{"id":20,"date":"2023-09-17T11:09:13","date_gmt":"2023-09-17T11:09:13","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/null-zwischen-null-0-0-unbestimmtheit\/"},"modified":"2023-09-17T11:09:13","modified_gmt":"2023-09-17T11:09:13","slug":"null-zwischen-null-0-0-unbestimmtheit","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/null-zwischen-null-0-0-unbestimmtheit\/","title":{"rendered":"Nullunbestimmtheit zwischen null (0\/0)"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man den Grenzwert einer Funktion speichert, wenn sie eine Unsicherheit von 0\/0 ergibt. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie anhand gel\u00f6ster Aufgaben die Unbestimmtheit von Null zwischen Null \u00fcben. <\/p>\n

\n
\"\"<\/figure>\n<\/div>\n

<\/span> So l\u00f6sen Sie die Nullunbestimmtheit zwischen Null (0\/0)<\/span><\/h2>\n

Wir werden dann sehen, wie man den Grenzwert einer Funktion berechnet, wenn sie eine Nullunbestimmtheit zwischen Null (0\/0) ergibt. Dazu berechnen wir Schritt f\u00fcr Schritt ein Beispiel:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Wir versuchen zun\u00e4chst, den Grenzwert zu berechnen, indem wir den Wert von x in die Funktion einsetzen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Aber wir erhalten die Unbestimmtheit 0 dividiert durch 0. <\/p>\n

\n

Wenn der Grenzwert einer Punktfunktion die Unsicherheit 0\/0<\/strong> ergibt, ist es notwendig, die Polynome des Z\u00e4hlers und des Nenners zu faktorisieren und dann die gemeinsamen Faktoren zu vereinfachen.<\/p>\n<\/div>\n

Wir m\u00fcssen daher die Polynome des Z\u00e4hlers und Nenners des Bruchs faktorisieren. Dazu verwenden wir die Ruffini-Regel: <\/p>\n

\n
\"Unbestimmtheitsfaktorisierung<\/figure>\n<\/div>\n

\u27a4<\/span> Wenn Sie nicht wissen , wie man ein Polynom faktorisiert<\/u> , empfehlen wir Ihnen, die Erkl\u00e4rung auf unserer auf Polynome spezialisierten Website zu lesen: www.polinomios.org<\/u><\/p>\n

Sobald die Polynome faktorisiert sind, ist der Grenzwert wie folgt:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Wir k\u00f6nnen den Grenzwert nun vereinfachen, indem wir die Faktoren eliminieren, die sich im Z\u00e4hler und Nenner des Bruchs wiederholen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich berechnen wir den Grenzwert neu:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Wie Sie sehen, ist es sehr einfach, die L\u00f6sung im Limes zu finden, sobald wir die Polynome faktorisieren und vereinfachen. <\/p>\n

<\/span>Unbestimmtheit 0\/0 mit Wurzeln<\/span><\/h2>\n

Wir haben gerade gesehen, wie die 0\/0-Unbestimmtheiten rationaler Funktionen aufgel\u00f6st werden. Wenn der Grenzwert jedoch eine irrationale (oder radikale) Funktion ist, wird die 0\/0-Unbestimmtheit anders aufgel\u00f6st.<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Zun\u00e4chst versuchen wir, das Limit aufzul\u00f6sen, indem wir die folgenden Vorg\u00e4nge ausf\u00fchren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Aber wir erhalten eine Null-\u00fcber-Null-Unbestimmtheit. <\/p>\n

\n

Wenn der Grenzwert einer Funktion mit Wurzeln die Unbestimmtheit 0\/0 ergibt<\/strong> , m\u00fcssen Sie Z\u00e4hler und Nenner des Bruchs mit dem Konjugat des Wurzelausdrucks multiplizieren.<\/p>\n<\/div>\n

\u27a4 Denken Sie daran, dass das Konjugat derselbe irrationale Ausdruck ist, jedoch mit ge\u00e4ndertem Mittelzeichen.<\/p>\n

Als n\u00e4chstes multiplizieren wir sowohl den Z\u00e4hler als auch den Nenner des Bruchs mit dem Konjugat des Wurzelausdrucks:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Innerhalb dieser Art von Grenzen erhalten wir durch diesen Schritt immer eine bemerkenswerte Identit\u00e4t, die wir vereinfachen k\u00f6nnen. In diesem Fall haben wir im Nenner das Produkt aus einer Summe und einer Differenz, also:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Wir vereinfachen den Faktor, der sich im Z\u00e4hler und Nenner wiederholt:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und auf diese Weise k\u00f6nnen wir das Ergebnis des Grenzwerts finden: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

<\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbungen zur Unbestimmtheit 0\/0<\/span><\/h2>\n

Nachfolgend haben wir mehrere Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zu den Grenzen von Funktionen vorbereitet, die 0\/0-Unbestimmtheiten ergeben. Sie k\u00f6nnen es versuchen und dann die L\u00f6sung pr\u00fcfen.<\/p>\n

Vergessen Sie nicht, dass Sie uns in den Kommentaren alle Fragen zur L\u00f6sung von Limits stellen k\u00f6nnen!<\/p>\n

