{"id":19,"date":"2023-09-17T11:09:22","date_gmt":"2023-09-17T11:09:22","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/eigenschaften-gesetze-der-grenzen\/"},"modified":"2023-09-17T11:09:22","modified_gmt":"2023-09-17T11:09:22","slug":"eigenschaften-gesetze-der-grenzen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/eigenschaften-gesetze-der-grenzen\/","title":{"rendered":"Eigenschaften (oder gesetze) von grenzen"},"content":{"rendered":"<p>Hier finden Sie alle Eigenschaften (bzw. Gesetze) von Funktionsgrenzen. Diese Eigenschaften dienen der Vereinfachung von Grenzwertberechnungen, insbesondere bei Grenzwerten mit Funktionsoperationen. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfcuales-son-las-propiedades-o-leyes-de-los-limites-de-funciones\"><\/span> Was sind die Eigenschaften (oder Gesetze) von Funktionsgrenzen?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Als n\u00e4chstes erkl\u00e4ren wir alle Eigenschaften von Funktionsgrenzen, oder auch Funktionsgrenzengesetze genannt. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie gel\u00f6ste \u00dcbungen f\u00fcr jede Grenzwerteigenschaft sehen, damit Sie das Konzept vollst\u00e4ndig verstehen k\u00f6nnen.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedad-del-limite-de-una-suma\"><\/span> Eigenschaft der Grenze einer Summe <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p style=\"text-align:left\"> Der <strong>Grenzwert der Summe zweier Funktionen<\/strong> an einem Punkt ist gleich der Summe der Grenzwerte jeder Funktion an demselben Punkt einzeln.<\/p>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e1975fcd0e98e2022e29be694fcdb925_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to a} \\Bigl[ f(x)+g(x)\\Bigr]=\\lim_{x\\to a}f(x)+\\lim_{x\\to a}g(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Angenommen, es gibt zwei Funktionen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1730973da231e978e4c565c939633b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2\\qquad g(x)=2x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Grenzwert jeder Funktion bei x gleich 1 ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-540347d33b8f0dc2d46cbc8d6f42df12_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to 1}x^2=1^2=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e8d60234a5aaad645bcea92331ffec2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to 1}(2x+1)=2\\cdot1+1=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"209\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Daher ergibt der Grenzwert der beiden am selben Punkt addierten Funktionen 4 (1+3=4).<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dee2fbc7ec3a4f0a145e79c1f8bf9ae2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to 1} \\Bigl[ f(x)+g(x)\\Bigr]=\\\\[3ex]\\displaystyle =\\lim_{x\\to 1}f(x)+\\lim_{x\\to 1}g(x)=\\\\[3ex]=1+3=4\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"112\" width=\"189\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Eigenschaft kann durch die schrittweise Berechnung des Grenzwerts nachgewiesen werden: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14c858a555a3d57a24cc5c81adeda2fc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to 1} \\Bigl[ f(x)+g(x)\\Bigr]=\\\\[3ex]\\displaystyle =\\lim_{x\\to 1}\\Bigl[x^2+2x+1\\Bigr]=\\\\[3ex]=1^2+2\\cdot 1+1=4\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"117\" width=\"171\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedad-del-limite-de-una-resta\"><\/span> Eigenschaft des Grenzwertes einer Subtraktion <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p style=\"text-align:left\"> Der <strong>Grenzwert der Subtraktion (oder Differenz) zweier Funktionen<\/strong> an einem Punkt entspricht der Subtraktion des Grenzwerts jeder Funktion an demselben Punkt einzeln.<\/p>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-444c20b463064780542e57269cfd770e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to a} \\Bigl[ f(x)-g(x)\\Bigr]=\\lim_{x\\to a}f(x)-\\lim_{x\\to a}g(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Verwendung der Funktionen aus dem vorherigen Beispiel:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1730973da231e978e4c565c939633b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2\\qquad g(x)=2x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Grenzwert jeder Funktion am Punkt x=3 ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f37267a3dc92ccef5a66ccfb68211919_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to 3}x^2=3^2=9\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-64b82eccca7888756f96190e6374281a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to 3}(2x+1)=2\\cdot3+1=7\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"209\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dann ist der Grenzwert der beiden bei x=3 subtrahierten Funktionen die Differenz der im vorherigen Schritt erhaltenen Werte:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-85e829be6e72a7ab7bd91d442c89558f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to 3} \\Bigl[ f(x)-g(x)\\Bigr]=\\\\[3ex]\\displaystyle =\\lim_{x\\to 3}f(x)-\\lim_{x\\to 3}g(x)=\\\\[3ex]=9-7=2\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"110\" width=\"189\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir