{"id":100,"date":"2023-07-17T06:26:25","date_gmt":"2023-07-17T06:26:25","guid":{"rendered":"https:\/\/mathority.org\/de\/polynom\/"},"modified":"2023-07-17T06:26:25","modified_gmt":"2023-07-17T06:26:25","slug":"polynom","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/mathority.org\/de\/polynom\/","title":{"rendered":"Polynom"},"content":{"rendered":"<p>Ein Monom ist ein <strong>algebraischer Ausdruck<\/strong> , der durch einen Koeffizienten (numerischen Wert) gebildet wird, der eine Variable mit einem Exponenten multipliziert. Beispielsweise ist der Ausdruck 4x\u00b2 ein Monom. Aus diesem mathematischen Konzept gelangen wir zum Polynom, einem Satz von Additionen und Subtraktionen mehrerer Monome. Im Bild oben sehen Sie ein Beispiel f\u00fcr die Struktur eines Polynoms, das aus mehreren Monomen besteht. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"800\" height=\"417\" src=\"https:\/\/mathority.org\/wp-content\/uploads\/2023\/07\/parties-dun-polynome.webp\" data-src=\"\" alt=\"Teile eines Polynoms\" class=\"wp-image-5343 lazyload\" data-srcset=\"https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Partes-de-un-polinomio-800x417.jpg 800w, https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Partes-de-un-polinomio-500x260.jpg 500w, https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Partes-de-un-polinomio-768x400.jpg 768w, https:\/\/micalculadoracientifica.com\/wp-content\/uploads\/2021\/09\/Partes-de-un-polinomio.jpg 818w\" sizes=\"auto, \" srcset=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"tipos-de-polinomios\"> <span id=\"Tipos_de_polinomios\">Arten von Polynomen<\/span><\/h2>\n<p> Durch den Exponenten eines bestimmten Monoms k\u00f6nnen wir Polynome in verschiedene Typen einteilen. Wir k\u00f6nnen diese Ausdr\u00fccke in Kategorien einteilen wie: Polynom ersten Grades, Polynom zweiten Grades, Polynom dritten Grades usw. Grunds\u00e4tzlich m\u00fcssen Sie das Monom identifizieren, das den gr\u00f6\u00dften Exponenten hat und den <strong>Grad des Polynoms<\/strong> darstellt. Und sobald Sie es wissen, k\u00f6nnen Sie es einem der Typen zuordnen, \u00fcber die wir gerade gesprochen haben.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"polinomio-de-varias-variables\"> Polynom mehrerer Variablen<\/h3>\n<p> Dar\u00fcber hinaus gibt es noch eine andere M\u00f6glichkeit, Polynome zu organisieren, n\u00e4mlich nach der Anzahl der Monome, aus denen sie bestehen. Wenn wir beispielsweise ein <strong>Binomial<\/strong> haben, entspricht dies einem Polynom mit zwei Termen. Wenn wir ein <strong>Trinom<\/strong> haben, entspricht dies einem Polynom mit drei Termen usw. Alle diese Arten der Katalogisierung von Polynomen haben unendlich viele Unterkategorien. Denn diese Ausdr\u00fccke k\u00f6nnen aus beliebigen Monomen zusammengesetzt sein und auch beliebige Grade haben.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"caracteristicas-y-propiedades-de-los-polinomios\"> <span id=\"Caracteristicas_y_propiedades_de_los_polinomios\">Eigenschaften und Eigenschaften von Polynomen<\/span><\/h2>\n<ul>\n<li> <strong>Absoluter Grad eines Polynoms:<\/strong> Im vorherigen Abschnitt haben wir die Definition des relativen Grades besprochen. Bei Polynomen, die aus mehr als einer Variablen bestehen, haben wir jedoch den absoluten Grad, der der maximalen Summe der Exponenten aller Variablen dieses Monoms entspricht. Beispielsweise ist im Monom 5x\u00b2y\u00b3 der absolute Grad gleich 2 + 3 = 5.