{"id":118,"date":"2023-07-16T22:47:33","date_gmt":"2023-07-16T22:47:33","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/quadratische-gleichungen\/"},"modified":"2023-07-16T22:47:33","modified_gmt":"2023-07-16T22:47:33","slug":"quadratische-gleichungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/quadratische-gleichungen\/","title":{"rendered":"Wie l\u00f6st man quadratische gleichungen?"},"content":{"rendered":"<p>Eine <strong>quadratische Gleichung oder quadratische Gleichung<\/strong> ist eine Gleichung vom Grad 2, bei der der gr\u00f6\u00dfte Exponent eines ihrer Terme gleich 2 ist. Das bedeutet, dass die Gleichung bis zu zwei verschiedene L\u00f6sungen haben kann, obwohl sie auch eine eindeutige L\u00f6sung haben kann oder \u00fcberhaupt keine.<\/p>\n<p> Um die L\u00f6sungen oder Wurzeln quadratischer Gleichungen zu berechnen, k\u00f6nnen wir zwei verschiedene Verfahren anwenden: mithilfe der <strong>quadratischen Formel<\/strong> oder <strong>durch Faktorisieren des Ausdrucks<\/strong> . In diesem Artikel sprechen wir \u00fcber beide Methoden und geben Ihnen einige praktische \u00dcbungen. Allerdings werden wir vorher einige Konzepte kl\u00e4ren, damit die gesamte Erkl\u00e4rung sehr gut verstanden wird und Sie das Beste aus der Lekt\u00fcre herausholen.<\/p>\n<h2 id=\"tipos-de-ecuaciones-de-segundo-grado\" class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Tipos_de_ecuaciones_de_segundo_grado\">Arten quadratischer Gleichungen<\/span><\/h2>\n<p> Die Hauptkategorisierung zwischen quadratischen Gleichungen basiert auf der Struktur des Ausdrucks selbst. Daher ist die Standard- oder \u00fcbliche Struktur dieser Ausdr\u00fccke wie folgt: <strong>ax\u00b2 + bx + c<\/strong> . Diese \u00fcbliche Form entspricht einer vollst\u00e4ndigen Gleichung, aber wenn es Null- oder Nullterme gibt, kann die Struktur variieren, was zu unvollst\u00e4ndigen Gleichungen f\u00fchrt. Als n\u00e4chstes erkl\u00e4ren wir die Eigenschaften aller Typen genauer.<\/p>\n<h3 id=\"ecuaciones-de-segundo-grado-completas\" class=\"wp-block-heading\"> Vollst\u00e4ndige quadratische Gleichungen<\/h3>\n<p> Wie wir bereits sagten, haben wir die <strong>vollst\u00e4ndigen quadratischen Gleichungen<\/strong> , diese haben alle Koeffizienten a, b und c ungleich Null. Der Ausdruck folgt also buchstabengetreu der Struktur ax\u00b2 + bx + c, da er alle Terme enth\u00e4lt: den quadratischen Term, den linearen Term und den unabh\u00e4ngigen Term. Ein Beispiel dieser Art ist die folgende Gleichung: x\u00b2 + 2x + 1 = 0.<\/p>\n<h3 id=\"ecuaciones-de-segundo-grado-incompletas\" class=\"wp-block-heading\"> Unvollst\u00e4ndige quadratische Gleichungen<\/h3>\n<p> Unvollst\u00e4ndige Gleichungen k\u00f6nnen wir danach unterscheiden, welcher Koeffizient gleich Null ist. Denken Sie daran: Wenn diese Erkl\u00e4rung Ihre Zweifel nicht ausr\u00e4umt, finden Sie unten ein Bild, in dem Sie alle F\u00e4lle Schritt f\u00fcr Schritt finden.<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Unvollst\u00e4ndige Gleichungen (b = 0):<\/strong> In dieser ersten Situation finden wir einen Ausdruck, der der folgenden Struktur folgt: ax\u00b2 + c = 0. Damit erhalten wir zwei Ergebnisse: das Negative und das Positive der Wurzel des Bruchs c\/a .<\/li>\n<li> <strong>Unvollst\u00e4ndige Gleichungen (c = 0):<\/strong> Wenn wir die Form ax\u00b2 + bx = 0 haben, m\u00fcssen wir die Gleichung faktorisieren, um den Ausdruck x (ax + b) = 0 zu erhalten. Wir werden daher zwei L\u00f6sungen haben: x = 0 und x = &#8211; b\/a.<\/li>\n<li> <strong>Unvollst\u00e4ndige Gleichungen (b = c = 0):<\/strong> In diesem Fall haben wir eine Gleichung ax\u00b2 = 0 und wir haben nur eine m\u00f6gliche L\u00f6sung, n\u00e4mlich x = 0. <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-6482 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formules-equations-incompletes.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"Formeln unvollst\u00e4ndige Gleichungen\" width=\"603\" height=\"312\" data-src=\"\" data-srcset=\"https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/Formulas-ecuaciones-incompletas.png 603w, https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/Formulas-ecuaciones-incompletas-500x259.png 500w\"><figcaption> Vors\u00e4tze erkl\u00e4rt<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n<p> Es ist erw\u00e4hnenswert, dass Sie mit den Verfahren, die wir Ihnen beigebracht haben, unvollst\u00e4ndige Gleichungen schneller l\u00f6sen k\u00f6nnen. In allen F\u00e4llen k\u00f6nnen Sie jedoch die <strong>quadratische Formel<\/strong> verwenden, die wir Ihnen weiter unten beibringen. Sie m\u00fcssen lediglich eine Null in die Koeffizienten schreiben, die nicht existieren.