{"id":17,"date":"2023-09-17T11:10:24","date_gmt":"2023-09-17T11:10:24","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/zusammensetzung-der-funktionen-zusammengesetzte-funktion\/"},"modified":"2023-09-17T11:10:24","modified_gmt":"2023-09-17T11:10:24","slug":"zusammensetzung-der-funktionen-zusammengesetzte-funktion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/zusammensetzung-der-funktionen-zusammengesetzte-funktion\/","title":{"rendered":"Zusammensetzung von funktionen (zusammengesetzte funktion)"},"content":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was die zusammengesetzte Funktion (oder Zusammensetzung von Funktionen) ist. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere Beispiele f\u00fcr zusammengesetzte Funktionen sehen und erfahren, wie der Definitionsbereich dieser Art von Funktionen berechnet wird. Schlie\u00dflich finden Sie die Eigenschaften der Funktionskomposition und mehrere Schritt-f\u00fcr-Schritt-\u00dcbungen zum \u00dcben. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-composicion-de-funciones\"><\/span> Was ist Funktionskomposition?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> <strong>Bei der Funktionszusammensetzung wird <strong>nacheinander<\/strong> derselbe Wert der unabh\u00e4ngigen Variablen (x) in zwei oder mehr Funktionen ausgewertet.<\/strong> Das Zusammensetzen der Funktionen (gof)(x) ergibt beispielsweise die zusammengesetzte Funktion g[f(x)]. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/composition-des-fonctions.webp\" alt=\"Zusammensetzung der Funktionen\" class=\"wp-image-637\" width=\"319\" height=\"115\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Der Ausdruck der zusammengesetzten Funktion<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5e3eba5c152156d18705b3afd68f487e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g\\circ f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"36\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> wir lesen \u201ef zusammengesetzt mit g\u201c oder \u201ef gefolgt von g\u201c.<\/p>\n<p> Beachten Sie, dass die Reihenfolge bei der Funktionskomposition wichtig ist. Die Funktion rechts vom Kompositionssymbol wird zuerst angewendet<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-876a58c2d2bc4ab866c0af7a5cdbf4b2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(f)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"22\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> dann die Funktion links vom Kompositionssymbol <\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6c9247c09d7827160e8316d83ce2b2b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(g).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"26\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-composicion-de-funciones\"><\/span> Beispiel f\u00fcr eine Funktionskomposition<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Sehen wir uns anhand der Definition einer zusammengesetzten Funktion ein Beispiel an, wie die Zusammensetzung zweier Funktionen berechnet wird.<\/p>\n<ul>\n<li> Angesichts der folgenden zwei unterschiedlichen Funktionen:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9c8e90e6e8bb1e0837f424caaf5d1a0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=3x+1 \\qquad g(x)=\\cfrac{x+4}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"243\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Berechnen Sie die zusammengesetzte Funktion<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-624e8051bd11c44546f1270c91d069ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(g \\circ f\\right)(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> und bewerten Sie es in<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf60bc9fcf312a246a055c15ee98033c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=3.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"47\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Die Zusammensetzung der Funktionen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-624e8051bd11c44546f1270c91d069ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(g \\circ f\\right)(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Das bedeutet, dass wir die folgende zusammengesetzte Funktion ausf\u00fchren m\u00fcssen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb23add9f37be01b1ebf5923aef845ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(g \\circ f\\right)(x) = g\\Big(f(x)\\Big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"162\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um es zu l\u00f6sen, ersetzen wir<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7ee323bc5a3f73ad5e066b13bed5504_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> durch seinen algebraischen Ausdruck:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-179039983ee415873b7367ac255c1023_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g\\Big(f(x)\\Big)= g\\Big(3x+1\\Big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"166\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Und jetzt \u00fcbernehmen wir die Funktion von<em> <\/em><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d124ddf8086d5d941fcb1de7c075c0d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g(x)=\\cfrac{x+4}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"100\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<p>und wir setzen den Ausdruck<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e4b24384ffd361d326faea85da151496_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"3x+1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"14\" width=\"49\" style=\"vertical-align: -2px;\"><\/p>\n<p> wo es eins gibt<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-845f2902b8bebf60c3c7372a7fbe4d02_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"19\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9407b8a097013423f71626368a65940b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g\\Big(3x+1\\Big)=\\cfrac{(3x+1)+4}{2}=\\cfrac{3x+5}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"40\" width=\"275\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Auf diese Weise haben wir bereits die aus <em>g<\/em> zusammengesetzte Funktion <em>f<\/em> berechnet:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b46e81ab3496bd4daad7560eabda1caa_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(g \\circ f\\right)(x)=\\cfrac{3x+5}{2}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"152\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Schlie\u00dflich bewerten wir die zusammengesetzte Funktion in<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3573bf1ea4c223bb71878796b2106731_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x=3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"43\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> Berechnen Sie einfach das Bild der Funktion in diesem Wert: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b1a5472ce52fe01b6809224912a25539_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(g \\circ f\\right)(3)=\\cfrac{3\\cdot 3+5}{2}=\\cfrac{14}{2}=7\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"237\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"dominio-de-la-funcion-compuesta\"><\/span> Zusammengesetzte Funktionsdom\u00e4ne<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Wenn wir Operationen an Funktionen ausf\u00fchren, ist der Definitionsbereich der resultierenden Funktion normalerweise der Schnittpunkt der Definitionsbereiche der urspr\u00fcnglichen Funktionen. Diese Eigenschaft wird jedoch durch die Funktionszusammensetzung nicht erf\u00fcllt.<\/p>\n<p> Der <strong>Bereich der Funktionszusammensetzung<\/strong><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1e321d1fe5674142070eefd17519b77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(g\\circ f)(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> ist \u00e4quivalent zur Menge aller Werte von x im Definitionsbereich der Funktion<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9c09a708375fde2676da319bcdfe8b24_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"10\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<p> wie zum Beispiel<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7ee323bc5a3f73ad5e066b13bed5504_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> geh\u00f6rt zum Funktionsbereich<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dce98a79808d5694e9c7a9f4545e45f2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"13\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf27df12b66bbfdc7516fe47410cbf5c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\text{Dom}(g\\circ f)=\\{x\\in\\text{Dom}(f)\\ | \\ f(x)\\in \\text{Dom}(g)\\}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"354\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um den Definitionsbereich einer zusammengesetzten Funktion zu berechnen, m\u00fcssen Sie daher zun\u00e4chst den Definitionsbereich jeder Funktion einzeln und dann den Definitionsbereich der aus der Operation resultierenden Funktion ermitteln. Somit besteht der Zusammensetzungsbereich der Funktionen aus allen Werten, die die vorherige mathematische Bedingung erf\u00fcllen.<\/p>\n<p> \ud83d\udc49 Denken Sie daran: Wenn Sie auf ein Problem sto\u00dfen, von dem Sie nicht wissen, wie Sie es l\u00f6sen k\u00f6nnen, k\u00f6nnen Sie uns in den Kommentaren unten fragen! <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-composicion-de-funciones\"><\/span> Eigenschaften der Funktionszusammensetzung<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Zusammengesetzte Funktionen haben die folgenden Eigenschaften:<\/p>\n<ul>\n<li> Die Zusammensetzung von Funktionen hat die assoziative Eigenschaft, daher ist die folgende Gleichung immer wahr:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdfe1df3ab8d42f8d2af7f0d33628dba_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\\circ (g\\circ h)=(f\\circ g)\\circ h\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"178\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Im Allgemeinen ist die Funktionszusammensetzung nicht kommutativ, daher bestimmt die Reihenfolge der Operation das Ergebnis:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a641ded39b05f710e2cbc89f7c309275_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\\circ g\\neq g\\circ f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"17\" width=\"96\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Das neutrale Element der Funktionszusammensetzung entspricht der Identit\u00e4tsfunktion\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-da6458e64d1478ad56231146ce88db89_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x.\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Somit ergibt jede mit der Identit\u00e4tsfunktion zusammengesetzte Funktion die Funktion selbst:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-161782350ae4c16617cbe0795e0fa35a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f\\circ id = id \\circ f = f\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"16\" width=\"143\" style=\"vertical-align: -4px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d5ce8a7d2dbca796654cb483808271e4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"id = x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"49\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Berechnung der Umkehrung der Zusammensetzung zweier Funktionen entspricht der Ermittlung der Umkehrung jeder Funktion und der anschlie\u00dfenden Bestimmung der zusammengesetzten Funktion:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e5f9cc891e8322cf737caf8fa76a92f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(f\\circ g)^{-1}=f^{-1}\\circ g^{-1}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"163\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Umkehrfunktion fungiert auch als symmetrisches Element der zusammengesetzten Funktion, da die Zusammensetzung einer Funktion mit ihrer Umkehrung der Identit\u00e4tsfunktion entspricht:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b801f112fdb719fad2b8c605ad831f0f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(f\\circ f^{-1})^{-1}=(f^{-1}\\circ f)=id=x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"254\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Die Ableitung der Zusammensetzung zweier Funktionen wird nach der Kettenregel berechnet:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-edf8bcb549ad025afce59e50c1cfbb94_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bigl(g\\circ f\\bigr)'(x)=g'\\Bigl(f(x)\\Bigr)\\cdot f'(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"223\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Siehe:<\/strong> <span style=\"text-decoration: underline;\"><a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/abgeleitete-regelkette\/\">Was ist die Kettenregel?