<\/li>\n<li> <strong>Geordnetes Polynom:<\/strong> Wir definieren ein <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/polynomordnungen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">geordnetes Polynom<\/a> in Bezug auf eine Variable, wenn die Exponenten dieser Variablen in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge angeordnet sind. Wenn wir beispielsweise dieses Polynom P(x) = 3x + 4x\u00b3 \u2013 x\u00b2 finden, wird es in diesem Fall nicht geordnet sein. Also sollten wir es korrigieren und wir w\u00fcrden dieses Ergebnis erhalten: P(x) = 4x\u00b3 \u2013 x\u00b2 + 3x.<\/li>\n<li> <strong>Vollst\u00e4ndiges Polynom:<\/strong> Wenn wir ein Polynom finden, das Monome mit allen m\u00f6glichen Exponenten hat (vom h\u00f6chsten Grad bis zum unabh\u00e4ngigen Term), sagen wir, dass es ein <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/volles-polynom\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">vollst\u00e4ndiges Polynom<\/a> ist. Beispielsweise ist der folgende Ausdruck: P(x) = 3 x\u00b2 + 2x \u2013 4 von diesem Typ, da zwischen 2 und 0 kein Exponent fehlt.<\/li>\n<li> <strong>Homogenes Polynom:<\/strong> ist das Polynom, das in jedem seiner Monome den gleichen absoluten Grad hat. Variablen k\u00f6nnen im Exponenten unterschiedliche Werte haben, die Summe der Exponenten der Variablen in allen Monomen muss jedoch unbedingt gleich sein. Zum Beispiel: P(x) = x\u00b2y\u00b3z + 3 x <sup>4<\/sup> yz, die beiden Summen ergeben sechs 2 + 3 + 1 = 4 + 1 + 1 = 6.<\/li>\n<li> <strong>Identische Polynome:<\/strong> Wenn wir zwei oder mehr Polynome finden, die die Koeffizienten derselben Terme teilen, dann werden wir sagen, dass es sich um identische Polynome handelt. Unten sehen Sie ein Beispiel zwischen zwei Polynomen: P(x) = 2x + 27 und Q(x) = 5 (x + 3) \u2013 3 (x \u2013 4). Sie sind identisch, da sie die Koeffizienten jedes Exponenten gemeinsam haben : 2x = 5x \u2013 3x und 27 = 15 + 12.<\/li>\n<li> <strong>Nullpolynom:<\/strong> Dieses Polynom hat nur Nullkoeffizienten (gleich Null), daher ist der Gesamtwert des Polynoms ebenfalls Null. Das Polynom P(x) = 0x\u00b3 + 0x\u00b2 \u2013 0x \u2013 0 ist ein klares Beispiel f\u00fcr diese Art von Polynom, es sollte jedoch nicht mit Q(x) = 0 verwechselt werden, da Sie in diesem Fall eine Gleichung bilden und dies nicht der Fall ist bedeutet nicht, dass alle Koeffizienten von Q(x) 0 sind.<\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"valor-numerico-de-un-polinomio\"> <span id=\"Valor_numerico_de_un_polinomio\">Numerischer Wert eines Polynoms<\/span><\/h2>\n<p> Der <strong>numerische Wert eines Polynoms<\/strong> ist das Ergebnis, das wir erhalten, wenn wir die Variable dieses Ausdrucks durch eine Zahl ersetzen. Wir m\u00fcssen dieses Polynom einfach so l\u00f6sen, als w\u00e4re es eine <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/kombinierte-operationen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">kombinierte Operation<\/a> . Als N\u00e4chstes erkl\u00e4ren wir die drei Methoden, mit denen Sie den numerischen Wert eines solchen Ausdrucks ermitteln k\u00f6nnen.<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>Direkter Ersatz:<\/strong> Wenn wir direkt die Werte erhalten, die jeder Variablen des Polynoms entsprechen, ersetzen wir diese Zahlen einfach durch diese Variablen. Wenn wir also das Polynom P(x) = 2x\u00b2 \u2013 x + 4 haben und uns gesagt wird, dass x = 3, dann ist der numerische Wert des Polynoms gleich 2 \u00b7 3\u00b2 \u2013 3 + 4 = 19.