{"id":187,"date":"2023-07-15T10:57:51","date_gmt":"2023-07-15T10:57:51","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/absoluter-fehler-und-relativer-fehler\/"},"modified":"2023-07-15T10:57:51","modified_gmt":"2023-07-15T10:57:51","slug":"absoluter-fehler-und-relativer-fehler","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/absoluter-fehler-und-relativer-fehler\/","title":{"rendered":"Absoluter fehler und relativer fehler"},"content":{"rendered":"
Absoluter Fehler und relativer Fehler sind zwei Ma\u00dfe zur Bewertung der Genauigkeit einer Berechnung oder Sch\u00e4tzung.<\/p>\n
Der absolute Fehler bezieht sich auf die Differenz zwischen dem tats\u00e4chlichen Wert und dem gesch\u00e4tzten Wert<\/strong> . Der relative Fehler wiederum bezieht sich auf das Verh\u00e4ltnis zwischen dem absoluten Fehler und dem tats\u00e4chlichen Wert.<\/p>\n
Beides ist wichtig, weil es Aufschluss \u00fcber die Richtigkeit und Relevanz der Ergebnisse gibt. Dar\u00fcber hinaus werden sie in vielen Bereichen eingesetzt, darunter im Ingenieurwesen, in der Physik und in den Wirtschaftswissenschaften. Wir beschreiben sie nachfolgend.<\/p>\n
Was ist der absolute Fehler?<\/span><\/h2>\n
Der absolute Fehler ist ein Ma\u00df f\u00fcr die Differenz zwischen einem gemessenen oder gesch\u00e4tzten Wert und dem tats\u00e4chlichen Wert.<\/p>\n
Es wird durch die Formel dargestellt: |gemessener Wert \u2013 realer Wert|<\/strong> . Mit anderen Worten ist der absolute Fehler der absolute Wert der Differenz zwischen den gemessenen oder gesch\u00e4tzten Werten und den tats\u00e4chlichen Werten.<\/p>\n
In mathematischer Sprache ausgedr\u00fcckt bleibt es wie folgt: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Es ist erw\u00e4hnenswert, dass es sich um eine grundlegende Messung in vielen Bereichen wie Wissenschaft, Technologie, Ingenieurwesen und Wirtschaft handelt, da es die Bewertung der Genauigkeit der Ergebnisse und der Qualit\u00e4t von Modellen und Sch\u00e4tzungen erm\u00f6glicht.<\/p>\n
Wie wird der absolute Fehler berechnet?<\/span><\/h2>\n
Die Berechnung des absoluten Fehlers ist einfach:<\/p>\n
Der gemessene oder gesch\u00e4tzte Wert wird vom tats\u00e4chlichen Wert subtrahiert<\/strong> und der Absolutwert des Ergebnisses gebildet.<\/p>\n
Wenn der tats\u00e4chliche Wert beispielsweise 10 betr\u00e4gt und der gemessene oder gesch\u00e4tzte Wert 9 betr\u00e4gt, w\u00e4re der absolute Fehler:<\/p>\n
|9 \u2013 10| = |-1| = 1.<\/p>\n
Ein weiteres Beispiel: Wenn der tats\u00e4chliche Wert 15 und der gemessene oder gesch\u00e4tzte Wert 17 betr\u00e4gt, w\u00e4re der absolute Fehler:<\/p>\n
|17 \u2013 15| = |2| = 2.<\/p>\n
Sie k\u00f6nnen auch den mittleren absoluten Fehler<\/strong> berechnen, bei dem es sich um die Gesamtsumme der absoluten Fehler dividiert durch die Anzahl der Messungen oder Sch\u00e4tzungen handelt. Um es zu berechnen, m\u00fcssen Sie der folgenden Formel folgen: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Dies ist n\u00fctzlich, wenn Sie viele Messungen oder Sch\u00e4tzungen haben und sich einen allgemeinen \u00dcberblick \u00fcber die Genauigkeit der Ergebnisse verschaffen m\u00f6chten.<\/p>\n
Angenommen, wir haben die folgenden Messungen oder Sch\u00e4tzungen:<\/p>\n
Aktueller Wert: 20<\/p>\n
Messwert 1:18<\/p>\n
Messwert 2:22<\/p>\n
Messwert 3:19<\/p>\n
Wir berechnen den absoluten Fehler f\u00fcr jede Messung wie folgt:<\/p>\n
Absoluter Fehler 1: |18 \u2013 20| = 2<\/p>\n
Absoluter Fehler 2: |22 \u2013 20| = 2<\/p>\n
Absoluter Fehler 3: |19 \u2013 20| = 1<\/p>\n
Wir berechnen den durchschnittlichen absoluten Fehler wie folgt: (2 + 2 + 1) \u00f7 3 = 1,67. Dies bedeutet, dass Messungen oder Sch\u00e4tzungen im Durchschnitt innerhalb von 1,67 Einheiten vom wahren Wert abweichen.<\/p>\n
