen sogar mit Beispielen, \u00dcbungen und Schritt-f\u00fcr-Schritt-Aufgaben \u00fcben. <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
<\/span> Was ist der Modul eines Vektors?<\/span><\/h2>\n
Der Betrag eines Vektors<\/strong> stellt den Abstand zwischen seinem Ursprung und seinem Ende dar. Daher ist die Gr\u00f6\u00dfe eines Vektors gleich der L\u00e4nge<\/strong> dieses Vektors. <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Wie Sie in der grafischen Darstellung oben sehen k\u00f6nnen, wird die Gr\u00f6\u00dfe eines Vektors durch einen vertikalen Balken auf jeder Seite des Vektors symbolisiert:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Andererseits ist der Modul eines Vektors derselbe wie die Norm eines Vektors<\/strong> , Sie k\u00f6nnen ihn also auch so schreiben. Deshalb gibt es Mathematiker, die den Modul eines Vektors auch mit zwei vertikalen Balken auf jeder Seite darstellen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Formel f\u00fcr den Modul eines Vektors<\/span><\/h2>\n
Um den Betrag eines Vektors in der Ebene zu ermitteln, m\u00fcssen wir die folgende Formel anwenden: <\/p>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
\n
Um die Gr\u00f6\u00dfe eines Vektors zu bestimmen,<\/strong> m\u00fcssen wir die (positive) Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Komponenten berechnen. Mit anderen Worten, wenn wir den folgenden Vektor haben:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Sein Modul ist:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n
Wir berechnen beispielsweise den Betrag des folgenden Vektors mit der Formel: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Berechnen Sie die Gr\u00f6\u00dfe eines Vektors anhand der Koordinaten seines Ursprungs und Endes<\/span><\/h2>\n
Wir haben gerade gesehen, wie die Gr\u00f6\u00dfe eines Vektors bestimmt wird, wenn wir seine Komponenten kennen, aber was w\u00fcrde passieren, wenn wir nur die Punkte kennen w\u00fcrden, an denen er beginnt und wo er endet?<\/p>\n
Um also die Gr\u00f6\u00dfe eines Vektors aus den Koordinaten seines Ursprungs und seines Endes zu berechnen, m\u00fcssen Sie diese beiden Schritte befolgen:<\/p>\n
\n
\n
Zuerst finden wir die Komponenten des Vektors. Dazu m\u00fcssen wir das Extremum minus den Ursprung subtrahieren.<\/span><\/li>\n
Und dann berechnen wir den Modul des erhaltenen Vektors mit der Formel, die wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n
Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie das geht:<\/p>\n
\n
Berechnen Sie den Betrag des Vektors, dessen Ursprung der Punkt ist\n
<\/p>\n
und als letzter Punkt<\/p>\n
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n
Zuerst m\u00fcssen wir die Komponenten des Vektors finden, also subtrahieren wir seinen Endpunkt minus seinen Ursprung:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Sobald wir den Vektor kennen, berechnen wir seine Gr\u00f6\u00dfe mithilfe der Vektorgr\u00f6\u00dfenformel:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und wir belassen das Ergebnis als Quadratwurzel, weil es nicht exakt ist. <\/p>\n
<\/span> So berechnen Sie die Komponenten eines Vektors aus seinem Modul <\/span><\/h2>\n
\n
<\/div>\n<\/div>\n
Wir haben gesehen, wie man die Gr\u00f6\u00dfe eines Vektors aus seinen Komponenten extrahiert, aber der Prozess kann auch umgekehrt werden. Mit anderen Worten: Wir k\u00f6nnen die Komponenten eines Vektors \u00fcber seinen Modul berechnen.<\/p>\n
Der Prozess, die Komponenten eines Vektors aus seiner Gr\u00f6\u00dfe zu ermitteln, wird als Vektorzerlegung<\/strong> bezeichnet. Um einen Vektor zu zerlegen, ben\u00f6tigen wir also nat\u00fcrlich seine Gr\u00f6\u00dfe und den Winkel, den er mit der Abszissenachse (X-Achse) bildet.<\/p>\n
Damit die X- und Y-Komponenten des Vektors mit den trigonometrischen Verh\u00e4ltnissen berechnet werden k\u00f6nnen: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Wie Sie im Bild sehen k\u00f6nnen, bildet der Betrag eines Vektors mit seinen Komponenten ein rechtwinkliges Dreieck, sodass die Elementarformeln der Trigonometrie angewendet werden k\u00f6nnen.<\/p>\n
Es muss ber\u00fccksichtigt werden, dass seine Komponenten im Gegensatz zum Modul eines Vektors negativ sein k\u00f6nnen, da Sinus und Cosinus negative Werte annehmen k\u00f6nnen.<\/p>\n
Als Beispiel l\u00f6sen wir die Vektorzerlegung des Vektors, dessen Betrag und Winkel mit der OX-Achse sind:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Die horizontale Komponente des Vektors ist gleich dem Modul multipliziert mit dem Kosinus des Winkels:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und die vertikale Komponente des Vektors ist gleich der Multiplikation des Moduls mit dem Sinus des Winkels:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Der Vektor ist also der folgende: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Moduleigenschaften eines Vektors<\/span><\/h2>\n
Modulus ist eine Art Vektoroperation mit den folgenden Merkmalen:<\/p>\n
\n
Der Betrag eines Vektors kann niemals negativ sein<\/strong> , er wird immer gleich oder gr\u00f6\u00dfer als 0 sein.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Tats\u00e4chlich ist der einzige Vektor, der mit der Gr\u00f6\u00dfe Null existiert, der Nullvektor, d. h. der Vektor<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Der Betrag des Produkts eines Vektors mit einer reellen Zahl (oder einem Skalar) entspricht der Multiplikation des Absolutwerts des Skalars mit dem Betrag des Vektors. Daher gilt folgende Gleichheit:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Die Dreiecksungleichung<\/strong> ist verifiziert: Der Modul der Summe zweier Vektoren ist kleiner oder gleich der Summe ihrer Module einzeln.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Dar\u00fcber hinaus h\u00e4ngt die Gr\u00f6\u00dfe der Summe zweier Vektoren durch die folgende Gleichung mit dem Skalarprodukt zusammen: <\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> Einheitsvektor<\/span><\/h2>\n
