Etymologisch kommen Quaternionen oder Quaternionen vom lateinischen quaterni . Im Spanischen bedeutet das Wort „um vier“. Seine Interpretation bedeutet jedoch „Anzahl der vier Elemente“.
Quaternionen sind Elemente eines nichtpermutanten Feldes, das ursprünglich von William Rowan Hamilton geschaffen wurde. Quaternionen werden als Erweiterung der reellen Zahlen definiert, aus denen eine hyperkomplexe Zahl besteht. Tatsächlich sind sie den komplexen Zahlen ziemlich ähnlich.
Das heißt, Quaternionen entstehen aufgrund einer analog verursachten Verstärkung. Andererseits werden komplexe Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen um die Summe der imaginären Einheit i erzeugt, sodass i im Quadrat gleich -1 ist. Im ersten Fall werden zu den reellen Zahlen die imaginären Einheiten k , i und j addiert.
Daher gilt in Bezug auf Quaternionen: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1. Diese Darstellung entspricht derjenigen in Cayleys Tabelle . An dieser Stelle ist es erwähnenswert, dass i , j , k und 1 die vier Grundpfeiler von Quaternionen sind.
| × | 1 | Yo | J | Was |
| 1 | 1 | Yo | J | Was |
| Yo | Yo | -1 | Was | -J |
| J | J | -k | -1 | Yo |
| Was | Was | J | -Yo | -1 |
William Hamilton erfand 1843 die Quaternionen als eine Methode, die es ihm ermöglichte, Vektoren zu multiplizieren und zu dividieren, sie zu drehen und zu strecken.
Wie werden Quaternionen hergestellt?
Quaternionen bilden eine wunderschöne Algebra, in der jedes ihrer Objekte 4 Variablen enthält . Tatsächlich werden sie manchmal als Euler-Parameter bezeichnet, die nicht mit Euler-Winkeln verwechselt werden sollten. Diese Objekte können auf ähnliche Weise wie die Algebra regulärer Zahlen als eine Einheit addiert und multipliziert werden.
Es gibt jedoch einen Unterschied. Mathematisch gesehen ist die Quaternion-Multiplikation nicht kommutativ.
Quaternionen haben 4 Dimensionen. Jede Quaternion besteht aus 4 Skalarzahlen , einer realen Dimension und 3 imaginären Dimensionen. Jede dieser imaginären Dimensionen hat einen Einheitswert der Quadratwurzel von -1. Dies sind jedoch verschiedene Quadratwurzeln von -1, die alle senkrecht zueinander stehen und i , j und k genannt werden. Somit kann eine Quaternion wie folgt dargestellt werden:
x = (a, b, c, d) was geschrieben wird x = a + bi + cj + dk
Dementsprechend stellen a, b, c und d reelle Zahlen dar, die durch jede Quaternion eindeutig definiert sind. Dagegen sind die Zahlen 1, i , j und k grundlegend. Wenn wir Quaternionen mithilfe einer Menge darstellen möchten, können wir Folgendes tun: Unter der Annahme, dass IR 4 die Menge darstellt, lautet der Ausdruck: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}
Diese Menge stimmt mit dem realen vierdimensionalen Raum überein. So wie eine Menge reeller Zahlen dem eindimensionalen Raum entspricht und die Menge komplexer Zahlen dem zweidimensionalen Raum entspricht.
Wie ist die algebraische Struktur von Quaternionen?
Ein Quaternion veranschaulicht einen unregelmäßigen Körper . Dies bedeutet, dass es sich um eine algebraische Struktur ähnlich einem Feld handelt. Allerdings ist es bei der Multiplikation nicht kommutativ. Mit anderen Worten: Er erfüllt alle Eigenschaften eines Körpers, sein Ergebnis ist jedoch nicht kommutativ.
Die Quaternion-Multiplikation ist assoziativ. Darüber hinaus hat jede Quaternion ungleich Null eine eindeutige Umkehrung . Quaternionen stellen im Vergleich zu komplexen Zahlen keine assoziative Algebra dar.
Schließlich erzeugen Quaternionen auf die gleiche Weise, wie komplexe Zahlen und reelle Zahlen die euklidischen Vektordimensionen von Einheits- oder Doppelräumen darstellen, eine vierdimensionale euklidische Vektorfläche.
Wie werden Quaternionen in Matrizen dargestellt?
Charakteristisch für Quaternionen sind auch Matrixdarstellungen . In diesem Fall werden für seinen Ausdruck mathematische Matrizen verwendet. Wenn wir beispielsweise die Quaternion p = a + bi + cj + dk haben, ist es möglich, sie wie folgt in einer komplexen 2 x 2-Matrix darzustellen:
Eine andere Möglichkeit, Matrixdarstellungen in Quaternionen zu verwenden, ist die Verwendung echter 4 x 4-Matrizen . Darüber hinaus ist es durch die Verwendung von Matrizen zur Darstellung von Quaternionen möglich, diese als inneres Produkt zweier Vektoren auszudrücken. Somit wäre eine Komponente: = (a1, a2, a3, a4) und die andere {1, i, j, k }.
In diesem Fall wird das Element a 1 , das die Realkomponente erzeugt, separat geschrieben. Darüber hinaus werden für das Skalarprodukt nur die drei Basen i, j, k berücksichtigt:
x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)
Welche grundlegenden Operationen können mit Quaternionen durchgeführt werden?
Um ein Produkt zwischen einer Quaternion und einer anderen zu addieren und zu erhalten, wird komplexe Zahlenarithmetik angewendet. Dies funktioniert genauso wie beim vorherigen IR 4 -Set . Das heißt, dass dieser Satz plus die übrigen Operationen alle Eigenschaften eines Körpers kompensiert. Die einzige Relevanz besteht in diesem Fall darin, dass das Produkt nicht pendelt.
Im Falle einer Addition erfolgt sie semesterweise. Auf jeden Fall funktioniert es genauso wie komplexe Zahlen. Das heißt:
(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.
Beim Produkt erfolgt die Anwendung von Bauteil zu Bauteil . Demnach sieht es so aus:
ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k
Wie wir bereits zuvor betont haben, ist das Produkt von Quaternionen niemals kommutativ. Im Gegenteil, es ist immer assoziativ . Die zuvor ausgearbeiteten Operationen können durch Ersetzen der Darstellungen durchgeführt werden.
Welche Anwendungen gibt es für Quaternionen?
Eine Quaternion geht weit über eine mathematische Untersuchung hinaus. Derzeit gibt es verschiedene Anwendungen. Erstens werden sie verwendet, um Antworten in der Zahlentheorie zu überprüfen. Ein Beispiel hierfür ist der Satz von Lagrange, der besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von 4 perfekten Quadraten ausgedrückt wird.
Andererseits gibt es Anwendungen im Bereich der Physik. Quaternionen sind sehr nützlich für die Quantenmechanik, den Elektromagnetismus und vieles mehr.