{"id":163,"date":"2023-07-15T22:44:08","date_gmt":"2023-07-15T22:44:08","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/quaternionen\/"},"modified":"2023-07-15T22:44:08","modified_gmt":"2023-07-15T22:44:08","slug":"quaternionen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/quaternionen\/","title":{"rendered":"Was sind quaternionen?"},"content":{"rendered":"

Etymologisch kommen Quaternionen oder Quaternionen<\/strong> vom lateinischen quaterni<\/em> . Im Spanischen bedeutet das Wort \u201eum vier\u201c. Seine Interpretation bedeutet jedoch \u201eAnzahl der vier Elemente\u201c.<\/p>\n

Quaternionen sind Elemente eines nichtpermutanten Feldes, das urspr\u00fcnglich von William Rowan Hamilton geschaffen wurde. Quaternionen werden als Erweiterung der reellen Zahlen definiert, aus denen eine hyperkomplexe Zahl besteht. Tats\u00e4chlich sind sie den komplexen Zahlen<\/a> ziemlich \u00e4hnlich.<\/p>\n

Das hei\u00dft, Quaternionen entstehen aufgrund einer analog verursachten Verst\u00e4rkung. Andererseits werden komplexe Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen um die Summe der imagin\u00e4ren Einheit i<\/em> erzeugt, sodass i<\/em> im Quadrat gleich -1 ist. Im ersten Fall werden zu den reellen Zahlen die imagin\u00e4ren Einheiten<\/strong> k<\/em> , i<\/em> und j<\/em> addiert.<\/p>\n

Daher gilt in Bezug auf Quaternionen: i<\/em> 2<\/sup> = j<\/em> 2<\/sup> = k<\/em> 2<\/sup> = ijk<\/em> = -1. Diese Darstellung entspricht derjenigen in Cayleys Tabelle<\/strong> . An dieser Stelle ist es erw\u00e4hnenswert, dass i<\/em> , j<\/em> , k<\/em> und 1 die vier Grundpfeiler von Quaternionen sind. <\/p>\n

\n\n\n\n\n\n\n\n
\u00d7<\/td>\n 1<\/td>\n Yo<\/em><\/td>\n J<\/em><\/td>\n Was<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
1<\/td>\n 1<\/td>\n Yo<\/em><\/td>\n J<\/em><\/td>\n Was<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
Yo<\/em><\/td>\n Yo<\/em><\/td>\n -1<\/td>\n Was<\/em><\/td>\n -J<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
J<\/em><\/td>\n J<\/em><\/td>\n -k<\/em><\/td>\n -1<\/td>\n Yo<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
Was<\/em><\/td>\n Was<\/em><\/td>\n J<\/em><\/td>\n -Yo<\/em><\/td>\n -1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>
Cayleys Tisch<\/figcaption><\/figure>\n

William Hamilton erfand 1843 die Quaternionen als eine Methode, die es ihm erm\u00f6glichte, Vektoren zu multiplizieren und zu dividieren, sie zu drehen und zu strecken.<\/p>\n

Wie werden Quaternionen hergestellt?<\/span><\/h2>\n

Quaternionen bilden eine wundersch\u00f6ne Algebra, in der jedes ihrer Objekte 4 Variablen enth\u00e4lt<\/strong> . Tats\u00e4chlich werden sie manchmal als Euler-Parameter bezeichnet, die nicht mit Euler-Winkeln verwechselt werden sollten. Diese Objekte k\u00f6nnen auf \u00e4hnliche Weise wie die Algebra regul\u00e4rer Zahlen als eine Einheit addiert und multipliziert werden.<\/p>\n

Es gibt jedoch einen Unterschied. Mathematisch gesehen ist die Quaternion-Multiplikation nicht kommutativ.<\/p>\n

Quaternionen haben 4 Dimensionen. Jede Quaternion besteht aus 4 Skalarzahlen<\/strong> , einer realen Dimension und 3 imagin\u00e4ren Dimensionen. Jede dieser imagin\u00e4ren Dimensionen hat einen Einheitswert der Quadratwurzel von -1. Dies sind jedoch verschiedene Quadratwurzeln von -1, die alle senkrecht zueinander stehen und i<\/em> , j<\/em> und k<\/em> genannt werden. Somit kann eine Quaternion wie folgt dargestellt werden:<\/p>\n

x = (a, b, c, d) was geschrieben wird x = a + bi + cj + dk<\/p>\n

Dementsprechend stellen a, b, c und d reelle Zahlen dar, die durch jede Quaternion eindeutig definiert sind. Dagegen sind die Zahlen 1, i<\/em> , j<\/em> und k<\/em> grundlegend. Wenn wir Quaternionen mithilfe einer Menge darstellen<\/strong> m\u00f6chten, k\u00f6nnen wir Folgendes tun: Unter der Annahme, dass IR 4<\/sup> die Menge darstellt, lautet der Ausdruck: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d \u2208 IR}<\/p>\n

Diese Menge stimmt mit dem realen vierdimensionalen Raum \u00fcberein. So wie eine Menge reeller Zahlen dem eindimensionalen Raum entspricht und die Menge komplexer Zahlen dem zweidimensionalen Raum entspricht.<\/p>\n

Wie ist die algebraische Struktur von Quaternionen?<\/span><\/h2>\n

Ein Quaternion veranschaulicht einen unregelm\u00e4\u00dfigen K\u00f6rper<\/strong> . Dies bedeutet, dass es sich um eine algebraische Struktur \u00e4hnlich einem Feld handelt. Allerdings ist es bei der Multiplikation nicht kommutativ. Mit anderen Worten: Er erf\u00fcllt alle Eigenschaften eines K\u00f6rpers, sein Ergebnis ist jedoch nicht kommutativ.<\/p>\n