In der Mathematik ist ein Einheitsvektor<\/strong> ein Vektor, dessen Modul gleich eins ist.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Daher betr\u00e4gt die L\u00e4nge eines Einheitsvektors eine Einheit.<\/p>\n
Es mag f\u00fcr einen Vektor sehr schwierig erscheinen, einen Modul von genau 1 zu haben, aber es ist tats\u00e4chlich einfach, diesen Vektortyp zu finden: <\/p>\n
\n
Um den Einheitsvektor eines beliebigen Vektors zu finden, dividieren Sie ihn einfach durch seinen Modul:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Gold<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
ist der Einheitsvektor von<\/p>\n
<\/p>\n
Und<\/p>\n
<\/p>\n
Ihr Modul.<\/p>\n<\/div>\n
Der Einheitsvektor wird auch Versor oder normalisierter Vektor genannt.<\/p>\n
Dar\u00fcber hinaus hat der Einheitsvektor die gleiche Richtung und Richtung wie der urspr\u00fcngliche Vektor.<\/p>\n
Beispielsweise berechnen wir den Einheitsvektor des folgenden Vektors:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Um den Vektor zu normalisieren, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst seinen Betrag berechnen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und schlie\u00dflich berechnen wir den Einheitsvektor, indem wir den urspr\u00fcnglichen Vektor durch seinen Modul dividieren: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> \u00dcbungen zum Vektormodul gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
Berechnen Sie den Betrag des folgenden Vektors: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Um den Modul des Vektors zu berechnen, m\u00fcssen wir seine Formel anwenden: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 2<\/h3>\n
Ordnen Sie die folgenden Vektoren vom k\u00fcrzesten zum l\u00e4ngsten. <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Die L\u00e4nge eines Vektors entspricht seinem Betrag. Daher m\u00fcssen wir die Moduli aller Vektoren berechnen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Somit sind die von der kleinsten zur gr\u00f6\u00dften L\u00e4nge (oder dem gr\u00f6\u00dften Modul) geordneten Vektoren: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 3<\/h3>\n
Bestimmen Sie den Betrag des Vektors, dessen Ursprung der Punkt ist<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
und als letzter Punkt <\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Um seinen Modul zu berechnen, m\u00fcssen Sie zun\u00e4chst den Vektor finden. Dazu subtrahieren wir das Extremum minus den Ursprung:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Sobald wir den Vektor kennen, wird sein Modul mithilfe der Modulformel berechnet: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 4<\/h3>\n
Zerlegen Sie den folgenden Vektor und finden Sie seine Komponenten: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Die horizontale Komponente des Vektors ist gleich dem Modul multipliziert mit dem Kosinus des Winkels:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und die vertikale Komponente des Vektors ist gleich der Multiplikation des Moduls mit dem Sinus des Winkels:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Der Vektor ist also der folgende:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
In diesem Fall sind die beiden Komponenten identisch, d. h. der Neigungswinkel des Vektors betr\u00e4gt 45\u00b0.<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 5<\/h3>\n
Berechnen Sie den Vektor mit derselben Richtung und Ausrichtung wie der folgende Vektor, jedoch mit Modul 1. <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Der Vektor mit gleicher Richtung und gleicher Richtung, aber mit Modul 1 ist der Einheitsvektor. Um es zu berechnen, ermitteln wir zun\u00e4chst den Modul des Vektors:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und jetzt berechnen wir den Einheitsvektor, indem wir den urspr\u00fcnglichen Vektor durch seinen Modul dividieren: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 6<\/h3>\n
Zerlegen Sie den folgenden Vektor vektoriell und berechnen Sie seinen Einheitsvektor: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Zuerst zerlegen wir den Vektor und finden seine Koordinaten: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Der Vektor ist also der folgende:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Und jetzt berechnen wir den Einheitsvektor, indem wir den erhaltenen Vektor durch sein Modul dividieren:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Beachten Sie, dass die Komponenten eines Einheitsvektors gleich dem Kosinus und Sinus des Winkels sind, den er mit der X-Achse bildet.<\/p>\n
Auf dieser Seite sehen Sie die Erkl\u00e4rung der Gr\u00f6\u00dfe eines Vektors und wie man ihn mit seiner Formel berechnet. Sie k\u00f6nnen auch sehen, wie Sie das Modul von zwei Punkten aus finden: seinem Ursprung und seinem Ende. Dar\u00fcber hinaus erfahren Sie, wie Sie die Komponenten eines Vektors aus seinem Modul und den Eigenschaften des Moduls …<\/p>\n
![\"Modul](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/module-dune-longueur-de-vecteur.webp\")
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