<\/li>\n<li> <strong>Variablenaufl\u00f6sung:<\/strong> Wir werden diesen Fall anwenden, wenn sie uns nicht direkt den Wert der Variablen, sondern eine \u00c4quivalenz liefern. Wenn zum Beispiel P(2) P(x \u2013 1) = x\u00b3 \u2013 2x + 1 wahr ist, dann l\u00f6sen wir zuerst die Gleichung 2 = x \u2013 1 und erhalten x = 3. Schlie\u00dflich m\u00fcssen wir 3 durch ersetzen x, so dass 3\u00b3 \u2013 2 \u00b7 3 + 1 = 22.<\/li>\n<li> <strong>\u00c4nderung der Variablen:<\/strong> wenn wir ein Polynom P(x) = 4x \u2013 2 haben und diesen Wert f\u00fcr P(x + 2) wissen wollen. Als n\u00e4chstes m\u00fcssen wir alle x im Ausdruck in a(x+2) \u00e4ndern. Schauen wir uns jedoch an, wie dieses letzte gel\u00f6ste Beispiel aussehen w\u00fcrde: P (x + 2) = 4 (x + 2) \u2013 2.<\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"operaciones-con-polinomios\"> <span id=\"Operaciones_con_polinomios\">Operationen mit Polynomen<\/span><\/h2>\n<p> Im Folgenden erkl\u00e4ren wir, wie man <strong>die vier Grundrechenarten mit Polynomen<\/strong> l\u00f6st, immer der <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/hierarchie-der-operationen\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Hierarchie der Operationen<\/a> folgend. In jedem Abschnitt finden Sie eine kleine Theorie, die Ihnen zeigt, wie Sie im jeweiligen Fall vorgehen m\u00fcssen, sowie einige praktische Beispiele.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"suma-de-polinomios\"> Addition von Polynomen<\/h3>\n<p> Um Polynome hinzuzuf\u00fcgen, m\u00fcssen wir die Tatsache ber\u00fccksichtigen, dass sie nur nach <strong>\u00e4hnlichen Termen<\/strong> gruppiert werden k\u00f6nnen, wenn wir also die Polynome P(x) = 3x\u00b3 \u2013 x\u00b2 + 2x \u2013 4 und Q(x) = 2x\u00b2 + 3x \u2013 2 haben. Um also P(x) + Q(x) zu erhalten, addieren wir die Koeffizienten der beiden Polynome zusammen mit demselben Exponenten: P(x) + Q(x) = 3x\u00b3 + (-x) \u00b2 + 2x\u00b2) + ( 2x + 3x) + (-4 -2) = 3x\u00b3 + x\u00b2 + 5x \u2013 6. Zusammenfassend k\u00f6nnen wir sagen, dass wir die Koeffizienten jedes \u00e4hnlichen Termes gruppiert und addiert haben und am Ende alle Terme in einem einzigen Polynom ausgedr\u00fcckt haben .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"resta-de-polinomios\"> Subtraktion von Polynomen<\/h3>\n<p> Die Subtraktion von Polynomen wird auf die gleiche Weise gel\u00f6st wie die Addition, der einzige Unterschied ist offensichtlich das Symbol. Dann gruppieren wir \u00e4hnliche Begriffe, subtrahieren sie und wandeln alles in einen einzigen Ausdruck um. Nachfolgend zeigen wir Ihnen anhand eines Beispiels: P(x) = 5x\u00b3 \u2013 2x\u00b2 + x \u2013 3 und Q(x) = 3x\u00b2 + 5x + 4, dann P(x) \u2013 Q(x) = 5x\u00b3 + (-2x\u00b2 + 3x\u00b2) + (x + 5x) + (-3 + 4) = 5x\u00b3 + x\u00b2 + 6x + 1.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"multiplicacion-de-polinomios\"> Polynommultiplikation<\/h3>\n<p> Bei der L\u00f6sung dieser Art von Multiplikation kann es etwas kompliziert werden, aber wenn Sie alle Schritte befolgen, die wir Ihnen erkl\u00e4ren, ist alles in Ordnung. Bei dieser mathematischen Operation werden alle Monome mit allen anderen operieren, das hei\u00dft, wir werden nicht nur \u00e4hnliche Terme multiplizieren. Dar\u00fcber hinaus <strong>\u00e4ndern sich nicht nur die