Winkel zwischen zwei Ebenen im Raum (Formel)

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie den Winkel berechnen, den zwei Ebenen im Raum bilden (Formel). Darüber hinaus haben Sie die Möglichkeit, Beispiele zu sehen und mit gelösten Übungen zu üben.

Winkelformel zwischen zwei Ebenen

Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist gleich dem Winkel, den die Normalenvektoren dieser Ebenen bilden. Um den Winkel zwischen zwei Ebenen zu ermitteln, wird daher der Winkel berechnet, den ihre Normalenvektoren bilden, da sie äquivalent sind.

Sobald wir also genau wissen, wie groß der Winkel zwischen zwei Ebenen ist, schauen wir uns die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen im Raum (in R3) an, die aus der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren abgeleitet wird:

Gegeben sei die allgemeine (oder implizite) Gleichung zweier verschiedener Ebenen:

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

Der Normalenvektor jeder Ebene ist:

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

Und der von diesen beiden Ebenen gebildete Winkel wird bestimmt, indem der von ihren Normalenvektoren gebildete Winkel mit der folgenden Formel berechnet wird:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Um den Winkel zwischen zwei Ebenen zu bestimmen, müssen Sie also die Berechnung des Skalarprodukts zweier Vektoren beherrschen. Wenn Sie sich nicht erinnern, wie es gemacht wurde, finden Sie im Link die Schritte zum Lösen des Skalarprodukts zwischen zwei Vektoren. Darüber hinaus können Sie Beispiele und Übungen sehen, die Schritt für Schritt gelöst werden.

Wenn die beiden Ebenen hingegen senkrecht oder parallel sind, ist die Anwendung der Formel nicht erforderlich, da der Winkel zwischen den beiden Ebenen direkt bestimmt werden kann:

Der Winkel zwischen zwei parallelen Ebenen beträgt 0°, da ihre Normalenvektoren die gleiche Richtung haben.
Der Winkel zwischen zwei senkrechten Ebenen beträgt 90°, da ihre Normalenvektoren ebenfalls senkrecht (oder orthogonal) zueinander stehen und daher einen rechten Winkel bilden.

Beispiel für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen

Hier ist ein konkretes Beispiel, damit Sie sehen können, wie Sie den Winkel zwischen zwei verschiedenen Ebenen bestimmen:

Berechnen Sie den Winkel zwischen den folgenden zwei Ebenen:

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

Als Erstes müssen wir den Normalenvektor jeder Ebene finden. Somit fallen die Koordinaten X, Y, Z des Vektors senkrecht zu einer Ebene jeweils mit den Koeffizienten A, B und C seiner allgemeinen (oder impliziten) Gleichung zusammen:

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

Und sobald wir den Normalenvektor zu jeder Ebene kennen, berechnen wir den Winkel, den sie bilden, mit der Formel:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Wir müssen daher den Betrag jedes Normalenvektors ermitteln:

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

Jetzt setzen wir den Wert jeder Unbekannten in die Formel ein:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

Wir berechnen den Kosinus des Winkels, indem wir das Skalarprodukt der beiden Vektoren lösen:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

Und schließlich bestimmen wir den Winkel, indem wir mit dem Taschenrechner die Umkehrung des Kosinus berechnen:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

Probleme des Winkels zwischen zwei Ebenen gelöst

Übung 1

Finden Sie den Winkel zwischen den folgenden zwei Ebenen:

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

siehe Lösung

Als Erstes müssen wir den Normalenvektor jeder Ebene finden. Somit sind die Koordinaten X, Y, Z des Vektors senkrecht zu einer Ebene jeweils äquivalent zu den Koeffizienten A, B und C seiner allgemeinen (oder impliziten) Gleichung:

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

Sobald wir den Normalenvektor jeder Ebene kennen, berechnen wir den Winkel, den sie bilden, mit der Formel:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Wir müssen daher den Betrag jedes Normalenvektors ermitteln:

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

Wir setzen den Wert jeder Unbekannten in die Formel ein:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

Wir berechnen den Kosinus des Winkels:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

Und schließlich ermitteln wir den Winkel zwischen den beiden Ebenen, indem wir den Kosinus mit dem Taschenrechner umkehren:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

Übung 2

Wie groß ist der Winkel zwischen den folgenden beiden Ebenen?

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

siehe Lösung

Als Erstes müssen wir den Normalenvektor jeder Ebene finden. Somit sind die X-, Y- und Z-Koordinaten des Vektors senkrecht zu einer Ebene jeweils gleich den Parametern A, B und C seiner allgemeinen (oder impliziten) Gleichung:

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

Sobald wir den Normalenvektor jeder Ebene kennen, berechnen wir den Winkel, den sie bilden, mit der Formel:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Wir müssen daher den Betrag jedes Normalenvektors ermitteln:

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

Wir setzen den Wert jeder Variablen in die Formel ein:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

Wir berechnen den Kosinus des Winkels:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$

Und schließlich ermitteln wir den Winkel, indem wir den Kosinus mit dem Taschenrechner umkehren:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,17)=\bm{80,36º}$

Übung 3

Parameterwert berechnen

$k$

so dass die folgenden zwei Ebenen senkrecht stehen:

$\pi_1 : \ x+2y-3z+1=0$

$\pi_2 : \ -2x+5y+kz+4=0$

siehe Lösung

Um Winkel zwischen Ebenen zu berechnen, muss man zunächst immer den Normalenvektor jeder Ebene ermitteln:

$\vv{n}_1 = (1,2,-3)$

$\vv{n}_2 = (-2,5,k)$

Zwei senkrecht zueinander stehende Ebenen bilden einen Winkel von 90 Grad, sodass ihre Normalenvektoren ebenfalls 90 Grad betragen. Wir können daher den Wert des Unbekannten bestimmen.

$k$

mit der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$