Auf dieser Seite wird erkl\u00e4rt, was eine Absolutwertfunktion ist. Au\u00dferdem erfahren Sie, wie Sie eine st\u00fcckweise Absolutwertfunktion definieren und diese Art von Funktionen in einem Diagramm darstellen. Dar\u00fcber hinaus sehen Sie es anhand von Beispielen f\u00fcr Absolutwertfunktionen und k\u00f6nnen mit \u00dcbungen und Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6sten Problemen \u00fcben. <\/p>\n
<\/span> Was sind absolutwertige Funktionen?<\/span><\/h2>\n
Die Definition einer Absolutwertfunktion lautet wie folgt: <\/p>\n
\n
Der Absolutwert einer Funktion wandelt alle ihre Bilder in positive Bilder um. Daher kann der Pfad einer absoluten Funktion niemals negative Werte haben.<\/p>\n<\/div>\n
Die folgende Funktion ist ein Beispiel f\u00fcr eine Absolutwertfunktion:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wenn wir bei der Auswertung der Funktion an einem Punkt ein positives Ergebnis erhalten, bleibt es positiv:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Ist das Ergebnis hingegen negativ, wird es positiv:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Absolutwertfunktionen werden normalerweise in der Oberstufe gegeben, da sie aufgrund ihrer Eigenschaften etwas schwer zu verstehen sind. <\/p>\n
<\/span> So definieren Sie st\u00fcckweise eine Funktion mit einem absoluten Wert <\/span><\/h2>\n
\n
Eine absolutwertige Funktion kann als st\u00fcckweise Funktion ausgedr\u00fcckt werden. Dazu m\u00fcssen Sie das Vorzeichen der Funktion in den Intervallen \u00e4ndern, was negativ ist.<\/p>\n<\/div>\n
Sehen wir uns ein Beispiel an, wie man von einer Absolutwertfunktion zu einer st\u00fcckweisen Funktion \u00fcbergeht:<\/p>\n
\n
Dr\u00fccken Sie die folgende Funktion mit einem Absolutwert als st\u00fcckweise Funktion aus:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Als erstes m\u00fcssen wir bestimmen, wann die Funktion negativ ist. Dazu setzen wir den algebraischen Ausdruck im Absolutwert gleich 0 und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir stellen nun die erhaltenen Werte auf der Linie dar: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Und wir schauen uns an, welches Vorzeichen in jedem Intervall der Zeile die Funktion ohne den Absolutwert hat: <\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir nehmen zum Beispiel jeden Punkt kleiner als -2 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Negativ<\/strong><\/p>\n<\/div>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir nehmen zum Beispiel jeden Punkt zwischen -2 und +2 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Positiv<\/strong><\/p>\n<\/div>\n
\n
2″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“14″ width=“42″ style=“vertical-align: -2px;“><\/p>\n<\/p>\n
Wir nehmen zum Beispiel jeden Punkt, der gr\u00f6\u00dfer als 2 ist <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Negativ<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Wie wir gesehen haben, w\u00e4re die Funktion ohne den Absolutwert auf den Intervallen negativ<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
Und<\/p>\n
2.“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“14″ width=“47″ style=“vertical-align: -2px;“><\/p>\n
Daher m\u00fcssen wir die Funktion in Strichen ausdr\u00fccken, indem wir ihr Vorzeichen in diesen Intervallen \u00e4ndern:<\/p>\n<\/p>\n
2 \\end{array} \\right.“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“97″ width=“372″ style=“vertical-align: 0px;“><\/p>\n<\/p>\n
2 \\end{array} \\right.“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“97″ width=“358″ style=“vertical-align: 0px;“><\/p>\n<\/p>\n
Beachten Sie, dass Sie in einigen Intervallen Gleichheit ber\u00fccksichtigen m\u00fcssen. Hier setzen wir es zum Beispiel in das zweite Intervall<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
. Sie k\u00f6nnen es aber in jedem beliebigen Intervall platzieren, solange in allen kritischen Punkten Gleichstand herrscht. Mit anderen Worten, es w\u00e4re dasselbe, wenn wir die Funktion wie folgt definiert h\u00e4tten: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/span> So stellen Sie eine Funktion mit einem absoluten Wert dar <\/span><\/h2>\n
\n
