Tangensfunktion - Mathematik

Auf dieser Seite finden Sie alles über die Tangensfunktion: Was ist sie, wie lautet ihre Formel, wie stellt man sie in einem Diagramm dar, die Eigenschaften der Funktion, ihre Periode usw. Darüber hinaus können Sie Beispiele für Tangentenfunktionen sehen, um das Konzept vollständig zu verstehen. Er erklärt sogar den Tangenssatz und die Beziehungen, die die Tangensfunktion zu anderen trigonometrischen Beziehungen hat.

Tangentenfunktionsformel

Die Tangensfunktion eines Winkels α ist eine trigonometrische Funktion, deren Formel als das Verhältnis zwischen dem gegenüberliegenden Zweig und dem angrenzenden (oder benachbarten) Zweig eines rechtwinkligen Dreiecks (Dreieck mit rechtem Winkel) definiert ist.

Wie lautet die Formel für die Tangensfunktion?

Tangens ist eine trigonometrische Funktion

Diese Art von mathematischer Funktion wird auch Tangentoid-, Tangenoid- oder Tangentialfunktion genannt. Und es kann mit der Abkürzung „tg“ oder sogar „tan“ ausgedrückt werden.

Die Tangensfunktion ist neben Sinus und Cosinus eines Winkels eines der drei bekanntesten trigonometrischen Verhältnisse.

Charakteristische Werte der Tangensfunktion

Es gibt bestimmte Winkel, die sich häufig wiederholen, und daher ist es praktisch, den Wert der Tangensfunktion bei diesen Winkeln zu kennen:

Andererseits kann die Tangensfunktion durch die folgende grundlegende trigonometrische Identität mit den Sinus- und Cosinusfunktionen verknüpft werden:

$\text{tg } \alpha = \cfrac{\text{sen }\alpha}{\text{cos }\alpha}$

Das Vorzeichen der Tangensfunktion hängt also vom Quadranten ab, in dem der Winkel liegt:

Wenn der Winkel zum ersten Quadranten gehört, ist sein Tangens positiv, da in diesem Quadranten auch Sinus und Cosinus positiv sind.
Wenn der Winkel in den zweiten Quadranten fällt, ist sein Tangens negativ, da in diesem Quadranten der Sinus positiv, der Cosinus jedoch negativ ist.
Liegt der Winkel im dritten Quadranten, ist sein Tangens positiv, da in diesem Quadranten Sinus und Cosinus negativ sind.
Liegt der Winkel im vierten Quadranten, ist sein Tangens negativ, da in diesem Quadranten der Sinus negativ und stattdessen der Cosinus positiv ist.

Grafische Darstellung der Tangensfunktion

Mit der Wertetabelle, die wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben, können wir die Tangensfunktion grafisch darstellen. Und indem wir die Tangensfunktion grafisch darstellen, erhalten wir:

Wie Sie der Grafik entnehmen können, sind die Werte der Bilder der Tangensfunktion im Gegensatz zu den Sinus- und Cosinusfunktionen nicht begrenzt. Darüber hinaus wiederholen sich die Werte alle 180 Grad (π Bogenmaß), es handelt sich also um eine periodische Funktion mit einer Periode von 180°.

Andererseits können wir in diesem Diagramm sehen, dass die Tangensfunktion ungerade ist, weil ihre gegenüberliegenden Elemente entgegengesetzte Bilder haben, oder mit anderen Worten, sie ist symmetrisch zum Ursprung (0,0). Beispielsweise hat der Tangens von 45° den Wert 1 und der von -45° den Wert -1.

Schließlich können wir auch sehen, dass die Tangensfunktion vertikale Asymptoten hat. Beispielsweise kommt es der x=90°-Linie sehr nahe, berührt sie aber nie, und das Gleiche passiert alle 180 Grad. Das bedeutet, dass der Grenzwert der Funktion an diesen Punkten gegen Unendlich geht.