\u00dcbung 1<\/h3>\n

Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden rationalen Funktion am Punkt x=-2. <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Logischerweise versuchen wir zun\u00e4chst, das Limit zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Am Ende haben wir jedoch eine 0\/0-Unbestimmtheit. Wir m\u00fcssen daher die Polynome des Z\u00e4hlers und des Nenners faktorisieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt vereinfachen wir den Bruch, indem wir die Klammern entfernen, die sich im Z\u00e4hler und Nenner wiederholen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich berechnen wir den Grenzwert mit dem vereinfachten Bruch neu: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 2<\/h3>\n

L\u00f6sen Sie den Grenzwert der folgenden Funktion, wenn x sich -1 n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Wir versuchen zun\u00e4chst wie gewohnt, das Limit aufzul\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Aber wir erhalten die Unbestimmtheit 0 zwischen 0. Wir m\u00fcssen also die 2 Polynome des Bruchs faktorisieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Wir k\u00f6nnen nun die Polynome vereinfachen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und wir l\u00f6sen das Limit: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 3<\/h3>\n

Bestimmen Sie die L\u00f6sung des Grenzwertes der folgenden Radikalfunktion: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Zuerst pr\u00fcfen wir, ob der Grenzwert eine Art Unbestimmtheit ergibt:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Der Grenzwert ergibt die Unbestimmtheit Null dividiert durch Null und wir haben eine Wurzel in der Funktion. Wir m\u00fcssen daher Z\u00e4hler und Nenner des Bruchs mit dem Konjugat des Wurzelausdrucks multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Der Nenner entspricht der Entwicklung der bemerkenswerten Identit\u00e4t des Produkts aus einer Summe und einer Differenz. Wir k\u00f6nnen ihn daher vereinfachen: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Allerdings k\u00f6nnen wir die Terme des Bruchs noch nicht vereinfachen. Wir m\u00fcssen daher die Polynome faktorisieren:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Auf diese Weise k\u00f6nnen wir den Bruch vereinfachen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Und jetzt k\u00f6nnen wir das Ergebnis des Grenzwerts ermitteln: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 4<\/h3>\n

Berechnen Sie den Grenzwert, wenn x sich 0 der folgenden Wurzelfunktion n\u00e4hert: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Zuerst versuchen wir, wie immer, den Grenzwert der Funktion zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Aber wir erhalten die unbestimmte Form von 0\/0. Daher multiplizieren wir Z\u00e4hler und Nenner der Funktion mit dem Konjugat des irrationalen Ausdrucks:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Wir wenden die entsprechende Notable-Identity-Formel an, um den Nenner zu vereinfachen: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt faktorisieren wir das Binomial des Z\u00e4hlers, indem wir den gemeinsamen Faktor bilden:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Wir vereinfachen die Faktoren, die sich im Z\u00e4hler und Nenner der Funktion wiederholen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

Und schlie\u00dflich l\u00f6sen wir den Grenzwert der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n

\u00dcbung 5<\/h3>\n

L\u00f6sen Sie den folgenden Grenzwert mit der 0\/0-Unbestimmtheitsmethode:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

\u27a4<\/span> Siehe:<\/strong> So berechnen Sie die seitlichen Grenzen einer Funktion<\/a><\/span> <\/p>\n

\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

Wir versuchen zun\u00e4chst, das Limit aufzul\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Aber im Limes erhalten wir eine Null-gegen-Null-Unbestimmtheit. Deshalb faktorisieren wir die Polynome von Z\u00e4hler und Nenner:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Jetzt vereinfachen wir den Bruch, indem wir die Faktoren eliminieren, die sich im Z\u00e4hler und Nenner wiederholen:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und wir berechnen den Grenzwert noch einmal:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Aber jetzt haben wir es mit der Unbestimmtheit einer durch 0 dividierten Zahl zu tun. Wir m\u00fcssen daher die seitlichen Grenzen der Funktion berechnen, wenn x gegen -1 tendiert.<\/p>\n

Wir l\u00f6sen zun\u00e4chst nach dem seitlichen Grenzwert der Funktion am Punkt x=-1 auf der linken Seite:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Und dann berechnen wir die seitliche Grenze der Funktion am Punkt x=-1 rechts:<\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\lim_{x<\/p>\n<\/p>\n

Da die beiden seitlichen Grenzen nicht zusammenfallen, existiert der Grenzwert der Funktion bei x=-1 nicht: <\/p>\n<\/p>\n

\"\\displaystyle\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, wie man den Grenzwert einer Funktion speichert, wenn sie eine Unsicherheit von 0\/0 ergibt. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie anhand gel\u00f6ster Aufgaben die Unbestimmtheit von Null zwischen Null \u00fcben. So l\u00f6sen Sie die Nullunbestimmtheit zwischen Null (0\/0) Wir werden dann sehen, wie man den Grenzwert einer Funktion berechnet, wenn sie eine …<\/p>\n

Nullunbestimmtheit zwischen null (0\/0)<\/span> Weiterlesen »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[11],"tags":[],"class_list":["post-20","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-funktionsgrenzen"],"yoast_head":"\n\u25b7 L\u00f6sen 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