Manchmal werden wir gebeten, Elementarfunktionen grafisch darzustellen, die anderen, die wir bereits kennen, sehr \u00e4hnlich sind. Anstatt die \u00e4hnliche Funktion erneut darzustellen, k\u00f6nnen Techniken verwendet werden, um einfach und schnell von der Darstellung einer Funktion zu einer anderen zu wechseln.<\/p>\n
Funktionstransformationen<\/strong> sind also Techniken, die es erm\u00f6glichen, durch elementare Operationen von der grafischen Darstellung einer Funktion zur grafischen Darstellung einer anderen, sehr \u00e4hnlichen Funktion zu gelangen.<\/p>\n Grunds\u00e4tzlich gibt es drei Arten von Transformationen elementarer Funktionen:<\/p>\n Sobald wir das Konzept der Transformation einer Funktion kennengelernt haben, werden wir uns eingehender mit den einzelnen Modifikationsarten befassen. <\/p>\n Wir beginnen mit Funktionsverschiebungen. Es gibt zwei Arten: vertikale \u00dcbersetzungen und horizontale \u00dcbersetzungen.<\/p>\n Um eine Funktion vertikal (entlang der Y-Achse) zu verschieben oder zu verschieben, m\u00fcssen Sie der Funktion eine Konstante hinzuf\u00fcgen oder subtrahieren: <\/p>\n Wir verschieben eine Funktion um k Einheiten nach oben<\/strong> , indem wir ka zur Funktion hinzuf\u00fcgen:<\/p>\n<\/p>\n Wir verschieben eine Funktion um k Einheiten nach unten<\/strong> , indem wir ka von der Funktion subtrahieren: <\/p>\n<\/p>\n Wie Sie der Grafik entnehmen k\u00f6nnen, verschiebt das Hinzuf\u00fcgen einer Konstante zu einer Funktion die addierten Einheiten nach oben (gr\u00fcne Funktion). Wenn man hingegen eine Zahl von einer Funktion subtrahiert, werden die subtrahierten Einheiten nach unten verschoben (rote Funktion).<\/p>\n Beachten Sie, dass bei dieser Art von Bewegungen nur die Y-Koordinaten der Funktionspunkte ge\u00e4ndert werden, w\u00e4hrend die X-Koordinaten gleich bleiben.<\/p>\n Um eine Funktion horizontal (entlang der X-Achse) zu verschieben oder zu verschieben, m\u00fcssen Sie eine Konstante zur unabh\u00e4ngigen Variablen x<\/em> addieren oder subtrahieren: <\/p>\n Die Grafik von<\/p>\n<\/p>\n ist der Graph von<\/p>\n k Einheiten nach links verschoben.<\/strong><\/p>\n Die Grafik von<\/p>\n<\/p>\n ist der Graph von<\/p>\n k Einheiten nach rechts verschoben.<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n Wie Sie der Grafik entnehmen k\u00f6nnen, verschiebt die Funktion beim direkten Hinzuf\u00fcgen einer Konstante zur Variablen x<\/em> die hinzugef\u00fcgten Einheiten nach links (rote Funktion). Wenn andererseits eine Zahl von der Variablen x<\/em> subtrahiert wird, verschiebt die Funktion die subtrahierten Einheiten nach rechts (gr\u00fcne Funktion).<\/p>\n Beachten Sie, dass bei dieser Art von Bewegungen nur die X-Koordinaten der Funktionspunkte ge\u00e4ndert werden, w\u00e4hrend die Y-Koordinaten weiterhin den gleichen Wert haben.<\/p>\n Um die Funktion um 4 Einheiten nach oben zu verschieben, m\u00fcssen wir der Funktion 4 Einheiten hinzuf\u00fcgen:<\/p>\n<\/p>\n Und um die Funktion auch um 3 Einheiten nach rechts zu verschieben, m\u00fcssen wir rechnen<\/p>\n<\/p>\n . Daher, wo es eine gibt<\/p>\n wir k\u00f6nnen<\/p>\n Die um 4 Einheiten nach oben und 3 Einheiten nach rechts verschobene Funktion lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n Unten sehen Sie die urspr\u00fcngliche Funktion und die transformierte Funktion grafisch dargestellt, damit Sie den Unterschied zwischen ihnen sehen k\u00f6nnen: <\/p>\n Manche Mathematiker sprechen von Schr\u00e4gverschiebung oder Translation, wenn beide Bewegungsarten gleichzeitig auftreten. <\/p>\n Wir k\u00f6nnen die symmetrische Funktion in Bezug auf jede kartesische Achse folgenderma\u00dfen darstellen: <\/p>\n Um eine Funktion in Bezug auf die x-Achse darzustellen,<\/strong> m\u00fcssen wir das Vorzeichen der Funktion \u00e4ndern, das hei\u00dft, wir m\u00fcssen berechnen<\/p>\n<\/p>\n Um eine Funktion in Bezug auf die y-Achse darzustellen,<\/strong> m\u00fcssen wir die unabh\u00e4ngige Variable x<\/em> negieren, das hei\u00dft, wir m\u00fcssen berechnen <\/p>\n<\/p>\n Wie Sie in der vorherigen Grafik sehen k\u00f6nnen, invertieren wir eine Funktion durch Multiplizieren mit -1 grafisch (orangefarbene Funktion), oder mit anderen Worten, wir spiegeln sie relativ zur X-Achse. <\/p>\n Wie im vorherigen Diagramm zu sehen ist, spiegeln wir durch Negation der Variablen x<\/em> die Funktion in Bezug auf die Y-Achse (hellgr\u00fcne Funktion).<\/p>\n Um die Funktion symmetrisch in Bezug auf die X-Achse zu finden, m\u00fcssen wir Folgendes tun<\/p>\n<\/p>\n :<\/p>\n<\/p>\n Und um die Funktion symmetrisch in Bezug auf die Y-Achse zu finden, m\u00fcssen wir Folgendes tun<\/p>\n<\/p>\n . Deshalb ersetzen wir dort, wo es eins gibt<\/p>\n in der urspr\u00fcnglichen Funktion durch den Begriff <\/p>\n Nachfolgend haben Sie sowohl die urspr\u00fcngliche Funktion als auch die gefundenen symmetrischen Funktionen dargestellt: <\/p>\n Wie bei \u00dcbersetzungen gibt es zwei Arten von Erweiterungen oder Kontraktionen: vertikale und horizontale.