Proportionen sind eine mathematische Beziehung zwischen zwei verglichenen Größen . Im Allgemeinen gibt eine Proportion das Verhältnis oder Verhältnis zwischen zwei Größen an. Der Anteil wird als Bruch oder Quotient ausgedrückt. Zusätzlich wird es als Gleichung mit zwei äquivalenten Verhältnissen dargestellt.
Wenn Sie beispielsweise die Anzahl der Männer und Frauen in einer Bevölkerung vergleichen und feststellen, dass auf drei Frauen zwei Männer kommen, beträgt das Verhältnis Männer/Frauen 2:3 .
Wenn Sie ähnlich die Flächen zweier Figuren vergleichen und feststellen, dass die Fläche von Abbildung A doppelt so groß ist wie die von Abbildung B, wäre das Verhältnis der Flächen von A und B 2:1 oder 2/1 . Proportionen werden in vielen Bereichen der Mathematik verwendet, darunter Arithmetik, Geometrie, Statistik und Wahrscheinlichkeit.
Im Wesentlichen dienen sie dazu, zwei Größen zu vergleichen und in Beziehung zu setzen . Darüber hinaus eignen sie sich zur Lösung direkter und umgekehrt proportionaler Probleme. Ebenso für die Interpretation von Daten in statistischen und experimentellen Studien.
In welcher Beziehung stehen mathematische Proportionen zum Begriff „Verhältnis“?
Mathematische Proportionen und der Begriff „Verhältnis“ hängen eng zusammen, da ein Verhältnis eine Gleichheit zwischen zwei Verhältnissen ist . In der Mathematik ist ein Verhältnis die Beziehung zwischen zwei Größen oder Werten, ausgedrückt als Bruch oder Quotient.
Wenn wir beispielsweise zwei Größen A haben und B vergleichen, wird das Verhältnis zwischen A und B als A : B ausgedrückt. In einem Verhältnis sind zwei Verhältnispaare und die Gleichheit zwischen ihnen wird durch einen Bruch dargestellt. Wenn wir also vier Größen A, B, C und D haben, wird das Verhältnis zwischen ihnen als A : B = C : D ausgedrückt, wobei A : B und C : D zwei Verhältnisse sind, die miteinander verglichen werden.
Wie werden die Proportionen berechnet?
Die Berechnung eines Anteils hängt von der Art der Beziehung ab, die zwischen den Werten hergestellt wird. Im Allgemeinen wird zur Berechnung eines Anteils wie folgt vorgegangen:
- Identifizieren Sie die zwei oder mehr Variablen, die miteinander in Beziehung stehen . Wenn Sie beispielsweise das Verhältnis zwischen der Anzahl der geleisteten Arbeitsstunden und dem erhaltenen Gehalt berechnen möchten, wären die beiden Variablen die Anzahl der geleisteten Arbeitsstunden und das Gehalt.
- Schreiben Sie eine Gleichung, die die Variablen in Beziehung setzt . Im direkten Verhältnis hat die Gleichung die Form y = kx, wobei y die abhängige Variable, x die unabhängige Variable und k eine Konstante ist, die das Verhältnis zwischen den Variablen darstellt. Im umgekehrten Verhältnis hat die Gleichung die Form y = k ÷ x.
- Lösen Sie nach der Konstanten k auf . Dazu können die verfügbaren Informationen über die Werte der Variablen genutzt werden, um die Konstante k aus der Gleichung zu isolieren. Wenn wir beispielsweise wissen, dass ein Arbeiter für 8 Arbeitsstunden 80 US-Dollar verdient, können wir die Konstante k aus der Gleichung y = kx auflösen:
80 = 8k
k = 10
- Verwenden Sie die Konstante k, um andere Werte des Anteils zu berechnen . Sobald die Konstante k gelöst ist, kann die Gleichung zur Berechnung anderer Werte des Anteils verwendet werden. Wenn Sie beispielsweise wissen möchten, wie viel ein Arbeiter verdienen würde, der 10 Stunden am Tag arbeitet, können Sie die Gleichung y = kx mit k = 10 und x = 10 verwenden:
y = kx = 10 10 = 100
Im Allgemeinen ist die Berechnung eines Anteils mehr oder weniger komplex, abhängig von der Beziehung zwischen den Variablen und den verfügbaren Informationen zu ihren Werten. In einigen Fällen ist es notwendig, fortgeschrittenere Methoden wie Differential- und Integralrechnung zu verwenden, um den Anteil im Detail zu analysieren.
Welche Arten von Proportionen gibt es?
