{"id":205,"date":"2023-07-15T02:22:02","date_gmt":"2023-07-15T02:22:02","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/methode-der-kleinsten-quadrate\/"},"modified":"2023-07-15T02:22:02","modified_gmt":"2023-07-15T02:22:02","slug":"methode-der-kleinsten-quadrate","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/methode-der-kleinsten-quadrate\/","title":{"rendered":"Was ist die methode der kleinsten quadrate?"},"content":{"rendered":"

Die Methode der kleinsten Quadrate ist ein mathematisches Werkzeug zum Finden der besten geraden Linie, die einer Menge von Punkten entspricht<\/strong> . Wir erkl\u00e4ren es Ihnen ganz einfach:<\/p>\n

Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Reihe von Punkten in einem Diagramm, die hier und da verstreut sind. Sie m\u00f6chten eine gerade Linie finden, die am besten zu diesen Punkten \u201epasst\u201c, um den Abstand zwischen der Linie und den Punkten zu minimieren<\/strong> . Dies ist die Idee hinter der Methode der kleinsten Quadrate.<\/p>\n

Die Methode verwendet eine Formel zur Berechnung der Geradengleichung, die die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen den Punkten und der Geraden minimiert. Das hei\u00dft, es wird nach der Linie gesucht, die die geringste \u201eAbweichung\u201c von den Punkten aufweist.<\/p>\n

Einfach ausgedr\u00fcckt ist die Methode der kleinsten Quadrate n\u00fctzlich f\u00fcr die Analyse von Daten, die w\u00e4hrend einer Untersuchung gewonnen wurden, mit dem Ziel, ihr Verhalten linear auszudr\u00fccken und so die Fehler der gestohlenen Informationen zu reduzieren.<\/p>\n

Wer hat die Methode der kleinsten Quadrate entwickelt?<\/span><\/h2>\n

Die Methode der kleinsten Quadrate, ein grundlegendes Werkzeug in der Statistik und Datenanalyse, wird dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gau\u00df<\/strong> zugeschrieben, der sie 1794 vorschlug. Gau\u00df ver\u00f6ffentlichte sie jedoch erst 1809<\/strong> .<\/p>\n

Interessanterweise ver\u00f6ffentlichte der franz\u00f6sische Mathematiker Andrien-Marie Legendre 1805 eine \u00e4hnliche Version<\/strong> und entwickelte sie unabh\u00e4ngig weiter.<\/p>\n

Beide Mathematiker haben an der Entwicklung dieser Methode mitgewirkt, die in verschiedenen Disziplinen weit verbreitet ist, um Modelle an beobachtete Daten anzupassen und genaue Vorhersagen zu treffen.<\/p>\n

Formel der kleinsten Quadrate<\/span><\/h2>\n

Um zu verstehen, was diese Methode beinhaltet, ist es zweifellos wichtig, ihre Formel und den Prozess ihrer Umsetzung zu erkl\u00e4ren. Hier ist eine detaillierte Erkl\u00e4rung der Formel der kleinsten Quadrate:<\/p>\n

definiere das Problem<\/h3>\n

Nehmen wir an, Sie haben einen Datensatz mit zwei Variablen, einer unabh\u00e4ngigen Variablen (x) und einer abh\u00e4ngigen Variablen (y), und Sie m\u00f6chten eine gerade Linie an diese Daten anpassen.<\/p>\n

Das Ziel besteht darin, die Werte der Koeffizienten der Geradengleichung (Achsenabschnitt und Steigung) zu finden, die die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen den realen Werten von y und den von ihr vorhergesagten Werten minimiert angepasste Linie.<\/p>\n

Berechnen Sie die Gleichung der Geraden<\/h3>\n

Die Gleichung einer Geraden hat die Form y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Die Formel der kleinsten Quadrate zur Berechnung der Myb-Werte lautet: <\/p>\n

\n
\"Formel<\/figure>\n<\/div>\n

Gold:<\/p>\n

\u03a3 stellt die Summe der Werte dar.<\/p>\n

x i<\/sub> und y i<\/sub> sind die Werte der Variablen x bzw. y f\u00fcr jeden Datenpunkt.<\/p>\n

x\u0304 und \u0233 sind die Durchschnittswerte der Werte von x bzw. y.<\/p>\n

(x i<\/sub> \u2013 x\u0304) und (y i<\/sub> \u2013 \u0233) sind die Unterschiede zwischen den Werten von x und y und ihren jeweiligen Mittelwerten.<\/p>\n

(x i<\/sub> \u2013 x\u0304) 2<\/sup> ist das Quadrat der Differenz zwischen dem Wert von x und seinem Mittelwert.<\/p>\n