Was ist der relative Fehler?<\/span><\/h2>\n
Der relative Fehler ist ein Ma\u00df f\u00fcr die Genauigkeit einer Messung oder Sch\u00e4tzung im Verh\u00e4ltnis des absoluten Fehlers zum wahren Wert.<\/p>\n
Er wird durch die Formel dargestellt: (absoluter Fehler) \u00f7 (realer Wert)<\/strong> . In mathematischer Sprache ausgedr\u00fcckt bleibt es wie folgt: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Der relative Fehler ist n\u00fctzlich, um die Pr\u00e4zision verschiedener Messungen oder Sch\u00e4tzungen zu vergleichen, insbesondere wenn die tats\u00e4chlichen Werte unterschiedlich sind.<\/p>\n
Wie wird der relative Fehler berechnet?<\/span><\/h2>\n
Bei der Berechnung des relativen Fehlers wird der absolute Fehler normiert<\/strong> , sodass die Genauigkeit verschiedener Messungen oder Sch\u00e4tzungen unabh\u00e4ngig von ihren tats\u00e4chlichen Werten verglichen werden kann.<\/p>\n
Angenommen, Sie haben zwei Messungen oder Sch\u00e4tzungen, A und B, mit wahren Werten von 10 bzw. 100 und absoluten Fehlern von 1 bzw. 5.<\/p>\n
Der relative Fehler f\u00fcr Messung A w\u00e4re (1) \u00f7 (10) = (0,1), w\u00e4hrend der relative Fehler f\u00fcr Messung B (5) \u00f7 (100) = (0,05) w\u00e4re. Dies weist darauf hin, dass Messung B relativ gesehen genauer ist als Messung A, obwohl sie einen gr\u00f6\u00dferen absoluten Fehler aufweist.<\/p>\n
Hier sind einige Beispiele, wie der relative Fehler berechnet werden kann:<\/p>\n
1. Messen Sie die H\u00f6he eines Geb\u00e4udes und sie wird auf 100 Meter gesch\u00e4tzt:<\/strong><\/p>\n
Nach der Messung stellen wir fest, dass es tats\u00e4chlich 98 Meter lang ist.<\/p>\n
Der absolute Fehler w\u00e4re 2 Meter und der relative Fehler w\u00e4re (2) \u00f7 (98) = 0,0204 oder 2,04 %.<\/p>\n
2. Angenommen, Sie m\u00f6chten das Gewicht eines Gegenstands messen und sch\u00e4tzen, dass dieser 10 Kilogramm wiegt.<\/strong><\/p>\n
Nach der Messung stellten wir fest, dass es tats\u00e4chlich 9,5 Kilogramm wiegt.<\/p>\n
Der absolute Fehler w\u00e4re 0,5 Kilogramm und der relative Fehler w\u00e4re (0,5) \u00f7 (9,5) = 0,0526 oder 5,26 %.<\/p>\n
3. Angenommen, Sie m\u00f6chten die L\u00e4nge eines Bretts messen und diese wird auf 200 Zentimeter gesch\u00e4tzt.<\/strong><\/p>\n
Nach der Messung stellen wir fest, dass es tats\u00e4chlich 201 Zentimeter sind.<\/p>\n
Der absolute Fehler w\u00e4re 1 Zentimeter und der relative Fehler w\u00e4re (1) \u00f7 (201) = 0,00498 oder 0,498 %.<\/p>\n
In jedem dieser Beispiele stellt der relative Fehler ein Ma\u00df f\u00fcr die Pr\u00e4zision der Messung dar, ausgedr\u00fcckt als Verh\u00e4ltnis des absoluten Fehlers zum wahren Wert. Dadurch k\u00f6nnen Sie die Genauigkeit verschiedener Messungen und Sch\u00e4tzungen vergleichen, unabh\u00e4ngig von ihren tats\u00e4chlichen Werten.<\/p>\n
Was ist der Unterschied zwischen absolutem Fehler und relativem Fehler?<\/span><\/h2>\n
Absoluter Fehler und relativer Fehler sind zwei unterschiedliche Ma\u00dfe<\/strong> zur Bewertung der Genauigkeit eines Ergebnisses oder Modells.<\/p>\n
Der absolute Fehler bezieht sich auf die Differenz zwischen dem tats\u00e4chlichen oder wahren Wert einer Gr\u00f6\u00dfe und dem gesch\u00e4tzten oder gemessenen Wert. Er kann als Differenz zwischen dem tats\u00e4chlichen Wert und dem gesch\u00e4tzten Wert berechnet werden:<\/p>\n
Der absolute Fehler kann positiv oder negativ<\/strong> sein, je nachdem, ob der gesch\u00e4tzte Wert gr\u00f6\u00dfer oder kleiner als der wahre Wert ist.<\/p>\n
Andererseits bezieht sich der relative Fehler auf die Beziehung zwischen dem absoluten Fehler und dem realen oder wahren Wert<\/strong> . Er kann als Bruchteil des absoluten Fehlers und des wahren Werts berechnet werden:<\/p>\n
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