{"id":212,"date":"2023-07-11T21:43:45","date_gmt":"2023-07-11T21:43:45","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/produktmultiplikation-eines-vektors-mit-einer-skalaren-reellen-zahl\/"},"modified":"2023-07-11T21:43:45","modified_gmt":"2023-07-11T21:43:45","slug":"produktmultiplikation-eines-vektors-mit-einer-skalaren-reellen-zahl","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/produktmultiplikation-eines-vektors-mit-einer-skalaren-reellen-zahl\/","title":{"rendered":"Multiplikation eines vektors mit einer zahl"},"content":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite wird erkl\u00e4rt, wie man einen Vektor numerisch und grafisch mit einer reellen Zahl (oder einem Skalar) multipliziert. Dar\u00fcber hinaus finden Sie auch Beispiele und gel\u00f6ste Aufgaben zum Produkt eines Vektors mit einem Skalar. Abschlie\u00dfend werden auch die Eigenschaften dieser Art der Operation mit Vektoren erl\u00e4utert. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcomo-se-multiplica-un-vector-por-un-numero-real\"><\/span> Wie multipliziert man einen Vektor mit einer reellen Zahl? <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<div style=\"background-color:#FFCC8080;padding-top: 20px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 40px; padding-left: 30px; border: 2px solid #FFB74D; border-radius:20px;\">\n<p style=\"text-align:left\"> Um das Produkt eines Vektors und einer Zahl (oder eines Skalars) numerisch zu berechnen, muss jede Komponente des Vektors mit der Zahl multipliziert werden.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4b2f8c9cdb09377a66fbce8392c30ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} = (\\text{u}_x,\\text{u}_y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"91\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-abb3b5391be9c0e4d871ff45367ca838_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k\\cdot \\vv{\\text{u}} =(k\\cdot \\text{u}_x \\ , \\ k\\cdot \\text{u}_y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"170\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<p> Somit ergibt das Ergebnis der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl einen neuen Vektor mit den folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul style=\"color:#ff6f00; font-weight: bold;>\n<li><span style=\" color:#262626;font-weight:=\"\" normal;\"=\"\">\n<li style=\"margin-bottom:18px\"><span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Das Ergebnis des Produkts eines Vektors mit einem Skalar ergibt einen neuen Vektor mit derselben Richtung wie der urspr\u00fcngliche Vektor.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Au\u00dferdem hat der neue Vektor die gleiche Richtung, wenn die Zahl positiv ist.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:18px\"> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Oder es hat die gegenteilige Bedeutung, wenn die Zahl negativ ist.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#000000;font-weight: normal;\">Der Betrag des resultierenden Vektors entspricht dem Betrag des urspr\u00fcnglichen Vektors multipliziert mit dem Skalar.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> In der folgenden Grafik k\u00f6nnen Sie sehen, wie die Richtung des Vektors unabh\u00e4ngig vom Vorzeichen des Skalars beibehalten wird. Andererseits h\u00e4ngt die Richtung des Vektors vom Vorzeichen der Zahl ab, die er multipliziert. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/multiplication-ou-produit-dun-nombre-ou-dun-scalaire-par-un-vecteur.webp\" alt=\"Multiplikation oder Produkt einer Zahl oder eines Skalars mit einem Vektor\" class=\"wp-image-283\" width=\"305\" height=\"206\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Dar\u00fcber hinaus ist in der folgenden Grafik deutlich zu erkennen, dass der Betrag des resultierenden Produktvektors gleich dem Betrag des urspr\u00fcnglichen Vektors multipliziert mit dem Skalar ist. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/numero-de-produit-de-multiplication-de-module-par-vecteur.webp\" alt=\"Wie entwickelt sich der Modul einer Multiplikation oder eines Produkts einer Zahl mit einem Vektor?\" class=\"wp-image-290\" width=\"255\" height=\"313\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Wenn wir den Vektor mit einer Zahl gr\u00f6\u00dfer als 1 multiplizieren, ist das Ergebnis offensichtlich ein Vektor mit gr\u00f6\u00dferer L\u00e4nge (mit gr\u00f6\u00dferem Modul). Wenn wir andererseits den Vektor mit einer Zahl kleiner als 1 multiplizieren, ist das Ergebnis ein Vektor k\u00fcrzerer L\u00e4nge (kleinerer Modul).<\/p>\n<p> <strong>Hinweis:<\/strong> Verwechseln Sie das Produkt eines Vektors und eines Skalars nicht mit dem <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/berechnen-sie-das-skalarprodukt-zwischen-zwei-vektoren.-beispiele-fur-geloste-ubungen\/\">Skalarprodukt von Vektoren<\/a> . Obwohl sie einen \u00e4hnlichen Namen haben, handelt es sich um zwei v\u00f6llig unterschiedliche Konzepte. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-producto-de-un-vector-por-un-escalar\"><\/span> Beispiel f\u00fcr das Produkt eines Vektors mit einem Skalar<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Als n\u00e4chstes sehen wir uns ein numerisches Beispiel an, wie das Produkt eines Vektors und einer Zahl berechnet wird:<\/p>\n<ul>\n<li> Multiplizieren Sie den folgenden Vektor mit 4:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a3b02659b94a332ef3cd2cc62769d94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{\\text{u}} =(2,-3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-998ae86a47fde44f6006a0744f03c562_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot \\vv{\\text{u}} =(4 \\cdot 2 \\ , \\ 4 \\cdot (-3)) = \\bm{(8,-12)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"263\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wie Sie gesehen haben, ist diese Art der Vektoroperation nicht sehr kompliziert, da Sie nicht viele Berechnungen durchf\u00fchren m\u00fcssen.<\/p>\n<p> Es gibt jedoch kompliziertere Vektoroperationen wie Vektoraddition und Vektorsubtraktion. Wenn Sie bereits verstanden haben, wie man das Produkt eines Vektors und eines Skalars berechnet, empfehlen wir Ihnen, zur n\u00e4chsten Ebene \u00fcberzugehen und zu sehen, wie man <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/summe-von-vektoren-grafisch-numerisch-geloste-beispiele-ubungen-hinzufugen\/\">Vektoraddition<\/a> und <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/vektoren-numerisch-grafisch-subtrahieren-beispiele-geloste-ubung-subtrahieren\/\">Vektorsubtraktion<\/a> l\u00f6st, da es sich dabei um etwas schwierigere Operationen handelt und tats\u00e4chlich sie werden viel h\u00e4ufiger genutzt (sie sind wichtiger). <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-multiplicacion-de-un-vector-por-un-numero\"><\/span> Eigenschaften der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Das Produkt eines Vektors und einer Zahl hat die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Assoziative Eigenschaft<\/strong> : Wenn der Vektor mit mehr als einer Zahl multipliziert wird, spielt die Reihenfolge der Multiplikationen keine Rolle.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7cc3b0e34695b9960f32199046e868e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k \\cdot (k' \\cdot \\vv{\\text{u}}) =(k\\cdot k') \\cdot \\vv{\\text{u}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Verteilungseigenschaft<\/strong> bez\u00fcglich der Addition und Subtraktion von Vektoren:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a8b55a3b25ad66154d6e8bb18fc70da7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k \\cdot (\\vv{\\text{u}}+  \\vv{\\text{v}})=k\\cdot \\vv{\\text{u}} + k\\cdot \\vv{\\text{v}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-086f60151d160ac3b6d4f5add59434b4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"k \\cdot (\\vv{\\text{u}}- \\vv{\\text{v}})=k\\cdot \\vv{\\text{u}} - k\\cdot \\vv{\\text{v}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"187\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Verteilungseigenschaft<\/strong> bez\u00fcglich der Addition von Skalaren:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7354955effb7b59f41793537f4517851_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(k+k') \\cdot \\vv{\\text{u}} =k\\cdot \\vv{\\text{u}} + k'\\cdot \\vv{\\text{u}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"196\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Neutrales Element<\/strong> : Offensichtlich ergibt jeder mit 1 multiplizierte Vektor den Vektor selbst: <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-154c7987de1e55e762dcf229eae9fd23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"1\\cdot \\vv{\\text{u}} = \\vv{\\text{u}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"64\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-multiplicacion-de-un-vector-por-un-escalar\"><\/span> Probleme der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar gel\u00f6st<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Berechnen Sie analytisch das Ergebnis des Produkts des folgenden Vektors mit 3: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8b5a56f394f2b178a0175a53e6a55a1a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{a}=(-2,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Produkt zu finden, m\u00fcssen Sie jede Koordinate des Vektors mit 3 multiplizieren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e0b8a6167489c27e91bef24f222e3af_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3\\cdot \\vv{a}=(3\\cdot (-2), 3 \\cdot 5) = \\bm{(-6,15)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"250\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Multiplizieren Sie den folgenden Vektor mit 6 und ermitteln Sie seinen Modul: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85db994a57a1325a456909a04efa2e23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{a}=(3,-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir multiplizieren zun\u00e4chst den Vektor mit dem Skalar:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c6c6b2d9291528aff357e7e94daf221_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6\\cdot \\vv{a}=(6\\cdot 3, 6 \\cdot (-4)) = (18,-24)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"259\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Es gibt nun zwei M\u00f6glichkeiten, den Betrag des erhaltenen Vektors zu berechnen. Die erste