{"id":183,"date":"2023-07-15T12:37:30","date_gmt":"2023-07-15T12:37:30","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/potenzen-komplexer-zahlen\/"},"modified":"2023-07-15T12:37:30","modified_gmt":"2023-07-15T12:37:30","slug":"potenzen-komplexer-zahlen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/potenzen-komplexer-zahlen\/","title":{"rendered":"Potenzen komplexer zahlen"},"content":{"rendered":"

Das L\u00f6sen der Potenzen komplexer Zahlen<\/strong> ist ziemlich einfach, wenn man die richtige Methode kennt. Daher erkl\u00e4ren wir in diesem Artikel, wie man komplexe Potenzen auf drei Arten l\u00f6st: f\u00fcr komplexe Zahlen in Binomialform, in Polarform und in trigonometrischer Form.<\/p>\n

Wie l\u00f6st man die Potenz einer komplexen Zahl?<\/span><\/h2>\n

Wie bereits in der Einleitung erw\u00e4hnt, k\u00f6nnen beim Umgang mit komplexen Befugnissen drei Situationen auftreten. Die erste und einfachste M\u00f6glichkeit besteht darin, dass wir die Zahl in Polarform<\/strong> erhalten. Im zweiten Fall erhalten wir die Zahl in Binomialform und im dritten Fall erhalten wir die Zahl in trigonometrischer Form.<\/p>\n

Mit anderen Worten: Beim Arbeiten mit Komplexen in polarer Form l\u00e4sst sich die Aufgabe schneller l\u00f6sen. Daher empfiehlt es sich, die jeweilige Zahl in die Polarform umzuwandeln. Aber eigentlich sind alle Methoden einfach zu l\u00f6sen<\/strong> . Wir erkl\u00e4ren Ihnen jedoch, wie alle F\u00e4lle gel\u00f6st werden, und bieten Ihnen eine \u00dcbung an.<\/p>\n

Potenzen komplexer Zahlen in Polarform<\/span><\/h2>\n

Wenn wir komplexe Potenzen in Polarform<\/strong> l\u00f6sen wollen, erh\u00f6hen wir einfach den Modul auf beliebig und multiplizieren das Argument mit n. Mathematisch ausgedr\u00fcckt erhalten wir folgende Formel: <\/p>\n

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\"Berechnen<\/figure>\n<\/div>\n

Hier sind einige Beispiele, damit Sie versuchen k\u00f6nnen, sie selbst zu l\u00f6sen: <\/p>\n

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\"\u00dcbungen<\/figure>\n<\/div>\n
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Das Verfahren ist sehr einfach, da Sie nur die oben kommentierten Formeln anwenden m\u00fcssen und das Ergebnis bereits vorliegt. <\/p>\n

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\"komplexe<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n
Zeigen Sie die L\u00f6sung<\/div>\n
Zeige weniger<\/div>\n<\/div>\n

Potenzen komplexer Zahlen in Binomialform<\/span><\/h2>\n

Wenn wir andererseits komplexe Potenzen in Binomialform<\/strong> l\u00f6sen wollen, k\u00f6nnen wir zwei verschiedene Methoden verwenden. Der erste befasst sich mit der L\u00f6sung der Potenz auf \u201ealgebraische\u201c Weise (die Aufl\u00f6sung erfolgt so, als ob ich eine Variable w\u00e4re). Und das zweite System besteht darin, die Binomialform in eine Polarform umzuwandeln und dann dem vorherigen Verfahren zu folgen.<\/p>\n

Wenn Sie nicht wissen, wie Sie von der Binomialform zur Polarform gelangen, erkl\u00e4ren wir Ihnen das ganz anschaulich in unserem Artikel \u00fcber komplexe Zahlen<\/a> . Aber jetzt werden wir es schnell anhand eines Beispiels sehen.<\/p>\n

Versuchen Sie, die folgende komplexe Potenz zu l\u00f6sen: (2 + 3i) 2<\/sup> .<\/strong> <\/p>\n

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Zun\u00e4chst werden wir sehen, wie die Operation mit der \u201ealgebraischen Methode\u201c gel\u00f6st wird.<\/p>\n

In diesem speziellen Fall k\u00f6nnen wir ein bemerkenswertes Produkt<\/a> anwenden: (a + b) 2<\/sup> = a 2<\/sup> + 2ab + b 2<\/sup> .<\/p>\n

(2 + 3i) 2<\/sup><\/strong> = 2 2<\/sup> + 2 2 3i + 3i 2<\/sup><\/p>\n

Dann operieren und vereinfachen wir.<\/p>\n

= 4 \u2013 9 + 12i = -5 + 12i<\/p>\n

Zweitens k\u00f6nnen wir die zweite Methode verwenden. Wir beginnen daher damit, die Zahl in Polarform auszudr\u00fccken: <\/p>\n

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\"Umrechnung<\/figure>\n<\/div>\n

Dann operieren wir nach den Formeln, die wir eingangs kommentiert haben. <\/p>\n

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\"komplexe<\/figure>\n<\/div>\n

Und schlie\u00dflich erhalten wir das gleiche Ergebnis, nur in polarer Form. Wenn Sie der Meinung sind, dass es sich nicht um dieselbe Zahl handelt, k\u00f6nnen Sie versuchen, sie selbst umzurechnen. Nat\u00fcrlich m\u00fcssen Sie bedenken, dass das Argument des Ergebnisses in Binomialform, das wir erhalten haben , im zweiten Quadranten<\/strong> liegt. Wir m\u00fcssen also \u03c0 zum Winkel addieren.<\/p>\n<\/div>\n

Zeigen Sie die L\u00f6sung<\/div>\n
Zeige weniger<\/div>\n<\/div>\n

Potenzen komplexer Zahlen in trigonometrischer Form<\/span><\/h2>\n

Wenn wir schlie\u00dflich komplexe Potenzen in trigonometrischer Form<\/strong> l\u00f6sen wollen, m\u00fcssen wir die bekannte Formel von de Moivre verwenden. Was wie folgt geschrieben ist: <\/p>\n

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\"Moivres<\/figure>\n<\/div>\n

Wenn Sie diese Formel kennen, versuchen Sie, die folgenden \u00dcbungen zu l\u00f6sen: <\/p>\n

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\"Aus\u00fcbung<\/figure>\n<\/div>\n
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Sie m\u00fcssen lediglich die de Moivre-Formel anwenden und schon k\u00f6nnen Sie alle \u00dcbungen l\u00f6sen. <\/p>\n

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\"Potenz<\/figure>\n<\/div>\n

Der letzte Fall ist jedoch etwas anders, da er numerische Winkel anstelle einer Variablen hat. <\/p>\n

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\"Berechnen<\/figure>\n<\/div>\n<\/div>\n
Zeigen Sie die L\u00f6sung<\/div>\n
Zeige weniger<\/div>\n<\/div>\n

Erfahren Sie mehr \u00fcber komplexe Kr\u00e4fte<\/span><\/h2>\n