Eigenschaften der Tangensfunktion

Die Tangensfunktion hat folgende Eigenschaften:

Der Definitionsbereich der Tangensfunktion umfasst alle reellen Zahlen mit Ausnahme der Punkte, an denen eine vertikale Asymptote vorliegt:

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right\} \qquad k \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{\ldots \ , \ -\frac{\pi}{2} \ , \ \frac{\pi}{2} \ , \ \frac{3\pi}{2} \ , \ \ldots \right\}$

Der Bereich oder Bereich der Tangensfunktion sind alle reellen Zahlen.

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

Es handelt sich um eine stetige und ungerade Funktion mit der Periodizität π.

$\displaystyle \text{tg}(-x) =- \text{tg }x$

Diese Art von trigonometrischer Funktion hat einen einzigen Schnittpunkt mit der y-Achse (Y-Achse) am Punkt (0,0).

$(0,0)$

Stattdessen schneidet es periodisch die Abszisse (X-Achse) an mehreren Koordinaten von Pi.

$\displaystyle (k\pi ,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Die Funktion ist über den gesamten Bereich streng wachsend, hat also weder ein Maximum noch ein Minimum.

Die Ableitung des Tangens ist:

$f(x)=\text{tg } x \ \longrightarrow \ f'(x)= 1+\text{tg}^2 x=\cfrac{1}{\text{cos}^2 x} =\text{sec}^2 x$

Schließlich ist das Integral der Tangensfunktion:

$\displaystyle \int \text{tg } x \ dx= -\ln \lvert \text{cos }x \rvert + C$

Periode der Tangensfunktion

Im Gegensatz zu anderen trigonometrischen Funktionen wie Sinus und Cosinus hat die Tangensfunktion keinen Betrag, da sie weder einen Maximal- noch einen Minimalwert hat. Es handelt sich jedoch um eine periodische Funktion, das heißt, ihre Werte wiederholen sich mit einer Häufigkeit, wie wir in ihrem Diagramm gesehen haben.

$\displaystyle f(x)= \text{tg}(wx)$

Die Periode der Tangensfunktion ist der Abstand zwischen zwei Punkten, an denen sich der Graph wiederholt, und wird mit der folgenden Formel berechnet:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{\pi}{w}$

Tangentensatz

Obwohl die Tangentenformel normalerweise in rechtwinkligen Dreiecken verwendet wird, gibt es auch einen Satz, der auf jede Art von Dreieck angewendet werden kann: den Tangentensatz.

Der Tangentensatz setzt die Seiten und Winkel eines beliebigen Dreiecks wie folgt in Beziehung:

$\displaystyle \cfrac{a+b}{a-b} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{a+c}{a-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\gamma \vphantom{\beta}}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\gamma\vphantom{\beta}}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{b+c}{b-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\beta+\gamma}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)}$

Beziehungen der Tangensfunktion zu anderen trigonometrischen Verhältnissen

Nachfolgend finden Sie die Beziehungen des Tangens zu den wichtigsten trigonometrischen Verhältnissen der Trigonometrie.

Beziehung zur Brust

Tangens und Sinus eines Winkels hängen wie folgt zusammen:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\text{sen }\alpha }{\sqrt{1-\text{sen}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

Kosinusverhältnis

Ebenso hängen Tangens und Kosinus eines Winkels mit der folgenden Gleichheit zusammen:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\sqrt{1-\text{cos}^2\alpha \vphantom{\bigl( }} }{\text{cos }\alpha}$

Beziehung zum Kosekans

Obwohl es schwierig zu beweisen ist, kann der Tangens so gelöst werden, dass er nur vom Kosekans abhängt:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{1}{\sqrt{\text{csc}^2\alpha -1 \vphantom{\bigl( }}}$

Beziehung zur Sekante

Tangens und Sekante eines Winkels hängen durch die folgende Gleichung zusammen:

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm\sqrt{\text{sec}^2\alpha -1$

Zusammenhang mit dem Kotangens

Tangens und Kotangens sind multiplikative Umkehrungen:

$\displaystyle \text{tg }\alpha =\pm \cfrac{1}{\text{cot }\alpha}$