besteht darin, den Betrag des urspr\u00fcnglichen Vektors zu ermitteln und ihn dann mit 6 zu multiplizieren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7a7bc760b63c8efa2c36d2d49802000c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert \\vv{a} \\rvert =\\sqrt{3^2+(-4)^2} = \\sqrt{25} =5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"229\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32f0e3a2cb32142aa26a1fbb0f3bf9df_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"6\\cdot \\lvert \\vv{a} \\rvert =6\\cdot 5 =\\bm{30}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"137\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und die zweite M\u00f6glichkeit besteht darin, die Gr\u00f6\u00dfe des bei der Multiplikation erhaltenen Vektors direkt zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-06f0793bfdae917904c47247b9b1f08f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\lvert 6\\cdot \\vv{a} \\rvert =\\sqrt{18^2+(-24)^2} = \\sqrt{900} =\\bm{30}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"22\" width=\"287\" style=\"vertical-align: -6px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Damit zeigt sich bei beiden Verfahren, dass das Ergebnis nicht von der Methode abh\u00e4ngt, mit der der Modul berechnet wird.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Aus dem folgenden Vektor:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf8d63b14f91ee738fe5107ab2a05779_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{a}=(4,-1)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"86\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Berechnen Sie die folgenden Operationen algebraisch: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5557b66d322653674e2266800c73c958_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2\\cdot \\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"31\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2f511cc4014aae8cf90bef442f30bdd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3\\cdot \\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d09a188710cecb56283c4a2dea7a97e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{2} \\cdot \\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"33\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7c4742e8a37f45e358d2e7740c5aadef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot \\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"31\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Bestimmen Sie als N\u00e4chstes, ob die resultierenden Vektoren dieselbe Richtung und Richtung wie der urspr\u00fcngliche Vektor haben, und ordnen Sie sie vom k\u00fcrzesten zum l\u00e4ngsten. <\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen zun\u00e4chst die Multiplikationen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6b92c621a30ebf15a0628cba3e0f6be5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2\\cdot \\vv{a}=(2\\cdot 4, 2 \\cdot (-1)) = (8,-2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"241\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-71e1eb36b88b2ca47d69f0bfe4d1a33b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3\\cdot \\vv{a}=(-3\\cdot 4, -3 \\cdot (-1)) = (-12,3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"290\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d9866b27859b66475a36d182919ec4e1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{2}\\cdot \\vv{a}=\\left(\\frac{1}{2}\\cdot 4, \\frac{1}{2} \\cdot (-1)\\right) = \\left(2,-\\frac{1}{2}\\right)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6904a22660dc2e21ab3f775e1453535c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"4\\cdot \\vv{a}=(4\\cdot 4, 4 \\cdot (-1)) = (16,-4)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"250\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher haben Vektoren, die mit positiven Zahlen multipliziert werden, die gleiche Richtung und Richtung wie der urspr\u00fcngliche Vektor. Und mit negativen Zahlen multiplizierte Vektoren haben die gleiche Richtung, aber die entgegengesetzte Richtung zum urspr\u00fcnglichen Vektor.<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Vektoren gleicher Richtung und gleicher Richtung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-50dd29950a1b957a78493d3de5b4bf5b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle 2\\vv{a}, \\ 4\\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"50\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> Und<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9fac7295c812fa36c4fcba97e316b5f8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{1}{2}\\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"20\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Vektoren mit gleicher Richtung, aber unterschiedlicher Bedeutung:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d1b95a4d066d0dd0da8cdf0373d19c8d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"-3\\vv{a}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"31\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Schlie\u00dflich m\u00fcssen wir die Vektoren nach ihrer L\u00e4nge oder \u00e4quivalent ihrem Modul ordnen. Der Vektor mit der l\u00e4ngsten L\u00e4nge (oder dem gr\u00f6\u00dften Modul) ist derjenige, der mit