Die Mengenlehre ist eines der vier Elemente der mathematischen Logik . Diese Theorie analysiert die Gruppierung von Elementen, indem sie ihre Eigenschaften und die Verbindungen zwischen den Objekten untersucht, aus denen das Ganze besteht.
Wenn wir von Mengen sprechen, beziehen wir uns in dieser Theorie auf abstrakte Gruppen von Strukturen, die ähnliche Eigenschaften aufweisen. In dieser Theorie werden Operationen wie Schnittmenge, Ergänzung, Differenz und Vereinigung mit den Objekten durchgeführt, die das Ganze als solches bilden.
Einfacher ausgedrückt ist die Mengenlehre ein Zweig der Mathematik, der auf Mengen basiert. Daher werden alle Eigenschaften jedes Elements sowie die zwischen ihnen bestehenden Verbindungen bewertet.
Wie wir bereits erklärt haben, sind Mengen nichts anderes als Gruppen von Objekten. Das heißt, es kann sich unter anderem um Symbole, Wörter, Zahlen, geometrische Figuren, Buchstaben handeln.
Welche Arten von Sets gibt es?
Abhängig von der Anzahl der in einer Menge enthaltenen Objekte werden diese unterschiedlich klassifiziert. Diese sind:
- Endliche Mengen : sind alle Mengen, die eine gemeinsame Anzahl von Elementen haben. Zum Beispiel alle Wochentage, alle Vokale und mehr.
- Unendliche Mengen – enthalten eine unendliche Anzahl von Objekten. Zum Beispiel reelle Zahlen.
- Universelles Set : fasst alle in einem bestimmten Fall berücksichtigten Objekte zusammen. Wenn Sie beispielsweise die Zahlenmenge eines Würfels verwenden möchten, ist die universelle Menge U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Leere Menge : ist die Menge, die keine Elemente enthält. Zum Beispiel alle Monate im Jahr, die 27 Tage haben.
Welche Methoden gibt es zum Definieren einer Menge?
Um eine Menge zu definieren , legen wir zunächst einen gemeinsamen Aspekt der Elemente der Gruppe fest. Zum Beispiel eine erste Menge, die positive ganze Zahlen enthält, also gerade Zahlen kleiner als 20. Sie würde so aussehen:
A= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
Von hier aus können zwei Methoden zum Definieren einer Menge verwendet werden. Die erste davon ist als Nummerierungs- oder Erweiterungsmethode bekannt. Und die zweite wird Beschreibungsmethode genannt. Im ersten werden die Elemente der Menge konkret aufgelistet, im zweiten geht es um die Eigenschaft, die die Elemente erfüllen müssen.
Das erste System ist sehr nützlich zur Beschreibung von Mengen, die wenige Elemente enthalten. Hier einige Beispiele:
Wirf den gewöhnlichen Würfel M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (endlich).
Vokale im Alphabet G= {a, e, i, o, u} (Endlich).
Während die zweite Methode praktischer für die Definition von Mengen mit einer großen Anzahl von Elementen oder unendlichen Mengen ist. Als nächstes zeigen wir Ihnen einige Beispiele:
Alle natürlichen Zahlen kleiner als 32 S = {x ∈ ℕ | x < 32} (fertig).
Alle natürlichen Zahlen N = {x ∈ ℕ} (Unendlich).
Was ist eine Zahlenmenge?
Grundsätzlich wird die Kategorisierung, in die Zahlen fallen, als Zahlenmengen bezeichnet. Dies in Bezug auf die Eigenschaften jedes einzelnen von ihnen. Das heißt, wenn beispielsweise eine Zahl Nachkommastellen hat oder ein negatives Vorzeichen hat.
Zahlenmengen sind alle Zahlen, die wir benötigen, um verschiedene mathematische Operationen durchzuführen. Dies gilt sowohl im Alltag als auch in komplexeren Szenarien wie Wissenschaft oder Technik.
Diese Sets stammen aus Schöpfungen des menschlichen Geistes. Sie sind daher abstrakt konstituiert. Mit anderen Worten: Digitale Sets existieren materiell nicht. Zahlenmengen werden dann in verschiedene Zahlentypen unterteilt.
- Natürliche Zahlen : Das sind diejenigen, die wir alle zum Zählen verwenden. Sie erstrecken sich bis ins Unendliche und nehmen kleine Bruchteile einer Einheit ein. Formal wird die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Buchstaben N und wie folgt ausgedrückt: ℕ = {1, 2, 3 …} = ℕ \ {0}
- Ganze Zahlen : Diese Zahlen umfassen die natürlichen Zahlen. Außerdem alle Zahlen, die umständliche Brüche belegen, denen aber ein negatives Vorzeichen vorangestellt ist. Ebenso wird auch Null hinzugefügt. Sie können wie folgt ausgedrückt werden: ℤ = {…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}. In dieser Menge hat jede der Zahlen ihr Äquivalent mit dem entgegengesetzten Vorzeichen. Mit anderen Worten: Das Gegenteil von 8 ist – 8.
