Auf dieser Seite finden Sie die Bedeutung eines normalisierten Vektors und wie jeder Vektor normalisiert wird, anhand mehrerer Beispiele, sowohl in 2 als auch in 3 Dimensionen. Darüber hinaus finden Sie Dienstprogramme zum Normalisieren eines Vektors.
Was bedeutet es, einen Vektor zu normalisieren?
Das Normalisieren eines Vektors bedeutet, ihn in einen Vektor mit der gleichen Richtung und der gleichen Richtung, aber mit einem Modul gleich 1 umzuwandeln. Mit anderen Worten: Der Prozess der Normalisierung eines Vektors beinhaltet die Änderung seiner Länge unter Beibehaltung seiner Richtung und seiner Richtung.
Daher wird ein normalisierter Vektor hauptsächlich zur Angabe von Richtung und Bedeutung verwendet.
Wenn Sie andererseits einen Vektor normalisieren, berechnen Sie gleichzeitig auch einen Einheitsvektor , da ein Einheitsvektor jeder Vektor ist, dessen Betrag 1 ist.
Formel zum Normalisieren eines Vektors
Um einen Vektor zu normalisieren, muss jede der Komponenten des Vektors durch ihren Modul geteilt werden:
Gold
ist der normalisierte Vektor von
Beispiel für die Normalisierung eines Vektors in R2
Als Beispiel normalisieren wir den folgenden zweidimensionalen Vektor:
Zuerst müssen wir den Modul (oder die Amplitude) des Vektors berechnen. Falls Sie sich nicht erinnern, wie es geht, können Sie sich hier die Formel für die Größe eines Vektors ansehen. Also verwenden wir diese Formel:
Und dann dividieren wir den Vektor durch seinen Modul, um den normalisierten Vektor zu erhalten:
Wenn ein Vektor normalisiert wird, bleibt er normalerweise als Bruch erhalten, Sie können ihn jedoch problemlos in Dezimalzahlen umwandeln.
Beispiel für die Normalisierung eines Vektors in R3
Damit Sie ein weiteres Beispiel sehen können, normalisieren wir den folgenden dreidimensionalen Vektor:
Zuerst berechnen wir den Betrag des Vektors:
Und schließlich dividieren wir den Vektor durch seinen Modul, um ihn zu normalisieren:
Was bringt es, einen Vektor zu normalisieren?
Es ist nicht einfach, Anwendungen der Vektornormalisierung zu erkennen. Es scheint sogar, dass ein normalisierter Vektor schlechter ist als ein „normaler“ Vektor, da er häufig Brüche enthält und es schwieriger ist, mit Brüchen zu arbeiten.
Einige Vektoroperationen werden jedoch erheblich vereinfacht, wenn normalisierte Vektoren verwendet werden. Beispielsweise ist es einfacher, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln, wenn beide einen Modul (oder Betrag) gleich eins haben. Darüber hinaus hängt der von zwei Vektoren gebildete Winkel nicht von ihrer Länge, sondern von ihrer Richtung ab, sodass es durchaus möglich ist, zunächst die beiden Vektoren zu normalisieren und dann den Winkel zu ermitteln, den sie bilden.
Wenn Sie mehr daran interessiert sind, wie der Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet wird und warum es einfacher ist, dies mit normalisierten Vektoren zu tun, können Sie sich die Seite „Winkel zwischen zwei Vektoren“ ansehen. Hier finden Sie alle Erklärungen, sowie Beispiele und gelöste Übungen.
Diese Eigenschaft normalisierter Vektoren ist auf rechnerischer Ebene sehr nützlich. Da die Zeitersparnis für die Durchführung einer einzelnen Vektoroperation sehr gering ist. Wenn aber Zehntausende Operationen durchgeführt werden müssen, wie es bei einem Computer der Fall sein kann, ist die Zeitersparnis beträchtlich.
Schließlich sind die häufig verwendeten Vektorbasen Orthonormalbasen, da sich mit ihnen die Koordinaten eines Vektors einfacher ausdrücken lassen und sie außerdem viele Berechnungen mit Matrizen in der linearen Algebra erleichtern. Nun, alle Vektoren dieser Art von Basen sind normalisierte Vektoren. Beispielsweise ist das kartesische Koordinatensystem eine Orthonormalbasis.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass normalisierte Vektoren nicht unbedingt notwendig sind, da alle Operationen zwischen Vektoren ohne sie durchgeführt werden könnten, sie erleichtern jedoch die Berechnungen erheblich.