Interpretieren Sie die Ergebnisse<\/h3>\n

Nachdem Sie die Werte von m und b mithilfe der Formel berechnet haben, k\u00f6nnen Sie diese verwenden, um die Gleichung der angepassten Linie zu erhalten. Wenn Sie beispielsweise m = 2 und b = 3 haben, lautet die Gleichung der angepassten Linie y = 2x + 3. Dadurch k\u00f6nnen Sie Vorhersagen oder Sch\u00e4tzungen der y-Werte f\u00fcr verschiedene x-Werte treffen basierend auf dem angepassten Recht.<\/p>\n

Wann wird die Methode der kleinsten Quadrate verwendet?<\/span><\/h2>\n

Sie werden sich wahrscheinlich fragen: Wann wird diese Methode angewendet? Es ist in verschiedenen Situationen sehr n\u00fctzlich! Zum Beispiel, wenn Sie experimentelle oder Forschungsdaten analysieren m\u00f6chten, um einen Zusammenhang oder Trend zu finden<\/strong> .<\/p>\n

Angenommen, Sie untersuchen den Zusammenhang zwischen dem Preis eines Hauses und seiner Gr\u00f6\u00dfe in Quadratmetern. Sie k\u00f6nnen die Methode der kleinsten Quadrate verwenden, um die gerade Linie zu finden, die am besten zu den Daten passt und Ihnen eine klare Vorstellung von dieser Beziehung gibt.<\/p>\n

Es wird auch in der Wirtschaftswissenschaft verwendet, um Variablen wie Produktnachfrage oder Preisverhalten zu modellieren und vorherzusagen<\/strong> . Dar\u00fcber hinaus wird im Ingenieurwesen die Methode der kleinsten Quadrate angewendet, um mathematische Modelle an Test- oder Simulationsdaten anzupassen.<\/p>\n

Die Methode der kleinsten Quadrate ist ein leistungsstarkes und vielseitiges Werkzeug, das in vielen Studien- und Arbeitsbereichen zur Datenanalyse und zum Auffinden wichtiger Zusammenh\u00e4nge eingesetzt wird.<\/p>\n

Anwendungen der Methode der kleinsten Quadrate in anderen Theoremen<\/span><\/h2>\n

Zus\u00e4tzlich zu ihrer Verwendung an sich ist die Methode der kleinsten Quadrate auch in anderen Theoremen sehr n\u00fctzlich. Sehen wir uns weiter unten etwas mehr zu diesem Thema an.<\/p>\n

Regressionssatz<\/h3>\n

Es wird h\u00e4ufig im Regressionssatz verwendet, um die beste Linie zu finden, die zu einem Datensatz passt<\/strong> . Sie k\u00f6nnen damit beispielsweise die Beziehung zwischen der H\u00f6he einer Pflanze und der Menge an Licht, die sie erh\u00e4lt, analysieren, um zu bestimmen, wie die Pflanze bei unterschiedlichen Lichtverh\u00e4ltnissen w\u00e4chst.<\/p>\n

Satzinterpolation<\/h3>\n

In diesem Fall wird die Methode der kleinsten Quadrate auch im Interpolationssatz angewendet, um die Polynomfunktion zu finden<\/strong> , die am besten zu einer Menge von Punkten passt. Sie k\u00f6nnen damit beispielsweise die Flugbahn eines sich bewegenden Objekts anhand von Positions- und Zeitdaten ann\u00e4hern.<\/p>\n

Kurvenanpassungssatz<\/h3>\n

Es wird im Kurvenanpassungssatz verwendet, um eine Kurve zu finden, die zu einem Datensatz passt<\/strong> . Dies ist n\u00fctzlich bei Anwendungen wie der Modellierung von Klimadaten zur Vorhersage des Klimawandels oder zur Vorhersage der Flugbahn eines Projektils.<\/p>\n

Satz der Fourier-Analyse<\/h3>\n

Im Fourier-Analyse-Theorem wird die Methode der kleinsten Quadrate verwendet, um eine periodische Funktion aus einer Reihe diskreter Daten anzun\u00e4hern<\/strong> . Dies gilt f\u00fcr die Datensignalisierung sowie die Bild- und Tonkomprimierung.<\/p>\n

Nichtlinearer Regressionssatz<\/h3>\n

Schlie\u00dflich wird die Methode der kleinsten Quadrate auch im nichtlinearen Regressionssatz angewendet, um die beste Kurve zu finden, die zu einem Datensatz passt , der keiner linearen Beziehung folgt<\/strong> . Sie k\u00f6nnen damit beispielsweise analysieren, wie sich die Konzentration einer Chemikalie auf die Reaktionsgeschwindigkeit auswirkt.<\/p>\n

