In diesem Artikel erklären wir, wie man die Sinusableitung (Formel) erstellt. Sie finden Beispiele für Ableitungen von Sinusfunktionen und gelöste Schritt-für-Schritt-Übungen zum Üben. Darüber hinaus zeigen wir Ihnen die zweite Ableitung des Sinus, die inverse Ableitung des Sinus und demonstrieren sogar die Formel für die Ableitung des Sinus.
Was ist die Ableitung des Sinus?
Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Daher ist die Ableitung des Sinus von x gleich dem Kosinus von x.
Wenn das Sinusargument eine Funktion enthält, ist die Ableitung des Sinus der Kosinus dieser Funktion multipliziert mit der Ableitung der Funktion.
Diese zweite Formel für die Sinusableitung erhält man durch Anwendung der Kettenregel auf die erste Formel. Zusammenfassend lautet die Formel für die Ableitung der Sinusfunktion also:
Beispiele für Sinusableitungen
Nachdem wir die Formel der Sinusableitung kennengelernt haben, erklären wir einige Beispiele dieser Art trigonometrischer Ableitungen, damit Sie vollständig verstehen, wie die Sinusfunktion abgeleitet wird.
Beispiel 1: Ableitung des Sinus von 2x
Im Sinus-Argument haben wir eine Funktion, die sich von x unterscheidet, daher müssen wir die folgende Formel verwenden, um den Sinus abzuleiten:
Die Ableitung von 2x ist 2, also ist die Sinusableitung von 2x das Produkt des Kosinus von 2x mal 2.
Beispiel 2: Ableitung des Sinus von x im Quadrat
Die Formel für die Ableitung der Sinusfunktion lautet:
Und da die Ableitung von x 2 gleich 2x ist, ist die Ableitung des Sinus von x hoch 2:
Beispiel 3: Ableitung des Kubiksinus
In diesem Beispiel setzt sich die Sinusfunktion aus einer anderen Funktion zusammen, wir müssen daher die folgende Regel verwenden, um den Sinus zu differenzieren:
Die Ableitung der Funktion lautet daher:
➤ Um diese Funktion abzuleiten, müssen Sie auch die Formel für die Ableitung einer Potenz anwenden.
Zweite Ableitung des Sinus
Anschließend analysieren wir die zweite Ableitung der Sinusfunktion, da sie als trigonometrische Funktion besondere Eigenschaften aufweist.
Wie wir oben gesehen haben, ist die Ableitung des Sinus der Kosinus. Nun, die Ableitung des Kosinus ist Sinus, hat aber das Vorzeichen geändert. Das bedeutet, dass die zweite Ableitung des Sinus der Sinus selbst ist, aber das Vorzeichen geändert hat .
![\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7a312c69d71be2df495ba30f6e3b85e2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wenn das Sinusargument jedoch nicht x ist, ändert sich diese Bedingung, da wir den Kettenregelterm ziehen müssen:
![\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6a3a1255d5494e320a50ef02bce9d19_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Inverse sinusförmige Ableitung
Wie Sie wissen, hat jede trigonometrische Funktion eine Umkehrfunktion, sodass auch der Umkehrsinus differenzierbar ist.
Die Ableitung des Umkehrsinus ist gleich dem Quotienten aus der Ableitung der Argumentfunktion geteilt durch die Quadratwurzel aus eins minus dem Quadrat der Argumentfunktion.
Denken Sie daran, dass der Umkehrsinus auch Arkussinus genannt wird.
Die Umkehrsinusableitung von 5x lautet beispielsweise:
Gelöste Übungen zur Sinusableitung
Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Sinusfunktionen:
Demonstration der Sinusableitung
In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass die Ableitung des Sinus von x der Kosinus von x ist, indem wir die Definition der Ableitung verwenden, die lautet:
In diesem Fall ist die abzuleitende Funktion sin(x), daher:
Der Sinus einer Summe kann durch Anwenden der folgenden trigonometrischen Identität umgeschrieben werden:
Wir wandeln den Bruch in zwei Brüche mit demselben Nenner um. Wir können diese Operation dank des Gesetzes vom Grenzwert einer Summe durchführen.
![\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3368ab9ecc3a19ad382f85707d6e66cc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
➤ Siehe: Grenzgesetze
Die Terme Sinus von x und Cosinus von x hängen nicht vom Wert von h ab, wir können sie daher aus dem Grenzwert herausnehmen:
Jetzt müssen wir nur noch diese beiden trigonometrischen Grenzen anwenden:
➤ Hinweis: Sie können in der Suchmaschine unserer Website nach der Demonstration der beiden vorherigen trigonometrischen Grenzen suchen.
Und wir zeigen damit, dass die Ableitung des Sinus von x der Kosinus von x ist.