<\/p>\n Indem wir eine ganzzahlige Funktion mit einem Koeffizienten multiplizieren, k\u00f6nnen wir sie erweitern oder verkleinern: <\/p>\n Um eine Funktion auf der Y-Achse zu erweitern (oder zu erweitern),<\/strong> m\u00fcssen wir sie mit einer Zahl gr\u00f6\u00dfer als 1 multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n Um eine Funktion auf der Y-Achse zu reduzieren,<\/strong> m\u00fcssen wir sie mit einer positiven Zahl kleiner als 1 multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n Comme vous pouvez le voir dans le graphique pr\u00e9c\u00e9dent, si on multiplie une fonction par un coefficient sup\u00e9rieur \u00e0 1 (fonction verte) on la rend plus grande le long de l’axe OY, en revanche, si on multiplie une fonction par un coefficient sup\u00e9rieur \u00e0 0 mais plus petit que 1 (fonction rouge), nous le rendons plus petit le long de l’axe OY.<\/p>\n Dans ce cas, au lieu de multiplier la fonction enti\u00e8re par un coefficient, pour qu’une fonction se dilate ou se contracte horizontalement, nous devons multiplier la variable ind\u00e9pendante x<\/em> . <\/p>\n f(kx)\\qquad 0<\/p>\n Um eine Funktion auf der X-Achse zu reduzieren,<\/strong> m\u00fcssen wir alle x<\/em> mit einer Zahl gr\u00f6\u00dfer als 1 multiplizieren: <\/p>\n<\/p>\n Wie Sie in der vorherigen Grafik sehen k\u00f6nnen, vergr\u00f6\u00dfern wir sie entlang der OX-Achse, wenn wir alle x<\/em> einer Funktion mit einem Koeffizienten gr\u00f6\u00dfer als 0, aber kleiner als 1 multiplizieren (gr\u00fcne Funktion). Wenn wir hingegen multiplizieren, vergr\u00f6\u00dfern wir sie entlang der OX-Achse Wenn wir eine Funktion um einen Koeffizienten gr\u00f6\u00dfer als 1 (rote Funktion) reduzieren, reduzieren wir sie entlang der OX-Achse.<\/p>\n Um die Funktion auf der y-Achse um zwei zu erweitern, m\u00fcssen wir die gesamte Funktion mit 2 multiplizieren:<\/p>\n<\/p>\n Und um die Funktion auch auf der x-Achse um zwei zu erweitern, m\u00fcssen wir alle x<\/em> der Funktion mit multiplizieren<\/p>\n<\/p>\n Die auf den beiden Koordinatenachsen duplizierte Funktion lautet daher:<\/p>\n<\/p>\n Unten sehen Sie die urspr\u00fcngliche Funktion und die transformierte Funktion grafisch dargestellt, damit Sie die Unterschiede zwischen ihnen sehen k\u00f6nnen: <\/p>\n Wie Sie sehen k\u00f6nnen, ist das neue Feature (lila Farbe) sowohl vertikal als auch horizontal doppelt so gro\u00df wie das urspr\u00fcngliche Feature (blaue Farbe), daher wurde das Feature erweitert. <\/p>\n Verschieben Sie die folgende Funktion dritten Grades um 5 Einheiten nach oben: <\/p>\n<\/p>\n Um die Funktion um 5 Einheiten nach oben zu verschieben, addieren Sie 5 zur Funktion:<\/p>\n<\/p>\n Die um 5 Einheiten verschobene Funktion lautet also: <\/p>\n<\/p>\n Finden Sie die symmetrische Funktion um die Y-Achse der folgenden quadratischen Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Um die Funktion symmetrisch zur Y-Achse zu finden, ist eine Berechnung erforderlich<\/p>\n<\/p>\n , das hei\u00dft, wir m\u00fcssen ersetzen<\/p>\n F\u00fcr<\/p>\n in der Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Die symmetrische Funktion bez\u00fcglich der OY-Achse ist daher: <\/p>\n<\/p>\n F\u00fchren Sie eine horizontale Komprimierung der folgenden Funktion auf ein Drittel ihrer Darstellung durch: <\/p>\n<\/p>\n Um eine<\/em> Funktion<\/em> durch die zu reduzieren <\/p>\n<\/p>\n Die reduzierte Funktion lautet daher: <\/p>\n<\/p>\n Berechnen Sie die symmetrische Funktion in Bezug auf die OX-Achse der folgenden um 4 Einheiten nach rechts verschobenen Funktion: <\/p>\n<\/p>\n Bevor wir die symmetrische Funktion berechnen, m\u00fcssen wir die Funktion zun\u00e4chst um 4 Einheiten nach rechts verschieben, also: <\/p>\n<\/p>\n Und sobald wir die Funktion verschoben haben, berechnen wir die symmetrische Funktion bez\u00fcglich der X-Achse. Dazu m\u00fcssen wir die erhaltene Funktion negieren: <\/p>\n<\/p>\n Kurz gesagt lautet die Funktion nach Anwendung aller Elementaroperationen: <\/p>\n<\/p>\n Verschieben Sie die folgende Funktion um 2 Einheiten nach links und erweitern Sie sie dann vertikal um den Faktor 4: <\/p>\n<\/p>\n Zuerst verschieben wir die Funktion um zwei Einheiten nach links: <\/p>\n<\/p>\n Und dann erweitern wir die Funktion entlang der Y-Achse mit dem Faktor 4: <\/p>\n<\/p>\n Zusammenfassend lautet die Funktion nach Anwendung aller elementaren Transformationen: <\/p>\n<\/p>\n Von der Funktion<\/p>\n<\/p>\n Bestimmen Sie, welche der Darstellungen im Diagramm der Funktion entspricht <\/p>\n Funktion<\/p>\n<\/p>\n ist die Funktion<\/p>\n 3 Einheiten nach unten verschoben. Denn indem Sie eine Zahl von einer Funktion subtrahieren, verschieben Sie die Funktion nach unten.<\/p>\n Daher ist die Darstellung von<\/p>\n<\/p>\n entspricht der Linie b)<\/strong> , da sie im Vergleich zu um 3 Einheiten nach unten verschoben ist<\/p>\n Dies l\u00e4sst sich anhand der vertikalen Achse erkennen: wann<\/p>\n<\/p>\n durch 0 geht, geht die rote Linie durch -3, also wird sie um 3 Einheiten nach unten verschoben.<\/p>\n\n