k\u00f6nnen diese Eigenschaft von Grenzwerten beweisen, indem wir die Subtraktion von Funktionen berechnen und dann nach dem Grenzwert aufl\u00f6sen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-411bbd6ad4e5d44322ec93ba06fd3088_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to 3} \\Bigl[ f(x)-g(x)\\Bigr]=\\\\[3ex]\\displaystyle =\\lim_{x\\to 3}\\Bigl[x^2-(2x+1)\\Bigr]=\\\\[3ex]\\displaystyle =\\lim_{x\\to 3}\\Bigl[x^2-2x-1\\Bigr]\\\\[3ex]=3^2-2\\cdot 3-1=2\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"165\" width=\"185\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedad-de-limite-de-un-producto\"><\/span> Beschr\u00e4nken Sie die Eigenschaft eines Produkts <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p style=\"text-align:left\"> Der <strong>Grenzwert des Produkts zweier Funktionen<\/strong> an einem Punkt ist das Produkt des Grenzwerts jeder Funktion an diesem Punkt.<\/p>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d513f66b066a53d8dbd18868f1edcaa3_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to a} \\Bigl[ f(x)\\cdot g(x)\\Bigr]=\\lim_{x\\to a}f(x)\\cdot \\lim_{x\\to a}g(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"292\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wenn wir zum Beispiel die folgenden zwei unterschiedlichen Funktionen haben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c48ccc2acf27d4fb1519d80b4c0cbe1_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^3\\qquad g(x)=x^2-5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"216\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Grenzwert jeder Funktion bei x=2 ist:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eb87f9cfecaec2126043e52053704c82_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to 2}x^3=2^3=8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"122\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c62f8966fd75151d6bdc8955458d1557_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"207\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um den Grenzwert des Produkts der beiden Funktionen zu bestimmen, ist es daher nicht erforderlich, sie miteinander zu multiplizieren, sondern es reicht aus, das aus jedem Grenzwert erhaltene Ergebnis zu multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0df37e873bf968f39617b8dce74edb9f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to 2} \\Bigl[ f(x)\\cdot g(x)\\Bigr]=\\\\[3ex]\\displaystyle =\\lim_{x\\to 2}f(x)\\cdot \\lim_{x\\to 2}g(x)=\\\\[3ex]=8\\cdot (-1)=-8\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"115\" width=\"180\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Dies erspart uns Zeit und Berechnungen, da die Multiplikation zweier Funktionen schwierig sein kann. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedad-del-limite-de-un-cociente\"><\/span> Eigenschaft des Grenzwertes eines Quotienten <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p style=\"text-align:left\"> Der <strong>Grenzwert des Quotienten (oder der Division) zweier Funktionen<\/strong> ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte der Funktionen.<\/p>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dbb038d24d534af7fc12466761b1206c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to a} \\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]=\\frac{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)}{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"57\" width=\"181\" style=\"vertical-align: -24px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Diese Bedingung ist erf\u00fcllt, solange der Grenzwert der Nennerfunktion nicht Null ist.<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-615afb4e193ec9b817d1672cb66f67b6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to a}g(x)\\neq 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"97\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Wir werden ein Beispiel f\u00fcr diese Eigenschaft (oder dieses Gesetz) von Grenzen l\u00f6sen. Betrachten Sie die Funktionen f(x) und g(x):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-193a456033487c8b6501aa861a1b6351_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=5x-1\\qquad g(x)=3^x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"217\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir berechnen zun\u00e4chst den Grenzwert jeder Funktion bei x=0:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a25aaef5c60bc849e2cfe326093a82fb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to 0}(5x-1)=5\\cdot 0-1=-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"222\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40be0b69270ff2804525ec6aa35a934c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to 0}3^x=3^0=1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"121\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Somit kann der Grenzwert der Division der beiden Funktionen bei x=0 leicht gefunden werden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e8558b623352036e3af2e68e72861b96_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to 0} \\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]=\\frac{\\displaystyle\\lim_{x\\to 0}f(x)}{\\displaystyle\\lim_{x\\to 0}g(x)}=\\displaystyle\\frac{-1}{1}=-1\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"58\" width=\"278\" style=\"vertical-align: -24px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> In diesem Fall k\u00f6nnen wir diese Eigenschaft anwenden, um den Grenzwert zu l\u00f6sen, da der Grenzwert von g(x) ungleich Null ist. <\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedad-del-limite-de-una-constante\"><\/span> Eigenschaft des Grenzwertes einer Konstanten <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p style=\"text-align:left\"> Der <strong>Grenzwert einer konstanten Funktion<\/strong> ergibt immer die Konstante selbst, unabh\u00e4ngig von der Stelle, an der der Grenzwert berechnet wird.