<\/p>\n<h2 id=\"formula-para-ecuaciones-de-segundo-grado\" class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Formula_para_ecuaciones_de_segundo_grado\">Formel f\u00fcr quadratische Gleichungen<\/span><\/h2>\n<p> Um quadratische Gleichungen (ax\u00b2 + bx + c = 0) zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir die allgemeine Formel oder die quadratische Formel anwenden und dann <strong>die numerischen Werte ersetzen<\/strong> , die jedem Buchstaben im mathematischen Ausdruck entsprechen. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3185 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/formule-dequation-quadratique.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"Formel zum L\u00f6sen quadratischer Gleichungen\" width=\"445\" height=\"190\" data-src=\"\"><figcaption> quadratische Formel<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n<p> Au\u00dferdem ist es wichtig zu erkl\u00e4ren, dass die <strong>Diskriminante (\u0394)<\/strong> der Ausdruck b\u00b2 \u2013 4ac ist, der unter der Quadratwurzel liegt. Anhand dieses mathematischen Konzepts k\u00f6nnen wir erkennen, wie viele L\u00f6sungen diese quadratische Gleichung hat. Grunds\u00e4tzlich gibt es drei M\u00f6glichkeiten: Die Diskriminante ist negativ (es gibt keine reellen L\u00f6sungen), die Diskriminante ist Null (es gibt nur eine L\u00f6sung) oder die Diskriminante ist positiv (es gibt zwei L\u00f6sungen).<\/p>\n<h3 id=\"ejemplo-de-una-ecuacion-cuadratica-completa-resuelta\" class=\"wp-block-heading\"> Beispiel einer vollst\u00e4ndig gel\u00f6sten quadratischen Gleichung<\/h3>\n<p> Versuchen Sie, die folgende quadratische Gleichung zu l\u00f6sen: <strong>2x\u00b2+4x-6=0<\/strong> und \u00fcberpr\u00fcfen Sie Ihr Ergebnis mit dem folgenden. Wir empfehlen Ihnen, wie folgt vorzugehen: Analysieren Sie den Gleichungstyp (Identifizieren Sie die Nullterme), berechnen Sie die Diskriminante, um die Anzahl der vorhandenen L\u00f6sungen zu ermitteln, und l\u00f6sen Sie schlie\u00dflich die vorgeschlagene Gleichung mit der Formel. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-3604 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/resolution-dequation-quadratique.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"Quadratische Gleichung l\u00f6sen\" width=\"562\" height=\"403\" data-src=\"\" data-srcset=\"https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/Resolucion-de-ecuacion-de-segundo-grado.png 562w, https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2021\/04\/Resolucion-de-ecuacion-de-segundo-grado-500x359.png 500w\"><figcaption> L\u00f6sen einer quadratischen Gleichung <\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n<h2 id=\"factorizar-ecuaciones-de-segundo-grado\" class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Factorizar_ecuaciones_de_segundo_grado\">Faktorielle quadratische Gleichungen<\/span><\/h2>\n<p> Die zweite Methode zur L\u00f6sung quadratischer Gleichungen ist <strong>die Faktorisierung<\/strong> . Um <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/fakultatspolynome\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ein Polynom (in unserem Fall ein quadratisches Polynom) zu faktorisieren<\/a> , k\u00f6nnen wir verschiedene Methoden verwenden. Allerdings lassen sich Gleichungen dieses Stils im Allgemeinen durch einen gemeinsamen Term faktorisieren. Und wenn nicht, k\u00f6nnen Sie versuchen, <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Notable Identities<\/a> anzuwenden, aber normalerweise m\u00fcssen Sie in solchen Situationen keine anderen Methoden kennen. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-6484 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equations-quadratiques-factorielles.