{"id":176,"date":"2023-07-15T16:26:26","date_gmt":"2023-07-15T16:26:26","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/deeuler-formel\/"},"modified":"2023-07-15T16:26:26","modified_gmt":"2023-07-15T16:26:26","slug":"deeuler-formel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/deeuler-formel\/","title":{"rendered":"Demonstration und anwendung der eulerschen formel"},"content":{"rendered":"

Die Eulersche Formel<\/strong> ist ein mathematisches Konzept, das zwei elementare Konzepte der Mathematik verbindet: komplexe Zahlen<\/a> und Trigonometrie. Dies macht es zu einer der wichtigsten Konzeptualisierungen und mit den meisten Anwendungen in der gesamten Mathematik. In diesem Artikel werden wir sehen, wie diese Formel aussieht und welche Verwendungsm\u00f6glichkeiten sie hat.<\/p>\n

Wie lautet Eulers Formel?<\/span><\/h2>\n

Die Euler-Formel ist eine grundlegende mathematische Gleichung, die auf der Euler-Zahl<\/a> basiert und komplexe Zahlen mit der Trigonometrie in Beziehung setzt. Es wurde im 18. Jahrhundert vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler<\/strong> entdeckt und seitdem in verschiedenen Bereichen eingesetzt, von der Physik bis zur Informatik.<\/p>\n

Eulers Formel wird als e ix<\/sup> = cos(x) + i sin(x)<\/strong> geschrieben, wobei e die Basis des nat\u00fcrlichen Logarithmus, i die imagin\u00e4re Einheit<\/a> (definiert als Quadratwurzel von -1) und x ein reeller Wert ist Nummer. Diese Gleichung gibt an, dass die komplexe Zahl e ix<\/sup> gleich der Summe der reellen Zahl cos(x) und dem Produkt der imagin\u00e4ren Zahl i mit der reellen Zahl sin(x) ist. <\/p>\n

\n
\"Eulers<\/figure>\n<\/div>\n

Die Bedeutung der Euler-Formel liegt darin, dass sie es erm\u00f6glicht, komplexe Zahlen durch reelle Zahlen und Trigonometrie auszudr\u00fccken, wodurch sie einfacher zu manipulieren und zu berechnen sind.<\/p>\n

Beweis der Eulerschen Formel<\/span><\/h2>\n

Der Beweis der Eulerschen Formel<\/strong> basiert auf der Verwendung der Taylor-Reihe f\u00fcr die Exponentialfunktion und der trigonometrischen Identit\u00e4t f\u00fcr Kosinus und Sinus.<\/p>\n

Zun\u00e4chst betrachten wir die Taylor-Reihe f\u00fcr die Exponentialfunktion: <\/p>\n

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\"Taylor-Reihe<\/figure>\n<\/div>\n

Als n\u00e4chstes ersetzen wir x durch ix in der obigen Gleichung, wobei i die imagin\u00e4re Einheit ist (Quadratwurzel von -1): <\/p>\n

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\"Taylorreihe<\/figure>\n<\/div>\n

Also wenden wir die Potenzen von i an und setzen sie in die vorherige Gleichung ein: <\/p>\n

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\"Wir<\/figure>\n<\/div>\n

Nun gruppieren wir die realen Terme und die Terme mit i: <\/p>\n

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\"Wir<\/figure>\n<\/div>\n

Tats\u00e4chlich ist jede der Klammern oben die Taylor-Reihe f\u00fcr Kosinus und Sinus: <\/p>\n

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\"Wir<\/figure>\n<\/div>\n

Schlie\u00dflich vereinfachen wir (indem wir jeden Ausdruck in Klammern durch Kosinus und Sinus von x ersetzen) und erhalten: <\/p>\n

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\"Eulers<\/figure>\n<\/div>\n

Beispiel f\u00fcr Eulers Formel<\/span><\/h2>\n

Nachdem Sie nun wissen, wie diese mathematische Formel funktioniert, empfehlen wir Ihnen, das folgende praktische Beispiel zu l\u00f6sen: Dr\u00fccken Sie die komplexe Zahl e 2i<\/sup> (im Bogenma\u00df)<\/strong> in Binomialform aus:<\/p>\n

Die Hauptanwendung der Euler-Formel besteht darin, eine in Exponentialform ausgedr\u00fcckte komplexe Zahl in Binomialform umzuwandeln. Wir verwenden daher die Formel<\/strong> : e ix<\/sup> = cos(x) + i sin(x)<\/p>\n

e 2i<\/sup> = cos(2) + i sin(2)<\/p>\n

e2i<\/sup> = -0,416 + 0,909i<\/p>\n

Und wir h\u00e4tten die Zahl bereits in Binomialform. Von dort aus k\u00f6nnen wir die grafische Darstellung in der komplexen Ebene<\/a> erstellen. Dazu muss man verstehen, dass eine komplexe Zahl in der komplexen Ebene<\/strong> dargestellt wird, wobei als Koordinaten der Realteil auf der Abszisse (x-Achse) und der Imagin\u00e4rteil auf der Ordinate (y-Achse) verwendet werden. <\/p>\n

\n
\"Beispiel<\/figure>\n<\/div>\n

Im vorherigen Bild ist die komplexe Zahl e 2i<\/sup> dargestellt, die -0,416 + 0,909i entspricht. Dies ist als blauer Punkt zu erkennen. Seine Lage im Flugzeug kann aus zwei Blickwinkeln<\/strong> gesehen werden.<\/p>\n