Beispiel f\u00fcr die Methode der kleinsten Quadrate<\/span><\/h2>\n

Um besser zu verstehen, wie Sie die Methode der kleinsten Quadrate anwenden k\u00f6nnen, schauen wir uns unten ein Beispiel an.<\/p>\n

Angenommen, Sie haben die folgenden H\u00f6hendaten (in Zentimetern) einer Pflanze in verschiedenen Wochen: <\/p>\n

\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Woche<\/strong><\/td>\n H\u00f6he in Zentimetern<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
1<\/td>\n zehn<\/td>\n<\/tr>\n
2<\/td>\n 12<\/td>\n<\/tr>\n
3<\/td>\n 14<\/td>\n<\/tr>\n
4<\/td>\n 16<\/td>\n<\/tr>\n
5<\/td>\n 18<\/td>\n<\/tr>\n
6<\/td>\n zwanzig<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n

Sie m\u00f6chten die beste gerade Linie finden, die zu diesen Daten passt, um eine Vorhersage \u00fcber die zuk\u00fcnftige Pflanzenh\u00f6he zu treffen.<\/p>\n

Schritt 1<\/strong> : Stellen Sie die Daten grafisch dar<\/p>\n

Als erstes m\u00fcssen Sie die Daten in einem Streudiagramm darstellen. Die x-Achse stellt die Wochen dar und die y-Achse die K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe in Zentimetern. Hier ist die Grafik: <\/p>\n

\n
\"Cloud-Datenpunkt\"<\/figure>\n<\/div>\n

Schritt 2<\/strong> : Wenden Sie die Methode der kleinsten Quadrate an<\/p>\n

Die Methode der kleinsten Quadrate versucht, eine Linie zu finden, die die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen den tats\u00e4chlichen Daten und den durch die Linie vorhergesagten Werten minimiert. In diesem Fall wird die Linie durch die Gleichung einer Linie dargestellt: y = mx + b, wobei \u201ey\u201c die H\u00f6he, \u201ex\u201c die Wochen, \u201em\u201c die Steigung der Linie und \u201eb\u201c ist der y-Achsenabschnitt.<\/p>\n

Um die Werte von \u201em\u201c und \u201eb\u201c zu finden, die die Summe der Quadrate der Differenzen minimieren, werden die folgenden Formeln verwendet: <\/p>\n

\n
\"Differenzquadrate<\/figure>\n<\/div>\n

Dabei ist N die Anzahl der Datenpunkte (in diesem Fall 6), \u03a3xy die Summe der Wochen mal den H\u00f6hen, \u03a3x die Summe der Wochen, \u03a3y die Summe der H\u00f6hen und \u03a3x 2<\/sup> die Summe der Quadrate der Wochen .<\/p>\n

Wenn wir diese Formeln auf die H\u00f6hendaten anwenden, erhalten wir:<\/p>\n

\u03a3xy = 1 10 + 2 12 + 3 14 + 4 16 + 5 18 + 6 20 = 630<\/p>\n

\u03a3x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21<\/p>\n

\u03a3y = 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 90<\/p>\n

\u03a3x 2<\/sup> = 1 2<\/sup> + 2 2<\/sup> + 3 2<\/sup> + 4 2<\/sup> + 5 2<\/sup> + 6 2<\/sup> = 91<\/p>\n

Einsetzen dieser Werte in die Formeln f\u00fcr \u201em\u201c und \u201eb\u201c:<\/p>\n

m = (6 \u00b7 630 \u2013 21 \u00b7 90) \u00f7 (6 \u00b7 91 \u2013 21 2<\/sup> ) \u2248 2,07<\/p>\n

b = (90 \u2013 2,07 \u00b7 21) \u00f7 6 \u2248 3,24<\/p>\n

Daher lautet die Gleichung der geraden Linie, die den H\u00f6hendaten entspricht: y.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Die Methode der kleinsten Quadrate ist ein mathematisches Werkzeug zum Finden der besten geraden Linie, die einer Menge von Punkten entspricht . Wir erkl\u00e4ren es Ihnen ganz einfach: Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Reihe von Punkten in einem Diagramm, die hier und da verstreut sind. Sie m\u00f6chten eine gerade Linie finden, die am …<\/p>\n

Was ist die methode der kleinsten quadrate?<\/span> Weiterlesen »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[9,28],"tags":[],"class_list":["post-205","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematische-erklarungen","category-statistiken"],"yoast_head":"\nWas ist die Methode der kleinsten Quadrate? -Mathorit\u00e4t<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/methode-der-kleinsten-quadrate\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Was ist die Methode der kleinsten Quadrate? -Mathorit\u00e4t\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Die Methode der kleinsten Quadrate ist ein mathematisches Werkzeug zum Finden der besten geraden Linie, die einer Menge von Punkten entspricht . 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