Koeffizienten<\/strong> , sondern <strong>auch die Exponenten<\/strong> . Anhand dieses Beispiels werden Sie alles viel besser verstehen: P(x) = 2x\u00b2 + 3x \u2013 1 und Q(x) = 2x + 3:<\/p>\n<p> P(x) Q(x) = (<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-red-color\"> 2x\u00b2<\/mark> +<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color\"> 3x<\/mark> \u2013<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-green-cyan-color\">1<\/mark> ) \u00b7 ( <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-amber-color\"> 2x<\/mark> + <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-orange-color\"> 3<\/mark> ) =<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-red-color\"> 2x\u00b2<\/mark> \u00b7 <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-amber-color\"> 2x<\/mark> +<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-red-color\"> 2x\u00b2<\/mark> \u00b7 <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-orange-color\"> 3<\/mark> +<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color\"> 3x<\/mark> \u00b7 <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-amber-color\"> 2x<\/mark> +<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color\"> 3x<\/mark> \u00b7 <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-orange-color\"> 3<\/mark> + (<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-green-cyan-color\">-1<\/mark> ) \u00b7 <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-amber-color\"> 2x<\/mark> + (<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-green-cyan-color\">-1<\/mark> ) \u00b7 <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-orange-color\"> 3<\/mark> = 4x\u00b3 + 6x\u00b2 + 6x\u00b2 + 9x \u2013 2x \u2013 3 = 4x\u00b3 + 12x\u00b2 + 7x \u2013 3<\/p>\n<p> Im Grunde multiplizieren wir die Koeffizienten jedes Termes eines Polynoms mit denen des zweiten und wenden dann die Potenzeigenschaft <strong>a <sup>n<\/sup> \u00b7 a <sup>m<\/sup> = a <sup>n+m<\/sup><\/strong> an.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"division-de-polinomios\"> Division von Polynomen<\/h3>\n<p> Abschlie\u00dfend m\u00fcssen wir nur noch erkl\u00e4ren, wie man die Division von Polynomen l\u00f6st. Im Grunde m\u00fcssen wir die Verteilungseigenschaft der Division anwenden: (a + b + c) \u00f7 d = (a \u00f7 d) + (b \u00f7 d) + (c \u00f7 d). Und wir werden auch die folgende Potenzierungseigenschaft <strong>auf <sup>n<\/sup> \u00f7 a <sup>m<\/sup> = a <sup>nm<\/sup><\/strong> anwenden. Wir werden dies nun anhand eines einfachen Beispiels sehen: P(x) = 3x\u00b3 \u2013 6x\u00b2 + 9x und Q(x) = 3x.<\/p>\n<p> P(x) \u00f7 Q(x) = (<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-red-color\"> 3x\u00b3<\/mark> \u2013<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color\"> 6x\u00b2<\/mark> +<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-green-cyan-color\">9x<\/mark> ) \u00f7 <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-amber-color\"> 3x<\/mark> = (<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-red-color\"> 3x\u00b3<\/mark> \u00f7 <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-amber-color\"> 3x<\/mark> ) + (<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-cyan-blue-color\"> 6x\u00b2<\/mark> \u00f7 <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-amber-color\"> 3x<\/mark> ) + (<mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-vivid-green-cyan-color\">9x<\/mark> \u00f7 <mark