- Rationale Zahlen : Rationale Zahlen umfassen Zahlen, die als Quotient aus zwei ganzen Zahlen und allen ganzen Zahlen ausgedrückt werden. Dies bedeutet, dass sie problemlos eine Dezimalzahl haben können. Diese Menge könnte wie folgt ausgedrückt werden: ℚ = ℤ/ℤ.
- Irrationale Zahlen : Diese Zahlen werden nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen ausgedrückt. Darüber hinaus sind sie nicht in einem kontinuierlichen periodischen Abschnitt angegeben, obwohl sie sich bis ins Unendliche erstrecken. Es muss klargestellt werden, dass irrationale und rationale Zahlen Teil unterschiedlicher Mengen sind. Sie weisen daher keine gemeinsamen Merkmale auf. Ein Beispiel für eine irrationale Zahl ist: √123. 11.0905365064.
- Reelle Zahlen : Diese Zahlen umfassen rationale und irrationale Zahlen. Dies bedeutet, dass diese Gruppe Zahlen von minus unendlich bis unendlich umfasst.
- Imaginäre Zahlen : Diese Zahlen werden durch Multiplikation der imaginären Einheit mit einer beliebigen reellen Zahl erhalten. Die imaginäre Einheit entspricht der Quadratwurzel von – 1. Diese Zahlen haben keinen Bezug zu den reellen Zahlen. Sie werden wie folgt ausgedrückt: p= r * s. In diesem Fall ist p eine imaginäre Zahl, r eine reelle Zahl und s die imaginäre Einheit.
- Komplexe Zahlen – Komplexe Zahlen haben einen Imaginärteil und einen Realteil. Seine Struktur wird wie folgt ausgedrückt: v + ri. In diesem Fall ist v eine reelle Zahl, r der Imaginärteil, i die Imaginäreinheit
Was ist die Vereinigung von Mengen?
Wir können davon ausgehen, dass die Vereinigung von Mengen nichts anderes als eine binäre Operation ist, die auf der Menge aller internen Mengen eines U ausgeführt wird. Unter binärer Operation verstehen wir das, was vom Operator und zwei Argumenten abhängt, damit es eine bestimmte Menge gibt Berechnung.
In diesem Sinne ist jedes Paar der Mengen A und B, die Teil von U sind, mit einer anderen Menge (AUB) von U verbunden. Wenn also A und B zwei verschiedene Mengen sind, wird die Vereinigung der Mengen wie folgt ausgedrückt: A={ Luis, Carlos}, B={Carla, Luisa, Paola}; AUB={Luis, Carlos, Carla, Luisa, Paola}.
Was ist der Schnittpunkt von Mengen?
Mengenschnitt ist eine Operation, die in eine andere Menge mit wiederholten oder häufigen Objekten zu den ursprünglichen Mengen abgeleitet wird. Tritt ein Schnittpunkt leerer Mengen auf, wird dieser als disjunkt definiert. In diesem Fall wird es wie folgt ausgedrückt: S ∩ D = Ø.
Das Symbol ∩ in dieser Operation reagiert auf den Schnittpunkt. Schauen wir uns zum besseren Verständnis das folgende Beispiel an:
M= {Grün, Schwarz, Weiß, Lila}.
J = {Schwarz, Grün, Rosa, Blau}.
In diesem Fall gilt: M ∩ J = {grün, schwarz}, da dies die Objekte sind, die sich in den beiden Anfangsmengen wiederholen.
Was ist der Gesamtunterschied?
Mengendifferenz ist die dritte Operation, die Teil der Mengenlehre ist. Es ist definiert als die Operation, die es ermöglicht, aus den Objekten von A, die nicht in B enthalten sind, eine neue Menge zu erhalten. Zum Beispiel:
A = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
B = {2, 4, 6, 8}.
Die Mengendifferenz ergibt sich also aus den Elementen, die Teil von Menge A, aber nicht von Menge B sind. Daraus ergibt sich {10, 12, 14}.
Was ist die Ergänzung einer Menge?
Das Komplement einer Menge ist definiert als alle Objekte von U, die nicht Teil der Menge sind. Mit anderen Worten handelt es sich um eine Menge, die Elemente enthält, die nicht die ursprüngliche Menge bilden. Um dieses Konzept besser zu verstehen, ist es wichtig, die verwendeten Objekte bzw. die Art der universellen Menge zu kennen.
