Parametrische Gleichungen der Ebene

Auf dieser Seite erfahren Sie, was die parametrischen Gleichungen eines Plans sind und wie sie berechnet werden (Formel). Darüber hinaus können Sie Beispiele sehen und mit Schritt für Schritt gelösten Übungen üben.

Was sind die parametrischen Gleichungen einer Ebene?

In der analytischen Geometrie sind die parametrischen Gleichungen einer Ebene Gleichungen, die es ermöglichen, jede Ebene mathematisch auszudrücken. Um die Parametergleichungen einer Ebene zu finden, benötigen wir lediglich einen Punkt und zwei linear unabhängige Vektoren, die zu dieser Ebene gehören.

Formulierung parametrischer Gleichungen des Plans

Betrachten Sie einen Punkt und zwei Richtungsvektoren einer Ebene:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

Die Formel für die parametrischen Gleichungen einer Ebene lautet:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

Gold

$\lambda$

Und

$\mu$

sind zwei Skalare, also zwei reelle Zahlen.

Wichtig ist, dass die beiden Richtungsvektoren der Ebenengleichung linear unabhängig sind, also eine unterschiedliche (nicht parallele) Richtung haben. Andernfalls würde die obige Gleichung keinen Plan darstellen.

Bedenken Sie andererseits, dass es neben der parametrischen Gleichung auch andere Möglichkeiten gibt, eine Ebene im Raum (in R3) analytisch auszudrücken, beispielsweise die allgemeine Ebenengleichung . In diesem Link finden Sie die Formel, wie sie aus den parametrischen Gleichungen des Plans berechnet wird, Beispiele und gelöste Übungen.

Beispiel für das Finden parametrischer Gleichungen einer Ebene

Nachdem wir gesehen haben, wie die parametrische Gleichung der Ebene lautet, sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie sie berechnet wird:

Finden Sie die Parametergleichungen der Ebene, die durch den Punkt verläuft
$P(1,3,2)$

und enthält die Vektoren

$\vv{\text{u}}=(2,0,-1)$

Und

$\vv{\text{v}}=(4,2,3)$

Um die parametrischen Gleichungen des Plans zu bestimmen, wenden Sie einfach seine Formel an:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

Und jetzt setzen wir den Punkt und jeden Richtungsvektor in die Gleichung ein:

$\displaystyle \begin{cases}x=1 + \lambda \cdot 2 + \mu \cdot 4 \\[1.7ex] y=3+ \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 2\\[1.7ex] z=2 + \lambda\cdot (-1)+ \mu \cdot 3\end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=1 + 2\lambda + 4\mu } \\[1.7ex] \bm{y=3 + 2\mu}\\[1.7ex] \bm{z=2 -\lambda+ 3\mu} \end{cases}$

Wie kommt man von der Vektorgleichung einer Ebene zu parametrischen Gleichungen?

Eine andere Methode zur Bestimmung der parametrischen Gleichungen einer Ebene ist die Vektorgleichung einer Ebene. Unten können Sie die Demo sehen.

Die Vektorgleichung einer beliebigen Ebene sei:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Wir operieren und führen zunächst die Produkte von Vektoren durch die Skalare aus:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+ (\lambda\text{u}_x,\lambda\text{u}_y,\lambda\text{u}_z) +(\mu\text{v}_x,\mu\text{v}_y,\mu\text{v}_z)$

Als nächstes fügen wir die Komponenten hinzu:

$(x,y,z)=(P_x+\lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x,P_y+\lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y,P_z+\lambda \text{u}_z + \mu \text{v}_z)$

Und schließlich erhalten wir die parametrische Gleichung der Ebene, indem wir die Koordinaten, die jeder Variablen entsprechen, separat assimilieren:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

Wie Sie in den beiden Beispielen oben sehen können, ist es relativ einfach, die parametrischen Gleichungen einer Ebene zu finden. Da die Aufgaben jedoch etwas komplizierter werden können, finden Sie im Folgenden mehrere gelöste Übungen mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad, damit Sie sie üben können.