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"Faktorielle quadratische Gleichungen\" width=\"294\" height=\"293\" data-src=\"\"><figcaption> gewichtete quadratische Gleichung <\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n<h2 id=\"ejercicios-de-ecuaciones-de-segundo-grado-con-soluciones\" class=\"wp-block-heading\"> <span id=\"Ejercicios_de_ecuaciones_de_segundo_grado_con_soluciones\">\u00dcbungen zu quadratischen Gleichungen mit L\u00f6sungen<\/span><\/h2>\n<p> Nachfolgend finden Sie eine Reihe von \u00dcbungen zu <strong>vollst\u00e4ndigen und unvollst\u00e4ndigen quadratischen Gleichungen<\/strong> . Auf diese Weise k\u00f6nnen Sie die gesamte in diesem Artikel erl\u00e4uterte Theorie noch einmal durchgehen und es wird Ihnen klarer, wie Sie sie in den \u00dcbungen anwenden k\u00f6nnen. Wir empfehlen, dass Sie versuchen, sie selbst zu l\u00f6sen, und sich die L\u00f6sung erst dann ansehen, wenn Sie sie abgeschlossen haben oder nicht weiterkommen. Das hei\u00dft, Sie k\u00f6nnen jetzt mit dem L\u00f6sen der \u00dcbungen beginnen.<\/p>\n<h3 id=\"ejercicio-1\" class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 1<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie die folgende quadratische Gleichung: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-27\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-6487 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-quadratique-resolue.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"Quadratische Gleichung gel\u00f6st\" width=\"326\" height=\"411\" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<ol>\n<li> Wir beginnen mit der Berechnung der Diskriminante, um die Anzahl der m\u00f6glichen L\u00f6sungen zu ermitteln.<\/li>\n<li> Da es sich um eine vollst\u00e4ndige quadratische Gleichung handelt, wenden wir die quadratische Formel an und l\u00f6sen die Berechnungen.<\/li>\n<li> Wir erhalten den Wert des unbekannten x.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<h3 id=\"ejercicio-2\" class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 2<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie die folgende quadratische Gleichung: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-30\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-6488 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-quadratique-incomplete.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"Unvollst\u00e4ndige quadratische Gleichung\" width=\"341\" height=\"368\" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<ol>\n<li> Wir beginnen mit der Berechnung der Diskriminante.<\/li>\n<li> Da wir eine unvollst\u00e4ndige quadratische Gleichung haben, in der b = 0 ist, wenden wir f\u00fcr Gleichungen dieser Art den Standard an.<\/li>\n<li> Wir l\u00f6sen die Rechnung, um das Ergebnis zu erhalten, und d\u00fcrfen das \u00b1-Zeichen nicht vergessen.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<h3 id=\"ejercicio-3\" class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 3<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie die folgende ungeordnete quadratische Gleichung: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-33\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-6493 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-quadratique-non-ordonnee.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"Ungeordnete quadratische Gleichung\" width=\"344\" height=\"522\" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<ol>\n<li> Wir beginnen mit der Berechnung der Diskriminante der Gleichung.<\/li>\n<li> Bevor wir die Formel anwenden k\u00f6nnen, m\u00fcssen wir die Gleichung gem\u00e4\u00df der Struktur ax\u00b2 + bx + c = 0 ordnen.<\/li>\n<li> Dann wenden wir die allgemeine Formel an.<\/li>\n<li> Und schlie\u00dflich erhalten wir die Ergebnisse.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<h3 id=\"ejercicio-4\" class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 4<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie die folgende quadratische Gleichung durch Faktorisieren: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-36\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-6495 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-incomplete.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"unvollst\u00e4ndige Gleichung\" width=\"324\" height=\"467\" data-src=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<ol>\n<li> Wir berechnen zun\u00e4chst die Diskriminante.<\/li>\n<li> Als n\u00e4chstes extrahieren wir den gemeinsamen Faktor von x.<\/li>\n<li> Die erste L\u00f6sung ist also x = 0.<\/li>\n<li> Und das zweite ist x = 3\/2.