<\/p>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-083ac97d4077fd32108f371887a6daef_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to a} k=k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Diese Eigenschaft l\u00e4sst sich sehr einfach \u00fcberpr\u00fcfen, wenn wir beispielsweise die folgende konstante Funktion haben:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e9e41bd168999d7634188ca08496465a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"66\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Logischerweise betr\u00e4gt der Grenzwert der konstanten Funktion an jedem Punkt 5: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc495627062fe120c4fba7c649b94ea8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to 0}5=5\\qquad\\qquad\\lim_{x\\to 3}5=5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"218\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf06e3dadceb69c684be4e04205744f5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to -2}5=5\\qquad\\qquad\\lim_{x\\to 7}5=5\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"25\" width=\"229\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedad-del-limite-de-un-multiplo-constante\"><\/span> Eigenschaft des Grenzwerts eines konstanten Vielfachen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<p> Aus den Eigenschaften des Grenzwertes eines Produkts und des Grenzwertes einer Konstanten k\u00f6nnen wir die folgende Eigenschaft ableiten: <\/p>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p style=\"text-align:left\"> Der <strong>Grenzwert einer Funktion multipliziert mit einer Konstante<\/strong> ist gleich dem Produkt aus dieser Konstante und dem Grenzwert der Funktion.<\/p>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9e11e20d92c504cfb48a1a5c3747066f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to a}\\Bigl[ k\\cdot f(x)\\Bigr]=k\\cdot\\lim_{x\\to a}f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"214\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beachten Sie, wie wir die Berechnung des folgenden Grenzwerts mithilfe dieser Eigenschaft vereinfachen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-422e706a1b7643d78c0d667e17ede188_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle \\lim_{x\\to 4} (2x^2-12x+10)=\\\\[3ex]\\displaystyle =\\lim_{x\\to 4}\\Bigl[2\\cdot(x^2-6x+5)\\Bigr]=\\\\[3ex]=\\displaystyle 2\\cdot\\lim_{x\\to 4}(x^2-6x+5)=\\\\[3ex]=2\\cdot (4^2-6\\cdot4+5)=\\\\[3ex]=2\\cdot (-3)=-6\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"206\" width=\"206\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedad-del-limite-de-una-potencia\"><\/span> Eigenschaft der Grenze einer Potenz <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p style=\"text-align:left\"> Der <strong>Grenzwert einer Funktion, der auf einen Exponenten erh\u00f6ht wird,<\/strong> entspricht der Berechnung des Grenzwerts der Funktion und der anschlie\u00dfenden Erh\u00f6hung des Ergebnisses des Grenzwerts auf diesen Exponenten.<\/p>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-02b8185a9eca6e85f4d3e69b41b09903_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to a}\\Bigl[f(x)^k\\Bigr]=\\left[\\lim_{x\\to a}f(x)\\right]^k\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"202\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Der Grenzwert einer linearen Funktion ist beispielsweise:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-73523d73bd77b077f64d5bf05bd0444c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 6}x=6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"24\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Nun, der Grenzwert der quadratischen Funktion kann berechnet werden, indem man den Grenzwert der linearen Funktion ermittelt und dann das Ergebnis quadriert: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-051ef387f34fdcc7468d761e2d618f69_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 6}\\Bigl[x^2\\Bigr]=\\left[\\lim_{x\\to 6}x\\right]^2=\\bigl[6\\bigr]^2=36\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"36\" width=\"249\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedad-del-limite-de-una-funcion-exponencial\"><\/span> Eigenschaft des Grenzwerts einer Exponentialfunktion <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p style=\"text-align:left\"> Der <strong>Grenzwert einer Exponentialfunktion<\/strong> ist gleich der Konstante der Funktion, erh\u00f6ht auf den Grenzwert des algebraischen Ausdrucks der Funktion.