Die Quaternion-Multiplikation ist assoziativ. Dar\u00fcber hinaus hat jede Quaternion ungleich Null eine eindeutige Umkehrung<\/strong> . Quaternionen stellen im Vergleich zu komplexen Zahlen keine assoziative Algebra dar.<\/p>\n

Schlie\u00dflich erzeugen Quaternionen auf die gleiche Weise, wie komplexe Zahlen und reelle Zahlen die euklidischen Vektordimensionen von Einheits- oder Doppelr\u00e4umen darstellen, eine vierdimensionale euklidische Vektorfl\u00e4che.<\/p>\n

Wie werden Quaternionen in Matrizen dargestellt?<\/span><\/h2>\n

Charakteristisch f\u00fcr Quaternionen sind auch Matrixdarstellungen<\/strong> . In diesem Fall werden f\u00fcr seinen Ausdruck mathematische Matrizen verwendet. Wenn wir beispielsweise die Quaternion p = a + bi + cj + dk haben, ist es m\u00f6glich, sie wie folgt in einer komplexen 2 x 2-Matrix darzustellen:<\/p>\n

Eine andere M\u00f6glichkeit, Matrixdarstellungen in Quaternionen zu verwenden, ist die Verwendung echter 4 x 4-Matrizen<\/strong> . Dar\u00fcber hinaus ist es durch die Verwendung von Matrizen zur Darstellung von Quaternionen m\u00f6glich, diese als inneres Produkt zweier Vektoren auszudr\u00fccken. Somit w\u00e4re eine Komponente: = (a1, a2, a3, a4) und die andere {1, i, j, k<\/em> }.<\/p>\n

In diesem Fall wird das Element a 1<\/sub> , das die Realkomponente erzeugt, separat geschrieben. Dar\u00fcber hinaus werden f\u00fcr das Skalarprodukt nur die drei Basen<\/strong> i, j, k<\/em> ber\u00fccksichtigt:<\/p>\n

x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)<\/p>\n

Welche grundlegenden Operationen k\u00f6nnen mit Quaternionen durchgef\u00fchrt werden?<\/span><\/h2>\n

Um ein Produkt zwischen einer Quaternion und einer anderen zu addieren und zu erhalten, wird komplexe Zahlenarithmetik angewendet. Dies funktioniert genauso wie beim vorherigen IR 4<\/sup> -Set<\/strong> . Das hei\u00dft, dass dieser Satz plus die \u00fcbrigen Operationen alle Eigenschaften eines K\u00f6rpers kompensiert. Die einzige Relevanz besteht in diesem Fall darin, dass das Produkt nicht pendelt.<\/p>\n

Im Falle einer Addition erfolgt sie semesterweise. Auf jeden Fall funktioniert es genauso wie komplexe Zahlen. Das hei\u00dft:<\/p>\n

(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.<\/p>\n

Beim Produkt erfolgt die Anwendung von Bauteil zu Bauteil<\/strong> . Demnach sieht es so aus:<\/p>\n

ab = (a1b1 \u2013 a2b2 \u2013 a3b3 \u2013 a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 \u2013 a4b3)i + (a1b3 \u2013 a2b4 + a3b1 \u2013 a4b2)j + (a1b4 + a2b3 \u2013 a3b2 + a4b3)k<\/p>\n

Wie wir bereits zuvor betont haben, ist das Produkt von Quaternionen niemals kommutativ. Im Gegenteil, es ist immer assoziativ<\/strong> . Die zuvor ausgearbeiteten Operationen k\u00f6nnen durch Ersetzen der Darstellungen durchgef\u00fchrt werden.<\/p>\n

Welche Anwendungen gibt es f\u00fcr Quaternionen?<\/span><\/h2>\n

Eine Quaternion geht weit \u00fcber eine mathematische Untersuchung hinaus. Derzeit gibt es verschiedene Anwendungen. Erstens werden sie verwendet, um Antworten in der Zahlentheorie<\/strong> zu \u00fcberpr\u00fcfen. Ein Beispiel hierf\u00fcr ist der Satz von Lagrange, der besagt, dass jede nat\u00fcrliche Zahl als Summe von 4 perfekten Quadraten ausgedr\u00fcckt wird.<\/p>\n

Andererseits gibt es Anwendungen im Bereich der Physik. Quaternionen sind sehr n\u00fctzlich f\u00fcr die Quantenmechanik, den Elektromagnetismus und vieles mehr.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Etymologisch kommen Quaternionen oder Quaternionen vom lateinischen quaterni . Im Spanischen bedeutet das Wort \u201eum vier\u201c. Seine Interpretation bedeutet jedoch \u201eAnzahl der vier Elemente\u201c. Quaternionen sind Elemente eines nichtpermutanten Feldes, das urspr\u00fcnglich von William Rowan Hamilton geschaffen wurde. Quaternionen werden als Erweiterung der reellen Zahlen definiert, aus denen eine hyperkomplexe Zahl besteht. Tats\u00e4chlich sind sie …<\/p>\n

Was sind quaternionen?<\/span> Weiterlesen »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"","footnotes":""},"categories":[9],"tags":[],"class_list":["post-163","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mathematische-erklarungen"],"yoast_head":"\nWas sind Quaternionen? -Mathorit\u00e4t<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/quaternionen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Was sind Quaternionen? -Mathorit\u00e4t\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Etymologisch kommen Quaternionen oder Quaternionen vom lateinischen quaterni . 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