einer gr\u00f6\u00dferen Zahl (im Absolutwert) multipliziert wurde, und der Vektor mit der k\u00fcrzesten L\u00e4nge (oder dem kleinsten Modul) ist derjenige, der mit einer kleineren Zahl multipliziert wurde Zahl (im absoluten Wert). Die Reihenfolge der L\u00e4ngen ist also:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1e7cf58774569c9f128f49948c9fead_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\begin{vmatrix} \\displaystyle\\frac{1}{2}\\vv{a}\\end{vmatrix} <\\lvert 2\\vv{a}\\rvert < \\lvert -3\\vv{a}\\rvert < \\lvert 4\\vv{a}\\rvert\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"199\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Beachten Sie, dass die L\u00e4nge oder der Modul nicht vom Vorzeichen des multiplizierten Skalars abh\u00e4ngt, da die Richtung des Vektors seinen Modul nicht \u00e4ndert.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 4<\/h3>\n<p> Betrachten Sie die folgenden zwei Vektoren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-740cd5f2540cb57342f82c58e1076cbf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\vv{a} =(7,-2) \\qquad \\vv{b} =(-3,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"205\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Berechnen Sie die folgende Operation: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5abd316200fbcf062072dfdf51266cda_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2 \\vv{a} - 3 \\vv{b}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"57\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir l\u00f6sen zun\u00e4chst die Multiplikationen von Vektoren mit Zahlen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-08a07c35741b9e7427990abb5bb89ef9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2 \\cdot \\vv{a} - 3 \\cdot \\vv{b}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"82\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5fa31543d7c2a129c47b030cfa5fc4e0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2 \\cdot (7,-2) - 3 \\cdot(-3,5)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"171\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d7624e801962ac397ca316243c4e3420_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(14,-4) - (-9,15)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"144\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und dann subtrahieren wir die Vektoren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-72660b240eab9459d0b0aefb1d10d728_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(14-(-9),-4-15)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"158\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fe8b5f018f4a24a925bfce0c2c997dae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(23,-19)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"70\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 5<\/h3>\n<p> F\u00fchren Sie die folgenden Multiplikationen von Vektoren mit Skalaren durch und stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1c2fa6e2c114b3bbce76ca987020ad9_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"2\\cdot (1,2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"60\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" 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height=\"36\" width=\"76\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8fe6e18de5ed93f74fa207a3f9ecc2c2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle -\\frac{1}{2}\\cdot (8,6)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"77\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E4F0FE\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E4F0FE\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>siehe L\u00f6sung<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir multiplizieren zun\u00e4chst die Vektoren mit den reellen Skalaren: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" 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alt=\"4\\cdot (2,1) = (4\\cdot 2,4\\cdot 1)=\\bm{(8,4)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-51454cc5c3239bb4552918b1a693b499_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\frac{3}{2}\\cdot (-2,4)= \\left(\\frac{3}{2}\\cdot (-2), \\frac{3}{2}\\cdot 4 \\right) = \\bm{(-3,6)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"307\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8fbbfff835499e861d11de5da6714d10_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle -\\frac{1}{2}\\cdot (8,6)= \\left(-\\frac{1}{2}\\cdot 8, -\\frac{1}{2}\\cdot 6 \\right) = \\bm{(-4,-3)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"322\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Nachdem wir schlie\u00dflich die Vektoren berechnet haben, stellen wir sie im Diagramm dar: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-et-problemes-resolus-de-multiplication-dun-vecteur-par-un-nombre.webp\" alt=\"\u00dcbungen und gel\u00f6ste Probleme der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl\" class=\"wp-image-327\" width=\"469\" height=\"370\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Auf dieser Seite wird erkl\u00e4rt, wie man einen Vektor numerisch und grafisch mit einer reellen Zahl (oder einem Skalar) multipliziert. 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