Mit anderen Worten, wenn wir beispielsweise über Primzahlen sprechen, ist die Komplementärmenge die der Nicht-Primzahlen. Gleichzeitig ist die Menge der Primzahlen das Komplement der Nicht-Primzahlen.
Was ist der symmetrische Unterschied zwischen den Mengen?
Die symmetrische Differenz von Mengen ist eine Menge, deren Objekte Teil einer Anfangsmenge sind, ohne gleichzeitig etwas mit den anderen beiden Mengen zu tun zu haben. Wenn wir diese Operation anhand der Mengenlehre veranschaulichen, erhalten wir Folgendes:
{1, 2, 3} und {2, 3, 4, 6, 9, 8} = die symmetrische Differenz wäre {1, 4, 6, 9, 8}.
Was ist das Venn-Diagramm?
Die Diagramme, die Teil des Venn-Diagramms sind, werden alle durch eine durchgehende geschlossene Linie ausgedrückt. Das heißt unter anderem Ovale, Dreiecke, Kreise. Im Allgemeinen wird die Universalmenge als Rechteck ausgedrückt. Der Rest der Sets wird geometrisch durch Kreise oder Ovale ausgedrückt.
Es ist wichtig zu bedenken, dass dieses Diagramm keinen mathematischen Beweis beinhaltet. Es ist jedoch nützlich, ein Gespür für die Verbindung zwischen einer bestimmten Menge und einer anderen zu haben.
Wo gilt die Mengenlehre?
Die Anwendungsgebiete der Mengenlehre sind vielfältig. Es wird hauptsächlich bei der Formulierung geometrischer logischer Grundlagen verwendet. Es gibt jedoch auch andere Anwendungen wie die Topologie . Im Allgemeinen ist diese Theorie in den Naturwissenschaften, der Mathematik, der Physik, der Biologie, der Chemie und sogar im Ingenieurwesen relevant.
Um die mathematische Logik besser zu verstehen, ist es wichtig, dieses Element gut zu kennen; die Mengenlehre ist eines der wichtigsten. Darüber hinaus findet es nicht nur in der Mathematik Anwendung, wie wir bereits erläutert haben.
Wie sprechen wir in der Alltagssprache über Mengenlehre?
Die Mengenlehre ist ein grundlegender Bestandteil der Mathematik. Dies betrifft aber auch Bereiche, die eher alltäglicher als operativer Natur sind. Mit anderen Worten: Es handelt sich nicht immer um numerische Mengen. In der traditionellen Sprache ist die Bezugnahme auf eine Menge etwas komplexer.
Der Grund dafür ist, dass die Wahrnehmungen unterschiedlich sein werden, wenn wir beispielsweise eine Gruppe der bedeutendsten Maler bilden wollen. Daher ist ein Konsens praktisch unmöglich . Kurz gesagt, es ist nicht so einfach, anhand der Qualitäten zu bestimmen, wer zur Gruppe gehört und wer nicht.
Einige dieser besonderen Mengen sind solche, die als leere Mengen definiert sind oder keine Elemente enthalten. Darüber hinaus könnte es sich um Mengen eines einzelnen Elements oder einzelner Einheiten handeln.
Was ist die Geschichte der Mengenlehre?
Die Mengenlehre entstand aufgrund der Forschungen des Deutschen Georg Cantor . Dieser Charakter war ein berühmter Mathematiker. Tatsächlich gilt er bis heute als Vater dieser Theorie. Zu den wichtigsten Untersuchungen der Forscher zählen numerische und unendliche Mengen.
Cantors erste Forschung zur Mengenlehre erfolgte im Jahr 1874. Darüber hinaus ist es wichtig zu erwähnen, dass seine Arbeit weiterhin mit der Forschung von Richard Dedekind verbunden blieb, einem wichtigen Mathematiker seiner Zeit. Auch Letzteres spielte eine grundlegende Rolle bei der Erforschung der natürlichen Zahlen.
Wie wichtig ist die Mengenlehre?
Das Studium dieser Theorie ist für die Analyse der Wahrscheinlichkeit , der Mathematik in allem, was sie betrifft, und der Statistik von wesentlicher Bedeutung. Jede der Operationen, die Teil dieser Theorie sind, wird zur Durchführung von Experimenten verwendet, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten.
Die Antworten hängen immer mit den Umständen zusammen, unter denen das Experiment durchgeführt wird. Aus diesem Grund spielen Sets in dieser Art von Forschung eine grundlegende Rolle.