Auf dieser Seite wird erklärt, was ein vollständiges Polynom ist, und Sie können sich auch Beispiele für vollständige Polynome ansehen. Darüber hinaus erfahren Sie, was es bedeutet, dass ein Polynom gleichzeitig vollständig und geordnet ist. Und schließlich analysieren wir die Unterschiede zwischen vollständigen und unvollständigen Polynomen.
Was ist ein vollständiges Polynom?
In der Mathematik lautet die Definition eines vollständigen Polynoms:
Ein vollständiges Polynom ist das Polynom, das durch alle Terme aller Grade gebildet wird, d. h. ein vollständiges Polynom hat alle Terme vom Monom des höchsten Grades bis zum unabhängigen Term.
Beispielsweise ist das folgende Polynom vollständig:
Tatsächlich handelt es sich um ein vollständiges Polynom, da es sich aus allen Termen vom dritten bis zum nullten Grad zusammensetzt: Das Monom x 3 ist vom dritten Grad, der Term 4x 2 vom zweiten Grad, das Element -5x vom ersten Grad Grad und schließlich ist Nummer 3 Grad 0.
Andererseits ist ein Konzept, über das Sie sich sehr im Klaren sein sollten, der sogenannte Term nullten Grades eines Polynoms (die Zahl 3 des vorherigen Polynoms), da er einen bestimmten Namen hat. Wenn nicht, empfehle ich Ihnen, einen Blick auf den unabhängigen Term eines Polynoms zu werfen, wo er ausführlich erklärt wird.
Beispiele für vollständige Polynome
Sobald wir das Konzept eines vollständigen Polynoms kennen, sehen wir uns weitere Beispiele für diesen Polynomtyp an:
- Beispiel für ein vollständiges Polynom 2. Grades:
- Beispiel für ein vollständiges Polynom 4. Grades:
- Beispiel für ein vollständiges Polynom vom Grad 7:
Obwohl es sich um ein völlig anderes Konzept handelt, werden Sie, wenn Sie bis hierher gekommen sind, sicherlich auch daran interessiert sein, zu erfahren, wie die Polynomzerlegung einer Zahl aussieht. Tatsächlich ist es etwas, wovon nicht viele Leute wissen, aber es ist tatsächlich sehr nützlich.
Vollständiges und geordnetes Polynom
Nachdem wir nun wissen, wann ein Polynom vollständig ist, wollen wir uns ansehen, was vollständige und geordnete Polynome sind.
Denken Sie daran, dass ein geordnetes Polynom aus einem Polynom besteht, bei dem alle Terme vom höchsten zum niedrigsten Grad geordnet sind. Beispielsweise wird das folgende Polynom bestellt:
Daher ist ein vollständiges und geordnetes Polynom dasjenige Polynom, das gleichzeitig die Eigenschaften vollständiger Polynome und geordneter Polynome erfüllt. Das heißt, ein vollständiges und geordnetes Polynom enthält alle Monome aller Grade und darüber hinaus sind diese Monome in absteigender Reihenfolge geordnet.
Wie Sie sehen können, ist das Polynom aus der vorherigen Übung vollständig und geordnet, da es alle Terme vom Grad 5 bis zum unabhängigen Term enthält und außerdem alle diese Terme in der richtigen Reihenfolge sind.
Obwohl sie etwas sehr Einfaches zu sein scheinen, sind geordnete Polynome wichtiger als sie scheinen. Beispielsweise ist es beim Multiplizieren und Dividieren von Polynomen wichtig, dass die Polynome gut geordnet sind, um die Operation korrekt auszuführen. Falls Sie nicht wissen, wovon ich spreche, hier sind zwei Seiten, die erklären , wie man Polynome multipliziert und wie man Polynome dividiert .
Vollständiges und unvollständiges Polynom
Abschließend analysieren wir, wie sich vollständige Polynome und unvollständige Polynome unterscheiden.
Ein unvollständiges Polynom ist ein Polynom, das NICHT alle Monome aller Grade enthält, dem jedoch ein Term fehlt.
Das folgende Polynom ist beispielsweise unvollständig, weil es kein Monom vom Grad 3 oder einen unabhängigen Term hat:
Wir könnten daher sagen, dass ein unvollständiges Polynom genau das Gegenteil eines vollständigen Polynoms ist.
Bei der Durchführung bestimmter Operationen ist es sehr wichtig zu wissen, wie man zwischen einem vollständigen Polynom und einem unvollständigen Polynom unterscheidet. Beispielsweise ändert sich die Vorgehensweise bei der Ruffini-Regel je nachdem, ob das Polynom vollständig oder unvollständig ist. Was die Ruffini-Methode ist und wie sie angewendet wird, können Sie auf unserer Seite Ruffini (Übungen) sehen.