Das erste und offensichtlichste ist die Darstellung der Zahl in Binomialform<\/strong> : -0,416 (auf der Abszisse) und 0,909 (auf dem Computer). Und das zweite ist in Exponentialform<\/strong> : Der Modul von e 2i<\/sup> ist gleich 1, weil es die Zahl ist, die vor e steht (da es keine Zahl vor e gibt, m\u00fcssen wir uns vorstellen, dass es eine 1 gibt) und im Exponenten gibt es eine 2, daher entspricht das Argument oder der Winkel zwei Bogenma\u00dfen.<\/p>\n

Wenn Sie diesen letzten Absatz nicht ganz verstehen<\/strong> , empfehlen wir Ihnen, unseren Artikel \u00fcber komplexe Zahlen zu lesen. Nun, hier erkl\u00e4ren wir sehr ausf\u00fchrlich die verschiedenen Arten, eine komplexe Zahl und alle ihre Eigenschaften zu schreiben.<\/p>\n

Grafische Darstellung der Eulerschen Formel<\/span><\/h2>\n

Im vorherigen Beispiel konnten Sie sehen, wie die Eulersche Formel angewendet und in der komplexen Ebene grafisch dargestellt wird. Wenn wir jedoch etwas weiter gehen und versuchen, eine Funktion darzustellen, die der Eulerschen Formel entspricht, finden wir etwas sehr Merkw\u00fcrdiges: Sie erzeugt einen Kreis mit dem Radius 1<\/strong> : <\/p>\n

\n
\"Darstellung<\/figure>\n<\/div>\n

Der Radius des Kreises h\u00e4ngt jedoch direkt vom Wert des Moduls<\/strong> der komplexen Zahl ab. Wenn wir beispielsweise einen Kreis mit dem Radius 4 darstellen m\u00f6chten, lautet die Funktion 4e ix<\/sup> . Die Funktion 4e ix<\/sup> wird also wie folgt dargestellt: <\/p>\n

\n
\"Darstellung<\/figure>\n<\/div>\n

Zur\u00fcck zum Kreis mit Radius 1: Wenn wir uns entscheiden, e i\u03c0<\/sup> (im Bogenma\u00df) darzustellen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst Folgendes berechnen:<\/p>\n

e \u03c0i<\/sup> = cos(\u03c0) + i sin(\u03c0)<\/p>\n

e\u03c0i<\/sup> = -1 + i 0<\/p>\n

e\u03c0i<\/sup> = -1<\/p>\n

Wir erhalten e \u03c0i<\/sup> = -1, was die ber\u00fchmte Euler-Identit\u00e4t ist.<\/p>\n

Daraus schlie\u00dfen wir, dass die komplexe Zahl e \u03c0i<\/sup> nur einen Realteil hat, der gleich -1 ist. Daher w\u00e4re seine Darstellung so: <\/p>\n

\n
\"Grafische<\/figure>\n<\/div>\n

Anwendungen der Eulerschen Formel<\/span><\/h2>\n
    \n
  1. Komplexe Zahlen:<\/strong> Die Eulersche Formel ist eine Beziehung zwischen trigonometrischen Funktionen und komplexen Zahlen. Mit dieser Formel k\u00f6nnen wir komplexe Zahlen auf verschiedene Arten ausdr\u00fccken: binomial, exponentiell und polar.<\/li>\n
  2. Taylor-Reihe:<\/strong> Die Euler-Formel wird zur Erweiterung von Taylor-Reihenfunktionen verwendet.<\/li>\n
  3. Lineare Algebra:<\/strong> Die Eulersche Formel wird bei der Matrixdiagonalisierung verwendet, einer grundlegenden Technik der linearen Algebra.<\/li>\n
  4. Differential- und Integralrechnung:<\/strong> Die Eulersche Formel wird bei der L\u00f6sung von Differentialgleichungen verwendet, einer relevanten Technik in der Analysis.<\/li>\n<\/ol>\n

    Dar\u00fcber hinaus findet es Anwendung in vielen mathematischen Theorien und sogar in Konzepten au\u00dferhalb des mathematischen Bereichs, beispielsweise in physikalischen Theoremen.<\/p>\n

    Schlussfolgerungen<\/span><\/h2>\n

    Wie Sie in diesem Artikel gesehen haben, findet die Eulersche Formel ihre gr\u00f6\u00dfte Anwendung bei komplexen Zahlen<\/strong> : in ihrem numerischen Ausdruck und in ihrer Darstellung. Es stimmt, dass dies in der Algebra einige Anwendung findet, aber im Wesentlichen arbeiten Sie mit komplexen Zahlen. Deshalb ist es vor allem wichtig, sie gut zu verstehen.<\/p>\n

    Dennoch hoffen wir, dass wir Ihnen dabei geholfen haben, dieses Konzept besser zu verstehen. Und wenn Sie Fragen haben oder nicht wissen, wie man eine \u00dcbung durchf\u00fchrt, schreiben Sie uns gerne in die Kommentare.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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    Demonstration und anwendung der eulerschen formel<\/span> Weiterlesen »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[27,9],"tags":[],"class_list":["post-176","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-arithmetik","category-mathematische-erklarungen"],"yoast_head":"\nDemonstration und Anwendung der Eulerschen Formel \u2013 Mathority<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/deeuler-formel\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Demonstration und Anwendung der Eulerschen Formel \u2013 Mathority\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Die Eulersche Formel ist ein mathematisches Konzept, das zwei elementare Konzepte der Mathematik verbindet: komplexe Zahlen und Trigonometrie. 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