Potenzen komplexer Zahlen

Das Lösen der Potenzen komplexer Zahlen ist ziemlich einfach, wenn man die richtige Methode kennt. Daher erklären wir in diesem Artikel, wie man komplexe Potenzen auf drei Arten löst: für komplexe Zahlen in Binomialform, in Polarform und in trigonometrischer Form.

Wie löst man die Potenz einer komplexen Zahl?

Wie bereits in der Einleitung erwähnt, können beim Umgang mit komplexen Befugnissen drei Situationen auftreten. Die erste und einfachste Möglichkeit besteht darin, dass wir die Zahl in Polarform erhalten. Im zweiten Fall erhalten wir die Zahl in Binomialform und im dritten Fall erhalten wir die Zahl in trigonometrischer Form.

Mit anderen Worten: Beim Arbeiten mit Komplexen in polarer Form lässt sich die Aufgabe schneller lösen. Daher empfiehlt es sich, die jeweilige Zahl in die Polarform umzuwandeln. Aber eigentlich sind alle Methoden einfach zu lösen . Wir erklären Ihnen jedoch, wie alle Fälle gelöst werden, und bieten Ihnen eine Übung an.

Potenzen komplexer Zahlen in Polarform

Wenn wir komplexe Potenzen in Polarform lösen wollen, erhöhen wir einfach den Modul auf beliebig und multiplizieren das Argument mit n. Mathematisch ausgedrückt erhalten wir folgende Formel:

Hier sind einige Beispiele, damit Sie versuchen können, sie selbst zu lösen:

Das Verfahren ist sehr einfach, da Sie nur die oben kommentierten Formeln anwenden müssen und das Ergebnis bereits vorliegt.

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Potenzen komplexer Zahlen in Binomialform

Wenn wir andererseits komplexe Potenzen in Binomialform lösen wollen, können wir zwei verschiedene Methoden verwenden. Der erste befasst sich mit der Lösung der Potenz auf „algebraische“ Weise (die Auflösung erfolgt so, als ob ich eine Variable wäre). Und das zweite System besteht darin, die Binomialform in eine Polarform umzuwandeln und dann dem vorherigen Verfahren zu folgen.

Wenn Sie nicht wissen, wie Sie von der Binomialform zur Polarform gelangen, erklären wir Ihnen das ganz anschaulich in unserem Artikel über komplexe Zahlen . Aber jetzt werden wir es schnell anhand eines Beispiels sehen.

Versuchen Sie, die folgende komplexe Potenz zu lösen: (2 + 3i) ² .

Zunächst werden wir sehen, wie die Operation mit der „algebraischen Methode“ gelöst wird.

In diesem speziellen Fall können wir ein bemerkenswertes Produkt anwenden: (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² .

(2 + 3i) ² = 2 ² + 2 2 3i + 3i ²

Dann operieren und vereinfachen wir.

= 4 – 9 + 12i = -5 + 12i

Zweitens können wir die zweite Methode verwenden. Wir beginnen daher damit, die Zahl in Polarform auszudrücken:

Dann operieren wir nach den Formeln, die wir eingangs kommentiert haben.

Und schließlich erhalten wir das gleiche Ergebnis, nur in polarer Form. Wenn Sie der Meinung sind, dass es sich nicht um dieselbe Zahl handelt, können Sie versuchen, sie selbst umzurechnen. Natürlich müssen Sie bedenken, dass das Argument des Ergebnisses in Binomialform, das wir erhalten haben , im zweiten Quadranten liegt. Wir müssen also π zum Winkel addieren.

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Potenzen komplexer Zahlen in trigonometrischer Form

Wenn wir schließlich komplexe Potenzen in trigonometrischer Form lösen wollen, müssen wir die bekannte Formel von de Moivre verwenden. Was wie folgt geschrieben ist: