▷ Wie wird der Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet? (Formel) ✅

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen. Darüber hinaus sehen Sie auch Beispiele und können mit Schritt für Schritt gelösten Übungen und Problemen üben.

Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren

Winkel zwischen zwei Skalarproduktvektoren

Wenn wir uns an die Definition des Skalarprodukts erinnern, kann es mit der folgenden Gleichung berechnet werden:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Aus dieser Gleichheit können wir die Formel erhalten, die uns hilft, den Winkel, der von zwei Vektoren gebildet wird, direkt zu ermitteln:

Der Kosinus des von zwei Vektoren gebildeten Winkels ist gleich dem Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren dividiert durch das Produkt der Moduli der beiden Vektoren.

Mit anderen Worten lautet die Formel zur Bestimmung des von zwei Vektoren gebildeten Winkels wie folgt:

Um den von zwei Vektoren gebildeten Winkel zu ermitteln, ist es daher wichtig, dass Sie wissen, wie man den Betrag eines Vektors berechnet . Unter diesem Link finden Sie die Formel, Beispiele und gelöste Aufgaben zum Modul eines Vektors. Wenn Sie diese Vektoroperation also noch nicht beherrschen, empfehlen wir Ihnen, einen Blick darauf zu werfen.

Diese Formel funktioniert sowohl für die Ebene (in R2) als auch für den Raum (in R3). Das heißt, wir können es austauschbar für Zwei- oder Dreikomponentenvektoren verwenden.

Manchmal ist es jedoch nicht notwendig, diese Formel anzuwenden, da der Winkel zwischen den Vektoren abgeleitet werden kann:

Der Winkel zwischen zwei senkrechten Vektoren (die dieselbe Richtung haben) beträgt 0°.
Der Winkel zwischen zwei orthogonalen (oder senkrechten) Vektoren beträgt 90°.

Beispiel für die Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren

Als Beispiel berechnen wir den Winkel, der durch die folgenden zwei Vektoren gebildet wird:

$\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)$

Wir müssen zuerst den Modul jedes Vektors berechnen:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}$

Mit der Formel berechnen wir nun den Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14$

Und schließlich ermitteln wir den entsprechenden Winkel, indem wir mit dem Taschenrechner die Umkehrung des Kosinus berechnen:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}$

Die beiden Vektoren bilden also einen Winkel von 81,95°.

Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren gelöst

Übung 1

Berechnen Sie den Winkel zwischen den folgenden zwei Vektoren:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad \vv{\text{v}} =(1,2)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Zunächst müssen wir den Modul der beiden Vektoren berechnen:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}$

Wir verwenden die Formel, um den Kosinus des von den Vektoren gebildeten Winkels zu berechnen:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84$

Schließlich ermitteln wir den entsprechenden Winkel, indem wir mit dem Taschenrechner die Umkehrung des Kosinus berechnen:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}$

Übung 2

Bestimmen Sie den Winkel, der zwischen den folgenden beiden Vektoren besteht:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,5)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Zunächst müssen wir die Module der Vektoren finden:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Wir verwenden die Formel, um den Kosinus des Winkels zu ermitteln, den die Vektoren haben:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89$

Und schließlich finden wir den entsprechenden Winkel, indem wir mit dem Taschenrechner die Umkehrung des Kosinus berechnen:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}$

Übung 3

Berechnen Sie den Wert von

$k$

so dass die folgenden Vektoren senkrecht stehen:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,k)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Zwei senkrecht zueinander stehende Vektoren bilden einen Winkel von 90°. Noch:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Der Nenner des Bruchs teilt die gesamte rechte Seite der Gleichung, sodass wir sie mit der anderen Seite multiplizieren können:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Nun lösen wir das Skalarprodukt:

$\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)$

$\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k$

$\displaystyle 0 =-24 +3k$

Und schließlich klären wir das Rätsel:

$\displaystyle -3k =-24$

$\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =8}$

Übung 4

Finden Sie den Wert, den die Konstanten haben sollten

$a$

Und

$b$

so dass die folgenden Vektoren senkrecht stehen und außerdem ist es wahr

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.$

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad \vv{\text{v}} =(b,3)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Wir werden zunächst die Modulbedingung verwenden, um den Wert von zu ermitteln

$a:$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10$

$\sqrt{(-6)^2+a^2}=10$

$\sqrt{36+a^2}=10$

Wir erhöhen beide Seiten der Gleichung, um die Quadratwurzel zu entfernen:

$\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2$

$36+a^2=100$

Und wir klären das Rätsel auf:

$a^2=100 -36$

$a^2=64$

$a=\sqrt{64}$

$\bm{a=8}$

Sobald wir den Wert kennen

$a$

, finden Sie den Wert von

$b$

indem wir die Formel für den Winkel zweier Vektoren anwenden, da die Aussage besagt, dass sie senkrecht sein müssen, oder was äquivalent ist, sie müssen 90° bilden.

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Der Nenner des Bruchs teilt die gesamte rechte Seite der Gleichung, sodass wir sie mit der anderen Seite multiplizieren können:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Versuchen wir nun, das Skalarprodukt zu lösen:

$\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)$

$\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3$

$\displaystyle 0 =-6b +24$

Und schließlich klären wir das Rätsel:

$\displaystyle 6b =24$

$\displaystyle b =\cfrac{24}{6}$

$\displaystyle \bm{b =4}$

Übung 5

Winkel berechnen

$\alpha , \beta$

Und

$\gamma$

die die Seiten des folgenden Dreiecks bilden:

Übungen und Schritt für Schritt gelöste Probleme des Skalarprodukts zweier Vektoren

Sehen Sie sich die Lösung an

Die Eckpunkte, aus denen das Dreieck besteht, sind die folgenden Punkte:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Um die Innenwinkel des Dreiecks zu berechnen, können wir die Vektoren jeder seiner Seiten berechnen und dann mithilfe der Skalarproduktformel den Winkel ermitteln, den sie bilden.

Zum Beispiel, um den Winkel zu finden

$\alpha$

Wir berechnen die Vektoren seiner Seiten:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

Und wir ermitteln den Winkel, den die beiden Vektoren bilden, mithilfe der Skalarproduktformel:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Jetzt wiederholen wir den gleichen Vorgang, um den Winkel zu bestimmen

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Um schließlich den letzten Winkel zu finden, können wir den gleichen Vorgang wiederholen. Allerdings müssen sich alle Winkel in einem Dreieck zu 180 Grad addieren, also:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

So berechnen sie den winkel zwischen zwei vektoren

Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren

Beispiel für die Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren

Aufgaben zu Winkeln zwischen Vektoren gelöst

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

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