Um eine Funktion mit einem Absolutwert in einem Diagramm darzustellen, m\u00fcssen wir die unten beschriebenen Schritte ausf\u00fchren:<\/p>\n
\n
Stellen Sie die Funktion so dar, als ob sie keinen absoluten Wert h\u00e4tte.<\/span><\/li>\n
Zeichnen Sie in den Intervallen, in denen die Funktion negativ ist, also unterhalb der X-Achse liegt, die symmetrische Funktion.<\/span><\/li>\n
L\u00f6schen Sie den Teil der Funktion, der unterhalb der X-Achse liegt.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
Sehen wir uns ein Beispiel an, wie eine Funktion mit einem absoluten Wert grafisch dargestellt wird<\/p>\n
\n
Stellen Sie die folgende Funktion als Absolutwert grafisch dar:<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Um eine Funktion mit absolutem Wert darzustellen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die Funktion ohne den absoluten Wert darstellen. Wir erstellen daher die Tabelle der Funktionswerte ohne den Absolutwert:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
\n
\n
\n
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
Wir zeichnen die Punkte grafisch auf und zeichnen die Linie, als w\u00e4re sie eine normale Funktion: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Wir m\u00fcssen nun die symmetrische Funktion dort zeichnen, wo die Funktion negativ ist, also unterhalb der x-Achse liegt. Daher kehren wir die Funktion ausgehend von x=2 um: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Und schlie\u00dflich eliminieren wir die Spur der Funktion, die unterhalb der X-Achse liegt: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Und damit haben wir die Funktion bereits mit einem Absolutwert dargestellt. Wie Sie gesehen haben, \u00e4ndert sich lediglich, dass wir den Teil der Funktion umkehren m\u00fcssen, der unterhalb der OX-Achse liegt. Daher liegt der Graph jeder Funktion mit einem Absolutwert immer auf der Seite der positiven Halb-Y-Achse.<\/p>\n
Andererseits k\u00f6nnen wir zur \u00dcberpr\u00fcfung der Konzepte aus dem Diagramm ableiten, dass der Bereich der vorherigen Absolutwertfunktion ausschlie\u00dflich aus reellen Zahlen besteht. Andererseits besteht der Bereich oder Bereich der besagten Funktion mit einem Absolutwert nur aus positiven Zahlen und Nullen. <\/p>\n
<\/span> Aufgaben zu Absolutwertfunktionen gel\u00f6st<\/span><\/h2>\n
\u00dcbung 1<\/h3>\n
Dr\u00fccken Sie die folgende Funktion mit einem Absolutwert als st\u00fcckweise Funktion aus: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Zun\u00e4chst m\u00fcssen wir uns ansehen, wann die Funktion negativ ist. Dazu setzen wir den Absolutwert gleich Null und l\u00f6sen die Gleichung: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir stellen den in der Zeile gefundenen Wert dar: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Nun werten wir einen Punkt in jedem Intervall der Funktion ohne den Absolutwert aus, um herauszufinden, welches Vorzeichen die Funktion in jedem Abschnitt der Geraden tats\u00e4chlich hat: <\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
Zum Beispiel nehmen wir jeden Punkt, der kleiner als 3 ist <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Positiv<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n
\n
3″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“14″ width=“43″ style=“vertical-align: -2px;“><\/p>\n<\/p>\n
Zum Beispiel nehmen wir jeden Punkt, der gr\u00f6\u00dfer als 3 ist <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Negativ<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Die Funktion ohne den Absolutwert w\u00e4re im Intervall x>3 negativ. Wir m\u00fcssen die Funktion daher in Strichen ausdr\u00fccken, indem wir ihr Vorzeichen in diesem Intervall \u00e4ndern: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 2<\/h3>\n
Finden Sie den st\u00fcckweisen Ausdruck der folgenden Funktion mit einem absoluten Wert: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Als erstes m\u00fcssen wir bestimmen, wann die Funktion negativ ist. Dazu m\u00fcssen wir das Absolutwertargument gleich Null setzen und die Gleichung l\u00f6sen: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir stellen nun die Wurzeln der rechts erhaltenen Funktion dar: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Und wir schauen uns an, welches Vorzeichen in jedem Intervall der Zeile die Funktion ohne den Absolutwert hat: <\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