<\/p>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a2fc0c424758574c4b22a93c3e5dfdcb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}\\Bigl[k^{g(x)}\\Bigr]=k^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"47\" width=\"179\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Anschlie\u00dfend berechnen wir den Grenzwert einer Exponentialfunktion auf zwei m\u00f6gliche Arten, um diese Eigenschaft zu \u00fcberpr\u00fcfen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6eb8d552dbdff46188019ca7d717e5a2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 1}5^{2x}=5^{2\\cdot 1}=25\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"28\" width=\"147\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1088a10d675c2a6dc332c23a362fce2c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 1}5^{2x}=5^{^{\\displaystyle\\lim_{x\\to 1}2x}}=5^{2\\cdot 1}=25\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"46\" width=\"232\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedad-del-limite-de-una-potencia-de-funciones\"><\/span> Eigenschaft der Grenze einer Potenz von Funktionen <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p style=\"text-align:left\"> Der <strong>Grenzwert einer zu einer anderen Funktion erhobenen Funktion<\/strong> ist der Grenzwert der ersten Funktion, erh\u00f6ht zum Grenzwert der zweiten Funktion.<\/p>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11395cf067e1c7ff75ae68090bec8d16_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle \\lim_{x\\to a}\\Bigl[f(x)^{g(x)}\\Bigr]=\\left[\\lim_{x\\to a}f(x)\\right]^{\\displaystyle\\lim_{x\\to a}g(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"41\" width=\"277\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Als Beispiel ermitteln wir durch Anwendung dieses Gesetzes den folgenden Grenzwert: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-88cf4a1a6c04abab530e67f4f0ca950d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to 2}\\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\\Bigr]=\\\\[3ex]\\displaystyle =\\left[\\lim_{x\\to 2}(x^2-4x)\\right]^{\\displaystyle\\lim_{x\\to 2}(4x-5)}=\\\\[3ex]=\\displaystyle (2^2-4\\cdot 2)^{4\\cdot 2-5}=\\\\[3ex]=(-4)^3=-64\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"173\" width=\"247\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedad-del-limite-de-una-funcion-irracional\"><\/span> Eigenschaft des Grenzwertes einer irrationalen Funktion <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p style=\"text-align:left\"> Der <strong>Grenzwert einer Wurzel (oder Wurzel)<\/strong> ist gleich der Wurzel des Grenzwerts.<\/p>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2cdf7e1a72f2441f72240f068edc413e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}\\sqrt[n]{f(x)}=\\sqrt[n]{\\lim_{x\\to a}f(x)}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"197\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um diese Eigenschaft zu verwenden, m\u00fcssen Sie bedenken, dass bei einem geraden Stammindex der Grenzwert der Funktion gr\u00f6\u00dfer oder gleich 0 sein muss:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31077c9693c2318fba7cb2f0f99d5efd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{si } n \\text{ es par} \\ \\longrightarrow \\ \\displaystyle\\lim_{x\\to a}f(x)\\ge 0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"26\" width=\"230\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Beachten Sie, wie der folgende Grenzwert durch Anwendung dieser Formel berechnet wurde: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad822bfcdd6fbb0335e1d99db71776c0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to 4}\\sqrt[3]{\\frac{x^2}{2}}=\\sqrt[3]{\\lim_{x\\to 4}\\frac{x^2}{2}}=\\sqrt[3]{\\frac{4^2}{2}}=\\sqrt[3]{8}=2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"44\" width=\"310\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedad-del-limite-de-una-funcion-logaritmica\"><\/span> Eigenschaft des Grenzwerts einer logarithmischen Funktion <span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h3>\n<div style=\"background:linear-gradient(to bottom, #FFFFFF 0%, #FFE0B2 100%); padding-top: 23px; padding-bottom: 0.5px; padding-right: 30px; padding-left: 30px; border: 2px dashed #FF9B28; border-radius:20px; margin-bottom:30px\">\n<p style=\"text-align:left\"> Der <strong>Grenzwert eines Logarithmus<\/strong> entspricht demselben Basislogarithmus des Grenzwerts.<\/p>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e34ee6ca0162d42714f0c8f3e245b14_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle\\lim_{x\\to a}\\Bigl[\\log_k f(x)\\Bigr]=\\log_k \\left[\\lim_{x\\to a}f(x)\\right]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"33\" width=\"252\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Schauen Sie sich die Aufl\u00f6sung des folgenden Grenzwerts an, in dem wir diese Eigenschaft anwenden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fc5468c73e74d00d2ffeb2293ea8145e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{array}{l}\\displaystyle\\lim_{x\\to -4}\\Bigl[\\log_3 (x^2-2x+3)\\Bigr]=\\\\[3ex]=\\displaystyle\\log_3 \\left[\\lim_{x\\to -4}(x^2-2x+3)\\right]=\\\\[4ex]=\\displaystyle\\log_3\\bigl[(-4)^2-2\\cdot (-4)+3\\bigr]=\\\\[3ex]=\\displaystyle\\log_3 27=3\\end{array}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"177\" width=\"236\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hier finden Sie alle Eigenschaften (bzw. 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