style=\"background-color:rgba(0, 0, 0, 0)\" class=\"has-inline-color has-luminous-vivid-amber-color\"> 3x<\/mark> ) = x\u00b2 \u2013 2x + 3<\/p>\n<p> Nachdem Sie nun gesehen haben, wie Sie alle diese Operationen mit Polynomen l\u00f6sen k\u00f6nnen, hoffen wir, dass Sie wissen, wie Sie es in der Praxis anwenden k\u00f6nnen. Wenn Sie jedoch der Meinung sind, dass dies nicht der Fall ist und Sie noch ein wenig \u00fcben m\u00f6chten, empfehlen wir Ihnen, sich einige <a href=\"https:\/\/www.vadenumeros.es\/tercero\/ejercicios-de-polinomios.htm\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">gel\u00f6ste \u00dcbungen auf dieser Seite<\/a> anzusehen. Diese werden Ihnen dabei helfen, all diese mathematischen Konzepte vollst\u00e4ndig zu verinnerlichen.<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"factorizacion-de-polinomios\"> Faktorisierung von Polynomen<\/h3>\n<p> Um <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/fakultatspolynome\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Polynome zu faktorisieren,<\/a> k\u00f6nnen Sie dies manuell tun, wie im Artikel in diesem letzten Link beschrieben, oder Sie k\u00f6nnen es mit einem <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\/ruffini-rechner\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Ruffini-Rechner<\/a> tun. Wir empfehlen, diese zweite Option zu verwenden, wenn Sie es schnell erledigen m\u00f6chten. Wenn Sie jedoch nur das Faktorisieren lernen, ist es besser, manuell zu \u00fcben. Die Art und Weise, dies zu tun, sollte basierend auf Ihrer Situation gew\u00e4hlt werden.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"resolver-polinomios-con-la-calculadora-cientifica\"> <span id=\"Resolver_polinomios_con_la_calculadora_cientifica\">L\u00f6sen Sie Polynome mit dem wissenschaftlichen Taschenrechner<\/span><\/h2>\n<p> Heutzutage gibt es viele verschiedene wissenschaftliche Taschenrechner auf dem Markt. Wenn Sie jedoch auf der Suche nach einem g\u00fcnstigen Taschenrechner sind <strong>, der Polynome l\u00f6sen kann<\/strong> , empfehlen wir Ihnen den <a href=\"https:\/\/mathority.org\/de\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Casio FX-991SPX II<\/a> . Es ist einfach zu bedienen, sehr leistungsstark und funktional und eignet sich daher perfekt f\u00fcr jeden Mathematiksch\u00fcler der Mittel- und Oberstufe. Im Folgenden erkl\u00e4ren wir kurz, wie mathematische Ausdr\u00fccke dieses Stils mit diesem oder einem \u00e4hnlichen Casio-Modell gel\u00f6st werden.<\/p>\n<p> Sie m\u00fcssen zuerst den numerischen Wert der Variablen eingeben, ihn schreiben und dann <strong>\u201eSTO\u201c + Buchstaben der Variablen<\/strong> dr\u00fccken, zum Beispiel x. Wenn also alle Variablen definiert sind, m\u00fcssen Sie nur noch den Polynomausdruck so schreiben, wie er f\u00fcr alle Variablen und alle Zahlen gilt. Und schlie\u00dflich m\u00fcssen Sie die Gleichheitstaste dr\u00fccken, um das Ergebnis zu erhalten, das dem numerischen Wert des Polynoms entspricht.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ein Monom ist ein algebraischer Ausdruck , der durch einen Koeffizienten (numerischen Wert) gebildet wird, der eine Variable mit einem Exponenten multipliziert. Beispielsweise ist der Ausdruck 4x\u00b2 ein Monom. Aus diesem mathematischen Konzept gelangen wir zum Polynom, einem Satz von Additionen und Subtraktionen mehrerer Monome. 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