In mathematischen Proportionen können zwei Typen definiert werden. Anschließend werden die einzelnen Erkenntnisse beschrieben.
direkter Anteil
Bei einem direkten Verhältnis steigen oder fallen zwei oder mehr Variablen im gleichen Verhältnis . Das heißt, wenn eine Variable zunimmt, nimmt auch die andere proportional zu. Ein Beispiel für einen direkten Zusammenhang ist Zeit und Distanz, wobei mit zunehmender Zeit auch die zurückgelegte Distanz zunimmt.
Ein Beispiel für einen direkten Anteil ist das Verhältnis zwischen der Anzahl der geleisteten Arbeitsstunden und dem erhaltenen Gehalt. Wenn ein Arbeitnehmer 10 € pro Stunde verdient und 8 Stunden am Tag arbeitet, beträgt sein Tageslohn:
8 Stunden 10 €/Stunde = 80 €
Wenn der Arbeitnehmer mehr Stunden arbeitet, erhöht sich sein Gehalt direkt proportional. Wenn Sie beispielsweise 10 Stunden am Tag arbeiten würden, wäre Ihr Gehalt:
10 Stunden 10 €/Stunde = 100 €
Wenn Sie stattdessen weniger Stunden arbeiten würden, würde Ihr Gehalt direkt proportional sinken. Wenn Sie beispielsweise nur 6 Stunden pro Tag arbeiten würden, wäre Ihr Gehalt:
6 Stunden 10 €/Stunde = 60 €
umgekehrtes Verhältnis
Im umgekehrten Verhältnis stehen zwei oder mehr Variablen in einer entgegengesetzten Beziehung . Mit anderen Worten: Wenn eine Variable zunimmt, nimmt die andere im gleichen Verhältnis ab. Ein Beispiel für eine umgekehrte Beziehung ist Zeit und Geschwindigkeit, wobei die Geschwindigkeit abnimmt, wenn die Zeit zunimmt.
Ein Beispiel für eine umgekehrte Proportion ist die Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und der Zeit, die ein Auto benötigt, um eine bestimmte Strecke zurückzulegen. Wenn ein Auto mit 60 km/h fährt, braucht es 2 Stunden, um eine Strecke von 120 km zurückzulegen:
Geschwindigkeit = 60 km/h
Distanz = 120 km
Zeit = Distanz ÷ Geschwindigkeit = 120 km ÷ 60 km/h = 2 Stunden
Wenn das Auto seine Geschwindigkeit auf 80 km/h erhöht, dauert es weniger Zeit, die gleiche Strecke zurückzulegen:
Geschwindigkeit = 80 km/h
Distanz = 120 km
Zeit = Distanz ÷ Geschwindigkeit = 120 km ÷ 80 km/h = 1,5 Stunden
Geschwindigkeit und Zeit verhalten sich in diesem Fall umgekehrt proportional, denn mit zunehmender Geschwindigkeit verringert sich die Zeit, die zum Zurücklegen derselben Strecke benötigt wird, im gleichen Verhältnis.
Wie wichtig sind Proportionen?
Proportionen sind in der Mathematik und vielen anderen Lebensbereichen wichtig. Im Allgemeinen ermöglichen sie uns, verschiedene Größen auf sinnvolle und nützliche Weise zu vergleichen und in Beziehung zu setzen .
Erstens ermöglichen uns Proportionen , reale und mathematische Probleme effizient und effektiv zu lösen . Regelmäßig werden sie eingesetzt, um Lösungen für komplexe Probleme zu finden. Zum Beispiel technische Probleme oder persönliche Finanzprobleme.
Andererseits dienen sie dazu, zwei Größen sinnvoll zu vergleichen , auch wenn die Mengen sehr unterschiedlich sind. Wenn wir beispielsweise den Preis zweier Produkte unterschiedlicher Größe oder Marke vergleichen, können wir anhand eines Verhältnisses ermitteln, welches Produkt das bessere Preis-Leistungs-Verhältnis bietet.
Darüber hinaus ist es dank der Proportionen möglich , aussagekräftige Vergleiche zwischen verschiedenen Optionen anzustellen, was uns hilft, fundierte Entscheidungen zu treffen. Wenn wir beispielsweise verschiedene Mobilfunktarife oder Urlaubspakete vergleichen, können wir anhand der Verhältnisse ermitteln, welches das beste Preis-Leistungs-Verhältnis bietet.
Welche Anwendungsmöglichkeiten gibt es für Proportionen?