<\/span> \u00dcbersetzungen oder Bewegungen von Funktionen<\/span><\/h2>\n
Translation oder vertikale Bewegung einer Funktion<\/h3>\n
![\"\\bm{f(x)+k}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d148ee17ffaab58b502ee771b74a931a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{f(x)-k}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-76021d6fef316019d46a849b31cb7ff5_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n![\"Translation](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/translation-ou-deplacement-vertical-d-une-fonction.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Translation oder horizontale Bewegung von Funktionen<\/h3>\n
![\"\\bm{f(x+k)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-682fb180cfa4be390cf2d7735ddeb017_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"f(x)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a7ee323bc5a3f73ad5e066b13bed5504_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\bm{f(x-k)}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7433764880a8f4ab8e11e3f162743b49_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Translation](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/translation-ou-deplacement-horizontal-d-une-fonction.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Beispiel f\u00fcr das \u00dcbersetzen oder Verschieben einer Funktion<\/h3>\n
\n
![\"f(x)=x^2\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-c3421a45cc1c0ad35b18520e81ddc031_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-42f15821de4342f9ad62ca1f3d430a5d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x-3)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f7b64f7ef5acc0208ecdcbf36a93b216_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x-3)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-33a30fbf704532ac9887adb3449914a8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{f(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7d2f913b24aecd43b30aca4a2ed58e0d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Beispiel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-translation-ou-deplacement-d-une-fonction.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Spiegelung oder Symmetrie einer Funktion bez\u00fcglich der Koordinatenachsen<\/span><\/h2>\n
![\"\\bm{-f(x)}.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-8122cbaf79d8273fae34a9c722301ef7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{f(-x)}.\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4367428d9a78be3de312b14e5205e6e0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n![\"Spiegelung](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/division-de-monomes-1.png\")
<\/figure>\n<\/div>\n![\"Spiegelung](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/reflexion-ou-symetrie-autour-de-laxe-y.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Beispiel f\u00fcr die Spiegelung einer Funktion<\/h3>\n
\n
![\"f(x)=x^2-4x+6\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-11c8e8e3276a66729e9719a4398fac1c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"-f(x)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d240a12433577722a9f830dc1dcf0429_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"-f(x)=-\\bigl[x^2-4x+6\\bigr]\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ec1ca457c73589ee30ad6641f0d66c10_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{-f(x)=-x^2+4x-6}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6cffd86481d9546a5ce3132cebe8c0d7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(-x)\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3831e7dbe8df4202b0780cbbb20432a6_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"-x](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9371f1e5d1cef68566c73bc482dfa55c_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"f(-x)=(-x)^2-4\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6481e91f5c0f1de72c88438cb4aefbce_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(-x)=x^2-4\\cdot](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04737d1dbc867b60d68e9c8f38387dc8_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{f(-x)=x^2+4x+6}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9bb0ac917663f86bcba5cacc5d3f482_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Beispiel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-fonctions-symetriques-avec-les-axes-x-et-y.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> Funktionserweiterungen und -kontraktionen<\/span><\/h2>\n
