{"id":178,"date":"2023-07-15T15:42:05","date_gmt":"2023-07-15T15:42:05","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/komplexe-zahlen\/"},"modified":"2023-07-15T15:42:05","modified_gmt":"2023-07-15T15:42:05","slug":"komplexe-zahlen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/komplexe-zahlen\/","title":{"rendered":"Komplexe zahlen"},"content":{"rendered":"

Sie haben wahrscheinlich schon von komplexen Zahlen<\/strong> geh\u00f6rt. Sie sind m\u00f6glicherweise die am schwierigsten zu handhabende Zahlenmenge, da sie reale und imagin\u00e4re Zahlen kombinieren. Seine Vereinheitlichung erm\u00f6glicht die Untersuchung numerischer Verhaltensweisen, die nicht mit allen reellen Zahlen behandelt werden k\u00f6nnen.<\/p>\n

Was sind komplexe Zahlen?<\/span><\/h2>\n

Komplexe Zahlen sind die Kombination einer reellen Zahl<\/a> und einer imagin\u00e4ren Zahl<\/a> . Beispielsweise ist 4 + 5i<\/strong> eine komplexe Zahl, deren Realteil gleich 4 und deren Imagin\u00e4rteil gleich 5i ist. Im Allgemeinen k\u00f6nnen wir sie durch die folgende Formel ausdr\u00fccken: <\/p>\n

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\"Komplexe<\/figure>\n<\/div>\n

Wobei Re(z) = a und Im(z) = b<\/p>\n

Wie wir schon sagten, sind Komplexe die gr\u00f6\u00dfte Menge oder globale Menge<\/strong> , die sowohl reelle als auch imagin\u00e4re Zahlen umfasst. Als n\u00e4chstes zeigen wir Ihnen ein kleines Diagramm der hierarchischen Struktur aller Mengen: <\/p>\n

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\"Mengen<\/figure>\n<\/div>\n

Wenn wir also eine Kombination aus einer reellen Zahl und einer imagin\u00e4ren Zahl haben, haben wir eine komplexe Zahl. Es gibt jedoch Zeiten, in denen einer der beiden Teile gleich Null ist. Was passiert in diesen F\u00e4llen?<\/strong> Nun, wir haben es immer noch mit Komplexen zu tun, denn die komplexe Menge umfasst alle anderen numerischen Mengen. Aber wir geben eine andere Unterkategorie ein: <\/p>\n

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komplexe Zahl<\/strong><\/td>\n k\u00f6nigliche Partei<\/strong><\/td>\n Fantasieteil<\/strong><\/td>\n Unterkategorie<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
2+5i<\/td>\n 2<\/td>\n 5i<\/td>\n Komplex<\/td>\n<\/tr>\n
4<\/td>\n 4<\/td>\n 0<\/td>\n rein k\u00f6niglich<\/td>\n<\/tr>\n
3i<\/td>\n 0<\/td>\n 3i<\/td>\n Pure Fantasie<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/figure>\n<\/div>\n

Wenn wir eine reine reelle Zahl haben, da der imagin\u00e4re Wert b gleich Null ist, ist die verbleibende komplexe Zahl \u00e4quivalent zu:<\/p>\n

z = a + 0i = a<\/p>\n

Wenn wir hingegen eine reine Vorstellungskraft haben, ist a gleich Null und folglich bleibt die komplexe Zahl die folgende:<\/p>\n

z = 0 + bi = bi<\/p>\n

Grafische Darstellung komplexer Zahlen<\/span><\/h2>\n

Um komplexe Zahlen darzustellen, verwenden wir die komplexe Ebene<\/a> . Die aus zwei Linien<\/strong> besteht: der realen Linie und der imagin\u00e4ren Linie. Diese beiden Zahlenlinien werden verwendet, um die Zahlen in jedem Satz grafisch zu lokalisieren, und wenn wir sie zusammenf\u00fcgen, erhalten wir einen Plan, wie zum Beispiel: <\/p>\n

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\"komplexe<\/figure>\n<\/div>\n