Verhältnisse haben vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, Technik und des täglichen Lebens. Einige der häufigsten Anwendungen sind:
- Finanzen : Kennzahlen werden im Finanzwesen zur Berechnung von Finanzkennzahlen wie Schuldenquote, Liquiditätsquote und Rentabilitätsquote verwendet. Mithilfe dieser Kennzahlen können Finanzanalysten die finanzielle Leistung eines Unternehmens bewerten und fundierte Investitionsentscheidungen treffen.
- Statistik – Wird in der Statistik zur Berechnung von Prozentsätzen, Wachstumsraten und anderen Maßen verwendet, die die Beziehung zwischen zwei oder mehr Werten ausdrücken. Diese Messungen ermöglichen es Forschern, Daten zu vergleichen und Rückschlüsse auf die interessierende Population zu ziehen.
- Geometrie – Sie werden in der Geometrie verwendet, um die Längen, Flächen und Volumina geometrischer Figuren zu berechnen. Beispielsweise gibt der Satz des Pythagoras ein Verhältnis zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks an, das zur Berechnung der Seitenlängen verwendet wird.
- Naturwissenschaften : Sie werden in den Naturwissenschaften verwendet, um die Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen auszudrücken. In der Chemie werden Proportionen beispielsweise verwendet, um die Stöchiometrie einer chemischen Reaktion und das Verhältnis zwischen den Mengen an Reaktanten und Produkten zu berechnen.
- Ingenieurwesen : Sie sind im Ingenieurwesen nützlich, um Systeme und Prozesse zu entwerfen und zu optimieren. Im Maschinenbau werden beispielsweise Verhältnisse verwendet, um den Zusammenhang zwischen der ausgeübten Kraft und der Geschwindigkeit eines mechanischen Systems zu berechnen.
Einfache Beispiele zum besseren Verständnis der Proportionen
1. Wenn 3 Äpfel 1 Euro kosten, wie viel kosten dann 5 Äpfel?
Lösung : Das Verhältnis von Äpfeln pro Euro beträgt 3 : 1 = 3. Für 5 Äpfel beträgt der benötigte Geldbetrag also (5 : 3) · 1 = 1,67 Euro (ungefähr).
2. Wenn 4 Personen für 8 Euro eine Pizza teilen können, wie viel kostet dann die gleiche Pizza für 6 Personen?
Lösung : Das Verhältnis der Personen pro Pizza beträgt 4 : 8 = 1 : 2. Für 6 Personen beträgt der benötigte Geldbetrag also (6 : 4) · 8 = 12 Euro.
3. Wenn ein Geschäft 20 % Rabatt auf ein T-Shirt zum Preis von 25 Euro anbietet, wie viel kostet das Werbe-T-Shirt?
Lösung : Der Rabatt von 20 % entspricht einem Preisnachlass von 0,2 · 25 = 5 Euro. Daher beträgt der reduzierte Preis 25 – 5 = 20 Euro.
Tipps zum einfachen Erlernen von Proportionen
Hier sind einige einfache Tipps, um Proportionen und ihren Nutzen besser zu verstehen.
- Stellen Sie sicher, dass Sie das Konzept der Proportionen verstehen, bevor Sie versuchen, Probleme zu lösen.
- Beginnen Sie mit einfachen Problemen und gehen Sie dann schrittweise zu komplexeren Problemen über.
- Üben Sie das Erkennen von Proportionen in Alltagssituationen. Wenn Sie beispielsweise eine Getränkemischung zubereiten, können Sie das Verhältnis der Zutaten ermitteln, die für eine perfekte Mischung erforderlich sind.
- Verwenden Siestatistische Tabellen und Grafiken, um Proportionen zu visualisieren.
- Suchen Sie nach Video-Tutorials oder interaktiven Übungen, um Ihre Fähigkeiten zu verbessern.
Seit wann sollten Proportionen gelehrt werden?
Proportionen sind ein Grundfach der Mathematik und müssen im Grundschulunterricht gelehrt werden . Normalerweise werden Proportionen in der Grundschule unterrichtet, meist in der dritten oder vierten Klasse.
An diesem Punkt beginnen die Schüler, sich mit Brüchen und Dezimalzahlen vertraut zu machen, bei denen es sich um Konzepte handelt, die sich auf Proportionen beziehen.
Allerdings ist der Unterricht kontinuierlicher Proportionen im Gymnasium . In dieser Phase befassen sich die Schüler eingehender mit den Konzepten und Anwendungen der Proportionen, beispielsweise mit der Lösung von Problemen mit Prozentsätzen, der direkten und umgekehrten Proportionalität sowie dem einfachen und zusammengesetzten Dreiersatz .