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<h3 id=\"ejercicio-5\" class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 5<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie die vollst\u00e4ndige quadratische Gleichung, die wir unten zeigen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-39\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-6496 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-quadratique-facile.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"Einfache quadratische Gleichung\" width=\"335\" height=\"505\" data-src=\"\" data-srcset=\"https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/Ecuacion-de-segundo-grado-facil.png 335w, https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/Ecuacion-de-segundo-grado-facil-332x500.png 332w\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<ol>\n<li> Wie immer berechnen wir die Diskriminante, um herauszufinden, wie viele L\u00f6sungen die betreffende Gleichung hat.<\/li>\n<li> Als n\u00e4chstes wenden wir die quadratische Formel an, da es sich um eine vollst\u00e4ndige Gleichung handelt.<\/li>\n<li> Abschlie\u00dfend dr\u00fccken wir das Ergebnis der Gleichung aus.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<h3 id=\"ejercicio-6\" class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 6<\/h3>\n<p> L\u00f6sen Sie die von uns angebotene quadratische Gleichung mit Br\u00fcchen: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-42\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-6497 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-quadratique-avec-fractions.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"Quadratische Gleichung mit Br\u00fcchen\" width=\"380\" height=\"609\" data-src=\"\" 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size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-6498 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/equation-quadratique-difficile.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"Schwierigkeit quadratische Gleichung\" width=\"473\" height=\"675\" data-src=\"\" data-srcset=\"https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/Ecuacion-de-segundo-grado-dificil.png 473w, https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/Ecuacion-de-segundo-grado-dificil-350x500.png 350w\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<ol>\n<li> Wir beginnen mit der Berechnung der Diskriminante.<\/li>\n<li> Bevor wir die Formel anwenden, m\u00fcssen wir den Ausdruck vereinfachen und ihm die Form ax\u00b2 + b + c = 0 geben.<\/li>\n<li> Wir ersetzen alle Koeffizienten in der Formel und l\u00f6sen die Berechnung.<\/li>\n<li> Endlich erhalten wir das Ergebnis.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<h3 id=\"ejercicio-8\" class=\"wp-block-heading\"> \u00dcbung 8<\/h3>\n<p> Beweis f\u00fcr die L\u00f6sung der folgenden quadratischen Gleichung: <\/p>\n<div class=\"wp-block-columns is-layout-flex wp-container-48\">\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"wp-image-6499 lazyload\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/exercices-dequations-quadratiques.webp\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\" alt=\"\u00dcbungen zur quadratischen Gleichung\" width=\"490\" height=\"522\" data-src=\"\" data-srcset=\"https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/Ejercicios-de-ecuaciones-de-segundo-grado.png 490w, https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/Ejercicios-de-ecuaciones-de-segundo-grado-469x500.png 469w\"><\/figure>\n<\/div>\n<div class=\"wp-block-column is-layout-flow\">\n<ol>\n<li> Wir beginnen mit der Berechnung der Diskriminante.<\/li>\n<li> Wie Sie sehen, handelt es sich um eine einfache quadratische Gleichung, obwohl sie recht gro\u00dfe Koeffizienten hat. Daher m\u00fcssen wir die Formel anwenden und bei der Durchf\u00fchrung der Operationen vorsichtig sein.<\/li>\n<li> Am Ende erhalten wir beide m\u00f6glichen L\u00f6sungen.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Eine quadratische Gleichung oder quadratische Gleichung ist eine Gleichung vom Grad 2, bei der der gr\u00f6\u00dfte Exponent eines ihrer Terme gleich 2 ist. Das bedeutet, dass die Gleichung bis zu zwei verschiedene L\u00f6sungen haben kann, obwohl sie auch eine eindeutige L\u00f6sung haben kann oder \u00fcberhaupt keine. 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