Zum Beispiel nehmen wir jeden Punkt unter -5 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Positiv<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
Wir nehmen zum Beispiel jeden Punkt zwischen -5 und +5 <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Negativ<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n
\n
5″ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“15″ width=“42″ style=“vertical-align: -2px;“><\/p>\n<\/p>\n
Zum Beispiel nehmen wir jeden Punkt, der gr\u00f6\u00dfer als 5 ist <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Positiv<\/strong> <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Daher w\u00e4re die Funktion ohne den Absolutwert nur im Intervall -5<x<5 negativ. Daher m\u00fcssen wir die Funktion in Teilen ausdr\u00fccken, indem wir nur das Vorzeichen dieses Intervalls \u00e4ndern: <\/p>\n<\/p>\n
5 \\end{array} \\right.“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“97″ width=“408″ style=“vertical-align: 0px;“><\/p>\n<\/p>\n
5 \\end{array} \\right.“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“97″ width=“394″ style=“vertical-align: 0px;“><\/p>\n<\/p>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 3<\/h3>\n
Stellen Sie die folgende Funktion als Absolutwert grafisch dar: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Um eine Funktion mit einem absoluten Wert darzustellen, m\u00fcssen Sie zun\u00e4chst die Funktion ohne den absoluten Wert darstellen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Da es sich um eine affine Funktion handelt, m\u00fcssen Sie eine Wertetabelle erstellen, um sie grafisch darzustellen: <\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
Wir tragen die Punkte im Diagramm ein und zeichnen die Linie: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Wir m\u00fcssen nun die symmetrische Funktion dort zeichnen, wo die Funktion negativ ist, also unterhalb der X-Achse liegt. Daher invertieren wir die Funktion von x=3 r\u00fcckw\u00e4rts: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Und schlie\u00dflich eliminieren wir den Teil der Funktion, der unterhalb der X-Achse liegt: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
<\/div>\n
\u00dcbung 4<\/h3>\n
Stellen Sie die folgende Funktion als Absolutwert grafisch dar: <\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
\n
Sehen Sie sich die L\u00f6sung an<\/strong><\/div>\n<\/div>\n
Um eine Funktion mit einem absoluten Wert darzustellen, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst die Funktion ohne den absoluten Wert zeichnen.<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Dies ist eine quadratische Funktion. Um es darzustellen, m\u00fcssen wir daher die X-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel mit der folgenden Formel berechnen:<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
Jetzt erstellen wir eine Wertetabelle. Dazu berechnen wir den Wert von<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n
oben und rundherum: <\/p>\n
\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n
\n
<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
Wir tragen die Punkte im Diagramm ein und zeichnen die Parabel: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Wir m\u00fcssen nun die Funktion symmetrisch dorthin \u00fcbersetzen, wo sie negativ ist, also dort, wo sie unterhalb der OX-Achse liegt. Daher kehren wir die Funktion von x=0 auf x=4 um: <\/p>\n
\n<\/figure>\n<\/div>\n
Und schlie\u00dflich l\u00f6schen wir den Teil der Funktion, der unterhalb der X-Achse liegt: <\/p>\n
Auf dieser Seite wird erkl\u00e4rt, was eine Absolutwertfunktion ist. Au\u00dferdem erfahren Sie, wie Sie eine st\u00fcckweise Absolutwertfunktion definieren und diese Art von Funktionen in einem Diagramm darstellen. Dar\u00fcber hinaus sehen Sie es anhand von Beispielen f\u00fcr Absolutwertfunktionen und k\u00f6nnen mit \u00dcbungen und Schritt f\u00fcr Schritt gel\u00f6sten Problemen \u00fcben. Was sind absolutwertige Funktionen? Die Definition einer …<\/p>\n
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