{"id":180,"date":"2023-07-15T14:19:41","date_gmt":"2023-07-15T14:19:41","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/komplexe-ebene\/"},"modified":"2023-07-15T14:19:41","modified_gmt":"2023-07-15T14:19:41","slug":"komplexe-ebene","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/komplexe-ebene\/","title":{"rendered":"Darstellung komplexer zahlen in der komplexen ebene"},"content":{"rendered":"

Komplexe Zahlen sind eine Menge bestehend aus reellen Zahlen<\/a> und imagin\u00e4ren Zahlen<\/a> . Diese letzten beiden Zahlens\u00e4tze k\u00f6nnen grafisch mithilfe der realen Linie und der imagin\u00e4ren Linie dargestellt werden<\/strong> . Und wenn wir beide Geraden in die gleiche Ebene legen, entsteht die bekannte komplexe Ebene.<\/p>\n

Was ist der komplexe Plan?<\/span><\/h2>\n

Die komplexe Ebene<\/strong> wird durch die reale Achse (X-Achse), die der realen Linie entspricht, und andererseits die imagin\u00e4re Achse (Y-Achse), die die imagin\u00e4re Linie konzeptualisiert, gebildet.<\/p>\n

Es ist zu beachten, dass dieser Plan alle komplexen Zahlen umfasst. Unabh\u00e4ngig davon, wie klein oder klein sie ist oder in welcher Form eine komplexe Zahl geschrieben ist, kann sie daher grafisch auf dem Plan dargestellt werden. Sehen wir uns also an, wie diese Zahlen in der komplexen Ebene dargestellt werden.<\/p>\n

Wie zeichnet man komplexe Zahlen auf der komplexen Ebene grafisch auf?<\/span><\/h2>\n

Wie wir bereits wissen (oder wenn Sie es nicht wissen, empfehlen wir Ihnen, unseren Artikel \u00fcber komplexe Zahlen<\/a> zu lesen), gibt es drei M\u00f6glichkeiten<\/strong> , einen Komplex zu schreiben: die Binomialform, die Polarform und die trigonometrische Form. Jeder dr\u00fcckt den komplexen Wert gem\u00e4\u00df einer anderen Struktur aus, daher ist die Methode zur Erstellung der grafischen Darstellungen unterschiedlich.<\/p>\n

Als n\u00e4chstes erkl\u00e4ren wir die Vorgehensweise in den drei F\u00e4llen:<\/p>\n

Darstellung in Binomialform<\/h3>\n

Wenn wir eine komplexe Zahl in Binomialschreibweise<\/strong> haben, was am h\u00e4ufigsten vorkommt, m\u00fcssen wir uns die Struktur der Zahl ansehen: <\/p>\n

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\"Binomialformel\"<\/figure>\n<\/div>\n

Dabei ist a der Realteil und b der Imagin\u00e4rteil.<\/p>\n

Aus diesem Wissen schlie\u00dfen wir, dass der Wert von a derjenige ist, den wir f\u00fcr die Abszisse (reale Achse) verwenden, und der Wert von b derjenige, den wir f\u00fcr den Computer (imagin\u00e4re Achse) verwenden. Anhand des folgenden Beispiels werden Sie es besser verstehen.<\/p>\n

Wir werden versuchen, die Zahl darzustellen: 3 + 2i.<\/strong><\/p>\n

Als erstes muss das Diagramm gezeichnet werden (wobei zu beachten ist, dass die horizontale Achse die reale Achse und die vertikale Achse die imagin\u00e4re Achse ist): <\/p>\n

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\"komplexe<\/figure>\n<\/div>\n

Dann lokalisieren wir den Punkt des Graphen in kartesischen Koordinaten (x, y), die wir aus der komplexen Zahl ableiten. In diesem praktischen Beispiel ist unser Punkt (3, 2). <\/p>\n

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\"Komplexe<\/figure>\n<\/div>\n

Somit w\u00fcrde der Wert 3 + 2i in der komplexen Ebene dargestellt.<\/p>\n

Darstellung in Polarform<\/h3>\n

Wir werden nun sehen, wie eine komplexe Zahl in Polarform<\/strong> dargestellt wird. Um diese Methode vollst\u00e4ndig zu verstehen, m\u00fcssen Sie wissen, dass die Polarschreibweise eine komplexe Zahl basierend auf dem Modul und dem Argument definiert. Die in der grafischen Darstellung als Polarkoordinaten (und nicht als kartesische Koordinaten!) verwendet werden.<\/p>\n

Und das Hauptmerkmal des Polarkoordinatensystems besteht darin, dass die Position eines Punktes durch einen Vektor und einen Winkel<\/strong> beschrieben wird (im Gegensatz zur vorherigen Methode). Was dem Modul und dem Argument komplexer Zahlen entspricht. Als n\u00e4chstes zeigen wir Ihnen die universelle Formel f\u00fcr die Polarform einer komplexen Zahl: <\/p>\n

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\"Komplexe<\/figure>\n<\/div>\n

Wobei |z| ist der Modul und \u03b1 ist das Argument. Diese beiden Variablen werden im Plan \u00fcbersetzt durch:<\/p>\n