Die X-Achse wird Realachse genannt, da sich dort die Realteilwerte befinden. W\u00e4hrend die Y-Achse als imagin\u00e4re Achse bezeichnet wird, werden hier die imagin\u00e4ren Werte geschrieben. Sehen wir uns ein Beispiel an: Wir werden die Zahl 3 + 2i<\/strong> in der komplexen Ebene platzieren. <\/p>\n

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\"grafische<\/figure>\n<\/div>\n

Wie Sie im Bild gesehen haben, haben wir die Zahl anhand der Zahlen 3 und 2 als Koordinaten ermittelt, jeweils f\u00fcr eine Achse. Wenn Sie mehr \u00fcber die Darstellung komplexer Zahlen erfahren m\u00f6chten, empfehlen wir Ihnen die Lekt\u00fcre dieses Artikels.<\/p>\n

Welche Arten komplexer Zahlen gibt es?<\/span><\/h2>\n

Jetzt werden wir sehen, wie wir eine komplexe Zahl ausdr\u00fccken k\u00f6nnen. Bisher haben wir nur die Grundform (die sogenannte Binomialform) gesehen, die als Summe geschrieben wird: Realteil plus Imagin\u00e4rteil.<\/p>\n

Aber in Wirklichkeit haben wir drei Formen: die binomiale, die polare und die trigonometrische<\/strong> . Jeder Ausdruckstyp hat seine Eigenschaften und wird in der einen oder anderen Situation verwendet. Deshalb werden wir sie alle erkl\u00e4ren und zeigen, wie man von einem zum anderen wechselt.<\/p>\n

1. Binomialform<\/h3>\n

Komplexe Zahlen in Binomialform<\/strong> werden als Summe des Realteils und des Imagin\u00e4rteils geschrieben: a + bi. Beispielsweise ist die Zahl 6 + i ein Komplex, der in Binomialschreibweise ausgedr\u00fcckt wird. In diesem Fall ist die Formel immer dieselbe: <\/p>\n

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\"Binomialformel\"<\/figure>\n<\/div>\n

Um eine komplexe Zahl in Binomialform auszudr\u00fccken, m\u00fcssen Sie daher nur ihren realen Wert und ihren imagin\u00e4ren Wert kennen.<\/p>\n

Beispielsweise liegt der Wert 3 + 2i<\/strong> in Binomialform vor und wird, wie wir zuvor gesehen haben, wie folgt dargestellt: <\/p>\n

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\"grafische<\/figure>\n<\/div>\n

Die Binomialform wird haupts\u00e4chlich zur L\u00f6sung der Addition und Subtraktion komplexer Zahlen verwendet.<\/p>\n

2. Polarform<\/h3>\n

Um komplexe Zahlen in Polarform<\/strong> auszudr\u00fccken, m\u00fcssen wir ihren Modul |z| berechnen und seine Argumentation. Die Polarform wird haupts\u00e4chlich verwendet, wenn wir Multiplikationen und Divisionen komplexer Zahlen l\u00f6sen m\u00fcssen.<\/p>\n

Um den Modul der komplexen Zahl zu berechnen<\/strong> , berechnen Sie einfach den Modul von a und b, wie in der folgenden Formel erl\u00e4utert: <\/p>\n

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\"Modul<\/figure>\n<\/div>\n

Und um das Argument oder den Winkel von z zu berechnen<\/strong> , m\u00fcssen wir den Arkustangens von b zwischen a berechnen: <\/p>\n

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\"Argument<\/figure>\n<\/div>\n

Es ist wichtig zu beachten, dass zur genauen Bestimmung des Winkels \u03b1 zun\u00e4chst ermittelt werden muss, in welchem Quadranten er sich befindet. Tats\u00e4chlich berechnet die Arkustangensfunktion nur Winkel zwischen \u03c0\/2 und -\u03c0\/2. Um anzugeben, in welchem Quadranten sich die komplexe Zahl befindet, m\u00fcssen wir uns die Werte a und b ansehen (ob sie positiv oder negativ sind): <\/p>\n

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\"Quadranten<\/figure>\n<\/div>\n

Sobald wir wissen, in welchen Quadranten unsere Zahl f\u00e4llt, m\u00fcssen wir einige Regeln befolgen:<\/p>\n