<\/a><\/span> <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejercicios-resueltos-de-la-composicion-de-funciones\"><\/span> Gel\u00f6ste \u00dcbungen zur Zusammensetzung von Funktionen<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> Angesichts der folgenden zwei Funktionen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d22ce1010c1d1f2baa34bd5b96e4ca8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x-2 \\qquad g(x)= 5x + 4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"241\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Berechnen Sie die Zusammensetzungen der mit <em>g<\/em> zusammengesetzten Funktionen <em>f<\/em> und mit <em>f<\/em> zusammengesetzten <em>g<\/em> . <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1e321d1fe5674142070eefd17519b77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(g\\circ f)(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8e664a72ceacc815125057558ab04c6a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(f\\circ g)(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die Zusammensetzung der Funktionen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-624e8051bd11c44546f1270c91d069ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(g \\circ f\\right)(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> bedeutet, die folgende zusammengesetzte Funktion zu berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb23add9f37be01b1ebf5923aef845ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(g \\circ f\\right)(x) = g\\Big(f(x)\\Big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"162\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um das Problem zu l\u00f6sen, ersetzen wir<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7ee323bc5a3f73ad5e066b13bed5504_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"34\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> f\u00fcr seinen Ausdruck:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc434b7ab7aea14a249be3943671119b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x-2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-13cb5a87becd27ff70f8fb5fb3b13239_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g\\Big(f(x)\\Big)= g\\Big(x-2\\Big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"157\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> UND<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf53f7369c2b0dfc1c60397d3dab8cd5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g\\Big(x-2\\Big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"68\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<p> Dies bedeutet, dass im Ausdruck von<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a63a5d2293c895c25f8684ae82cefbf8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g(x) =5x+4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Sie m\u00fcssen die Variable ersetzen<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> F\u00fcr<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4f860e374f2a5f611e892f304ee0cc2a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x-2:\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"12\" width=\"50\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-575d7c9f8dde8d78c1dd910ba1557ee2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g\\Big(x-2\\Big) = 5(x-2) +4= 5x-10+4 = 5x-6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"374\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Noch:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df045f4ebc5cdfdcbd99a12307235058_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{\\left(g \\circ f\\right)(x) = 5x-6}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"149\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um andererseits die aus <em>f<\/em> zusammengesetzte Funktion <em>g<\/em> zu finden, m\u00fcssen Sie dasselbe Verfahren durchf\u00fchren, jedoch in umgekehrter Reihenfolge:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2e9be8f1bab4b7607441c7c1b7e3ad0c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\left(f \\circ g\\right)(x)&amp;= f\\Big(g(x)\\Big)\\\\[2ex]&amp;=f\\Big(5x+4\\Big)\\\\[2ex]&amp;=(5x+4)-2\\\\[2ex]&amp;=\\bm{5x+2}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"167\" width=\"193\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Diese \u00dcbung demonstriert auch die Eigenschaft, dass zusammengesetzte Funktionen nicht kommutativ sind, da das Ergebnis von der Reihenfolge abh\u00e4ngt, in der die Funktionen angewendet werden.<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 2<\/h3>\n<p> Angesichts der folgenden zwei Funktionen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3e7ff3894ffbafb8d56296b5b3d0a080_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x) =x^2-3 \\qquad g(x)=\\frac{2x+3}{x+4}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"251\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Berechnet die Zusammensetzung von Funktionen <em>f,<\/em> die mit <em>g<\/em> zusammengesetzt sind. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a1e321d1fe5674142070eefd17519b77_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(g\\circ f)(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"72\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Die aus <em>g<\/em> zusammengesetzte Funktion <em>f<\/em> bedeutet, die folgende zusammengesetzte Funktion zu l\u00f6sen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cb23add9f37be01b1ebf5923aef845ff_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(g \\circ f\\right)(x) = g\\Big(f(x)\\Big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"162\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir ersetzen daher die Funktion f(x) durch ihren Ausdruck:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-28b41bd35ba991a996cf3a890aaeadf8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g\\Big(f(x)\\Big)= g\\Big(x^2-3 \\Big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"165\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und jetzt m\u00fcssen wir ersetzen<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> F\u00fcr<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce3abcbe3e7405ea80705e3c169ae20d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x^2-3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"15\" width=\"48\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> im Ausdruck der Funktion g(x):<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bf0bb412f9088845027b57d83a91073d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}g\\Big(x^2-3\\Big)&amp;=\\cfrac{2(x^2-3)+3}{(x^2-3)+4}\\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{2x^2-6+3}{x^2+1}\\\\[2ex]&amp;=\\cfrac{2x^2-3}{x^2+1}\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"175\" width=\"206\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Kurz gesagt ist das Ergebnis der Funktionskomposition: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6d625dc7f6b8e7af0988037119d473f6_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{\\left(g \\circ f\\right)(x) =} \\cfrac{\\bm{2x^2-3}}{\\bm{x^2+1}}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"155\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 3<\/h3>\n<p> Gegeben sind die folgenden zwei quadratischen Funktionen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a594c87e42327318112e78714904aa81_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x) =x^2 \\qquad g(x)=g(x)= x^2-4x+8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"21\" width=\"314\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Bestimmen Sie das Ergebnis der folgenden Funktionszusammensetzung: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b7186993d7a14fceff2669b6d3f10585_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(g\\circ f)(2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-706bfe49f02e183102e665a522eb803c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(g \\circ f\\right)(2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> besteht darin, die folgende zusammengesetzte Funktion zu finden:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-217743a7af2baefbc83e1c377f3f804f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(g \\circ f\\right)(2) = g\\Big(f(2)\\Big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"160\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die zusammengesetzte Funktion zu l\u00f6sen, berechnen wir zun\u00e4chst <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7bd87dc0308123b84fbe51bb86e0b009_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(2) :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3421a45cc1c0ad35b18520e81ddc031_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x)=x^2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-671b30c79ed994c1923982d4a09d2eae_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(2)=2^2=4\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"106\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Daher als <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-69585295dd3a781afd9ebde9750865bc_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(2)=4 :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"75\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f64414212eaa56a80be0b0ac9bd1be23_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(g \\circ f\\right)(2) = g\\Big(f(2)\\Big) = g\\big(4\\big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"218\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um den Wert der zusammengesetzten Funktion zu finden, m\u00fcssen Sie also nur berechnen <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e05e67fe2bbccdbd12d182052a93df62_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g(4) :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9fc21e0e44e696ed36cd6e9a535cff09_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\left(g \\circ f\\right)(2)&amp;=g\\Big(f(2)\\Big)\\\\[2ex]&amp;= g\\big(4\\big)\\\\[2ex]&amp;=4^2-4\\cdot 4+8 \\\\[2ex]&amp;= 16 - 16 + 8\\\\[2ex]&amp;= 8\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"198\" width=\"198\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Zusammenfassend ist das Ergebnis des Funktionskompositionsproblems: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8d3e091b61117ac43ec8d17d4aa1d5b0_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{\\left(g \\circ f\\right)(2) =8}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"107\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 4<\/h3>\n<p> Angesichts der folgenden zwei Funktionen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0dabd181964a078fe5348b19efc168d5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle f(x)=\\frac{2x-2}{-x+7}\\qquad g(x)= x^2-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"38\" width=\"256\" style=\"vertical-align: -14px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Finden Sie das Ergebnis von <em>g<\/em> zusammengesetzt mit <em>f<\/em> bei x=2: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-47390afb10cf5e3de6b0ff87edeff73b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(f\\circ g)(2)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"71\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> In diesem Fall m\u00fcssen wir die folgende zusammengesetzte Funktion berechnen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e6de0edda1d8a4151fc88faa013a012e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(f \\circ g\\right)(2) = f\\Big(g(2)\\Big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"160\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Also zuerst finden wir <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-809314c764c52d861c5b9671f5139d5a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g(2) :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c4f1e7070d6f986eac4f1483f9a30198_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g(x)=x^2-1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"104\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-94e98ec0f41ba6635ee79cf96968e7ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g(2)=2^2-1=4-1 = 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"198\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und so, so <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-82da28e3a6fb3ea74c8e8ef8d022b202_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g(2)=3 :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"73\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bfe82e73b68c3b618cb0795bb6530af7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(f \\circ g\\right)(2) = f\\Big(g(2)\\Big) = f\\big(3\\big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"219\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Um die zusammengesetzte Funktion zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir also berechnen <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6d1361868e53506ddeca640a71aa321_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(3) :\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"42\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" 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style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">\u00dcbung 5<\/h3>\n<p> Angesichts der folgenden drei Funktionen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cde9a25a0c078e5e4491aef0682310d2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"f(x) = x+1 \\qquad g(x)= 3x - 5\\qquad h(x) = \\sqrt{x} - 3\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"389\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Berechnen Sie die folgende Zusammensetzung der 3 Funktionen: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ff91e1d3fdea1de8b629e4c17cee6fb_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"(h \\circ g \\circ f )(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"99\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF\" role=\"button\" tabindex=\"0\" aria-expanded=\"false\" data-otfm-spc=\"#E6F9EF\" style=\"text-align:center\">\n<div class=\"otfm-sp__title\"> <strong>Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Der Ausdruck<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cf14fee9bc19b3aaefabcac820afb69b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(h \\circ g \\circ f\\right)(x)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"102\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> Das bedeutet, dass wir die folgende zusammengesetzte Funktion berechnen m\u00fcssen:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b6525a7b5ac0a86cc710225df5ebdf7b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\left(h \\circ g \\circ f\\right)(x) = h \\bigg( g\\Big(f(x)\\Big) \\bigg)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"225\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Also bestimmen wir zun\u00e4chst <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0efee4b8fc162ee4ee30c15f1dac01c5_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g\\Big( f(x)\\Big):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"74\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0ab9465f2aebf9fb7c81298eab5b8ca_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}g\\Big( f(x)\\Big)&amp;=g\\Big(x+1 \\Big)\\\\[2ex]&amp;= 3(x+1)-5\\\\[2ex]&amp;= 3x+3-5\\\\[2ex]&amp;= 3x-2\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"154\" width=\"181\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Und jetzt rechnen wir<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0512ac0197a64c0dce8e3a14b97efd1c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h \\bigg( g\\Big(f(x)\\Big) \\bigg)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"43\" width=\"98\" style=\"vertical-align: -17px;\"><\/p>\n<p> . Dazu ersetzen wir den gefundenen Ausdruck durch<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fde695528fc22ce481c7750cd392927_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"g\\Big(f(x)\\Big)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"32\" width=\"62\" style=\"vertical-align: -11px;\"><\/p>\n<p> wo a erscheint<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ede05c264bba0eda080918aaa09c4658_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"x\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"8\" width=\"10\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<p> in der Funktion<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-240be4d8f4d59436eb46fefb7d2f7633_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"h(x):\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"43\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89fbb7189eaf2dd3c622466c7313806d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}h \\bigg( g\\Big(f(x)\\Big) \\bigg)&amp;= h \\bigg(3x-2\\bigg)\\\\[2ex]&amp;= \\sqrt{3x-2} - 3\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"83\" width=\"220\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-left\"> Wir k\u00f6nnen die zusammengesetzte Funktion nicht weiter vereinfachen. Die Zusammensetzung der drei Funktionen ergibt also eine irrationale Funktion: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d3d99aa6d620db9304fa7121387dfd95_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\bm{\\left(h \\circ g \\circ f\\right)(x) =\\sqrt{3x-2} - 3 }\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"20\" width=\"222\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div class=\"wp-block-otfm-box-spoiler-end otfm-sp_end\"><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In diesem Artikel erkl\u00e4ren wir, was die zusammengesetzte Funktion (oder Zusammensetzung von Funktionen) ist. Dar\u00fcber hinaus k\u00f6nnen Sie mehrere Beispiele f\u00fcr zusammengesetzte Funktionen sehen und erfahren, wie der Definitionsbereich dieser Art von Funktionen berechnet wird. 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