{"id":179,"date":"2023-07-15T14:28:42","date_gmt":"2023-07-15T14:28:42","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/eigenschaften-komplexer-zahlen\/"},"modified":"2023-07-15T14:28:42","modified_gmt":"2023-07-15T14:28:42","slug":"eigenschaften-komplexer-zahlen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/eigenschaften-komplexer-zahlen\/","title":{"rendered":"Eigenschaften komplexer zahlen"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel besprechen wir die Eigenschaften komplexer Zahlen<\/strong> , die beim L\u00f6sen von Berechnungen und beim Vereinfachen von Ausdr\u00fccken n\u00fctzlich sein k\u00f6nnen. Kommen wir gleich zu diesen Eigenschaften.<\/p>\n

Modul und Argument einer komplexen Zahl<\/span><\/h2>\n

Die erste Eigenschaft einer komplexen Zahl ist der Modul und das Argument einer komplexen Zahl. Die Berechnung ist sehr einfach, da Sie nur ein paar Formeln anwenden m\u00fcssen.<\/p>\n

Die Formel zur Berechnung des Moduls: <\/p>\n

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\"Modul<\/figure>\n<\/div>\n

Die Formel zur Berechnung des Arguments: <\/p>\n

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\"Argument<\/figure>\n<\/div>\n

Wenn die Zahl nun in polarer oder trigonometrischer Form ausgedr\u00fcckt wird, sind keine Berechnungen erforderlich. Denn im gleichen Ausdruck werden Modul und Argument aufgelistet.<\/p>\n

Im Bild unten sehen Sie die Formel f\u00fcr eine Zahl in Polarform, wobei |z| ist der Modul und \u03b1 ist das Argument. <\/p>\n

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\"Komplexe<\/figure>\n<\/div>\n

Und in diesem anderen Bild k\u00f6nnen Sie die Struktur einer Zahl in trigonometrischer Form sehen, wobei |z| ist der Modul und \u03b1 ist das Argument. <\/p>\n

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\"Formulieren<\/figure>\n<\/div>\n

gleiche komplexe Zahlen<\/span><\/h2>\n

Gleiche komplexe Zahlen sind solche, die Modul und Argument gemeinsam haben. Also, aus diesen beiden Werten: <\/p>\n

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\"Eigenschaften<\/figure>\n<\/div>\n

Diese sind gleich, wenn die folgende Eigenschaft erf\u00fcllt ist. <\/p>\n

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\"gleiche<\/figure>\n<\/div>\n

Wenn wir andererseits beide Zahlen in Binomialform haben, k\u00f6nnen wir sehr schnell und einfach \u00fcberpr\u00fcfen, ob es sich um zwei gleiche komplexe Zahlen handelt. Einfach gesagt muss der folgende Ausdruck erf\u00fcllt sein:<\/p>\n

a + bi = a + bi<\/p>\n

Sehen wir uns ein Beispiel an, um festzustellen, ob die folgenden zwei komplexen Zahlen gleich sind:<\/strong> <\/p>\n

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\"\u00dcbung<\/figure>\n<\/div>\n
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Zuerst m\u00fcssen wir alle Zahlen in die gleiche Form \u00fcberf\u00fchren, also gehen wir in die Polarform \u00fcber. <\/p>\n

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\"Wir<\/figure>\n<\/div>\n

Als n\u00e4chstes vergleichen wir Module und Argumente. <\/p>\n

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\"Wir<\/figure>\n<\/div>\n

Da sie denselben Modul und dasselbe Argument haben, k\u00f6nnen wir sagen, dass es sich um zwei gleiche komplexe Zahlen handelt.<\/p>\n<\/div>\n

Zeigen Sie die L\u00f6sung<\/div>\n
Zeige weniger<\/div>\n<\/div>\n

Komplexe Zahlen konjugieren<\/span><\/h2>\n

Kommen wir nun zu einer der wichtigsten Eigenschaften komplexer Zahlen, denn zu wissen, wie man das Konjugierte eines Komplexes berechnet, hilft uns sehr beim L\u00f6sen komplexer Divisionen und beim Vornehmen von Vereinfachungen.<\/p>\n