Vertikale Erweiterung und Kontraktion einer Funktion<\/h3>\n
![\"kf(x)\\qquad](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-03a53c8010e3a92a216e3db2ceec41fc_l3.png\")
1″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“19″ width=“121″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n<\/p>\n![\"kf(x)\\qquad](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-189e80beb9f93693ae854541fe86e22b_l3.png\")
\n!["expansion]("http:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/expansion-et-contraction-d-une-fonction.webp")
<\/figure>\n<\/div>\n Expansion et contraction horizontales d’une fonction<\/h3>\n
![\"f(kx)\\qquad](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-172c2c9b2f320ce017a42e21495fc0e5_l3.png\")
1″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“19″ width=“121″ style=“vertical-align: -5px;“><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n![\"horizontale](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/contraction-horizontale-ou-expansion-d-une-fonction.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n Beispiel f\u00fcr das Erweitern oder Reduzieren einer Funktion<\/h3>\n
\n
![\"f(x)=\\sqrt{9-x^2}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-df182b1121b5047a370b9a0217f223b1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"2f(x)=2\\sqrt{9-x^2}\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1f10c9a73b34546e1fb103b07d188c16_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-cc880ad231c4b13f10b0a4b05da2aed9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7955c308d702a9df6603dde57400f31d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle\\bm{f(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-891161dec71142b1dc7c87250a039b6e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"Beispiel](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exemple-de-comment-developper-et-reduire-une-fonction.webp\")
<\/figure>\n<\/div>\n<\/span> \u00dcbungen zu Funktionstransformationen gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
![\"f(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-40118044e198dd521201b4934a2465d9_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\begin{aligned}](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d29d1537293d975f7fbda8871622660f_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{f(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d7c13d80c2d91f99f6a960223c4b904_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 2<\/h3>\n
![\"f(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b91b7f45206484f6878a73f6891805a2_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"-x\"](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6cacb15a7aa187378723791e7a017ae0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"f(-x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-89980b1b6f9a88ffbf9ad6330aa357e1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(-x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-488db09618c47a0ad47b0d2e5d9a219d_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{f(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-1ea68e782a0f7a69044cf73162fa23c0_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 3<\/h3>\n
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<\/p>\n<\/p>\n![\"f(3x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-32f949a88dd584d81674904f2acc7bbe_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(3x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bdb33583bf5172f677c39cee38e5b22a_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(3x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ad5277a59fdcd9e0200b2a0e20f2a8ba_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\bm{f(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-bd28fc9dab2beff532a89bd1e056c649_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 4<\/h3>\n
![\"f(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-fb19b7a548b34b8dc54dec33a00d890e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x-4)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-ce682e35d129267d2d363e05fd32a40e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x-4)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5f9fc4ca8d47f94f0168180fc84c65c7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"f(x-4)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-26f080aa9528ce8b84e4f3d86cea6863_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"\\displaystyle](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-62a7ea0e19503ec030dcdaa59c9157eb_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"-f(x)](\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-45bad0a6a17349b172cede9f5e0bddd8_l3.png\" "\\"Rendered")
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<\/p>\n<\/p>\n\u00dcbung 5<\/h3>\n
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