Also, aus diesen beiden Werten: <\/p>\n

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\"Eigenschaften<\/figure>\n<\/div>\n

Wir sagen, dass sie konjugiert sind, wenn sie ein gemeinsames Modul haben und gegens\u00e4tzliche Argumente haben. Es muss daher ausgef\u00fcllt werden: <\/p>\n

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\"Komplexe<\/figure>\n<\/div>\n

Wenn wir andererseits beide Zahlen in Binomialform haben, k\u00f6nnen wir sehr schnell und einfach \u00fcberpr\u00fcfen, ob es sich um zwei komplex konjugierte Zahlen handelt. Einfach gesagt muss der folgende Ausdruck erf\u00fcllt sein:<\/p>\n

un + bi = un \u2013 bi<\/p>\n

Sehen wir uns ein Beispiel an, um festzustellen, ob die folgenden zwei komplexen Zahlen konjugiert sind:<\/strong> <\/p>\n

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\"\u00dcbung<\/figure>\n<\/div>\n
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Bevor wir beginnen, m\u00fcssen wir beide Zahlen in derselben Form haben, also wechseln wir zur Polarform. <\/p>\n

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\"Komplexe<\/figure>\n<\/div>\n

Als n\u00e4chstes vergleichen wir Module und Argumente. <\/p>\n

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\"Beispiel<\/figure>\n<\/div>\n

Wir stellen fest, dass es sich um konjugiert komplexe Zahlen handelt, weil sie denselben Modul und entgegengesetzte Argumente haben.<\/p>\n<\/div>\n

Zeigen Sie die L\u00f6sung<\/div>\n
Zeige weniger<\/div>\n<\/div>\n

Gegenteilige komplexe Zahlen<\/span><\/h2>\n

Als n\u00e4chstes betrachten wir die Eigenschaft entgegengesetzter komplexer Zahlen. Aus diesen beiden Werten: <\/p>\n

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\"Eigenschaften<\/figure>\n<\/div>\n

Wir k\u00f6nnen sagen, dass sie Gegens\u00e4tze sind, wenn sie denselben Modul haben und sich ihre Argumente um 180 Grad oder \u03c0 im Bogenma\u00df unterscheiden: <\/p>\n

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\"Gegenteilige<\/figure>\n<\/div>\n

Wenn wir hingegen beide Zahlen in Binomialform haben, k\u00f6nnen wir eine andere, noch schnellere und einfachere Methode verwenden, um herauszufinden, ob es sich um zwei entgegengesetzte komplexe Zahlen handelt. Einfach gesagt muss der folgende Ausdruck erf\u00fcllt sein:<\/p>\n

a + bi = -a \u2013 bi<\/p>\n

Sehen wir uns ein Beispiel an, um festzustellen, ob die folgenden zwei komplexen Zahlen entgegengesetzt sind:<\/strong> <\/p>\n

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\"Beispiel<\/figure>\n<\/div>\n
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Wir dr\u00fccken die beiden Werte zun\u00e4chst in derselben Form aus: der Polarform. <\/p>\n

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\"Eigenschaften<\/figure>\n<\/div>\n

Als n\u00e4chstes vergleichen wir Module und Argumente. <\/p>\n

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\"Beispiel<\/figure>\n<\/div>\n

Wir stellen fest, dass es sich um zwei entgegengesetzte komplexe Zahlen handelt.<\/p>\n<\/div>\n

Zeigen Sie die L\u00f6sung<\/div>\n
Zeige weniger<\/div>\n<\/div>\n

andere Eigenschaften<\/span><\/h2>\n

Offensichtlich verf\u00fcgt dieser Zahlensatz \u00fcber weitere Eigenschaften, wie z. B. inverse komplexe Zahlen und einige andere, die in direktem Zusammenhang mit grundlegenden arithmetischen Operationen stehen. All dies wird jedoch in anderen Artikeln behandelt, die Sie in der Liste unten sehen k\u00f6nnen.<\/p>\n

Erfahren Sie mehr \u00fcber die Eigenschaften komplexer Zahlen<\/span><\/h2>\n