Probleme parametrischer Gleichungen der Ebene gelöst

Übung 1

Bestimmen Sie die Parametergleichungen der Ebene, die den Vektor enthält

$\vv{\text{u}}=(2,1,5)$

und geht dabei die folgenden zwei Punkte durch:

$A(3,2,-1)$

Und

$B(-2,-1,1).$

siehe Lösung

Um die Gleichung einer Ebene zu kennen, braucht man einen Punkt und zwei Vektoren und in diesem Fall haben wir nur einen Vektor, wir müssen also einen anderen Richtungsvektor der Ebene finden. Dazu können wir den Vektor berechnen, der die beiden Punkte der Ebene definiert:

$\vv{AB} = B - A = (-2,-1,1) - (3,2,-1) = (-5,-3,2)$

Nachdem wir nun bereits zwei Richtungsvektoren der Ebene und eines Punktes kennen, verwenden wir daher die Formel für die Parametergleichungen der Ebene:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

Und wir setzen die beiden Vektoren und einen der beiden Punkte auf der Ebene in die Gleichung ein:

$\displaystyle \begin{cases}x=3 + \lambda \cdot 2+ \mu \cdot (-5) \\[1.7ex] y=2 + \lambda \cdot 1 + \mu \cdot (-3) \\[1.7ex] z=(-1) + \lambda\cdot 5 + \mu \cdot 2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=3 +2 \lambda-5\mu } \\[1.7ex] \bm{y=2 + \lambda-3 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=-1 + 5\lambda + 2\mu } \end{cases}$

Übung 2

Finden Sie die parametrischen Gleichungen der Ebene, die die folgenden drei Punkte enthält:

$A(4,1,0) \qquad B(2,-3,-1) \qquad C(1,5,3)$

siehe Lösung

Um die parametrischen Gleichungen der Ebene zu finden, müssen wir zwei linear unabhängige Vektoren finden, die in der Ebene miteinander verbunden sind. Und dazu können wir zwei Vektoren berechnen, die durch die 3 Punkte definiert werden:

$\vv{AB} = B - A = (2,-3,-1) - (4,1,0) = (-2,-4,-1)$

$\vv{AC} = C - A = (1,5,3) - (4,1,0) = (-3,4,3)$

Die Koordinaten der beiden gefundenen Vektoren sind nicht proportional, also linear unabhängig voneinander.

Da wir nun bereits zwei Richtungsvektoren und einen Punkt auf der Ebene kennen, wenden wir die Formel für die Parametergleichung der Ebene an:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

Und wir setzen die beiden Vektoren und einen der drei Punkte der Ebene in die Gleichung ein:

$\displaystyle \begin{cases}x=4 + \lambda \cdot (-2)+ \mu \cdot (-3) \\[1.7ex] y=1 + \lambda \cdot (-4) + \mu \cdot 4 \\[1.7ex] z=0 + \lambda\cdot (-1) + \mu \cdot 3 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=4 -2 \lambda-3\mu } \\[1.7ex] \bm{y=1-4 \lambda+4 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=-\lambda + 3\mu } \end{cases}$

Übung 3

Berechnen Sie die parametrischen Gleichungen der durch die folgende Vektorgleichung definierten Ebene:

$(x,y,z)=(0,-1,5)+\lambda (6,1,-2) + \mu (1,-1,3)$

siehe Lösung

Um die Vektorgleichung der Ebene in eine parametrische Gleichung umzuwandeln, müssen Sie mit den Koordinaten operieren und dann jede Variable separat lösen:

$(x,y,z)=(0,-1,5)+\lambda (6,1,-2) + \mu (1,-1,3)$

$(x,y,z)=(0,-1,5)+(6\lambda,\lambda,-2\lambda) + (\mu,-\mu,3\mu)$

$(x,y,z)=(6\lambda+\mu,-1+\lambda-\mu,5-2\lambda+3\mu)$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=6\lambda+\mu } \\[1.7ex] \bm{y=-1+\lambda-\mu} \\[1.7ex] \bm{z=5-2\lambda+3\mu } \end{cases}$

Übung 4

Finden Sie die parametrischen Gleichungen der Ebene, die die Linie enthält

$r$

und ist parallel zur rechten Seite

$s.$

sind die Zeilen:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+t \\[1.7ex] y=2-3t\\[1.7ex] z=4+2t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-4}{2} = \frac{y+3}{2}= \frac{z-2}{-3}$

siehe Lösung

Um die parametrischen Gleichungen der Ebene zu finden, müssen wir zwei Richtungsvektoren und einen Punkt auf der Ebene kennen. Die Anweisung sagt uns, dass sie die Zeile enthält

$r$

Daher können wir den Richtungsvektor und einen Punkt auf dieser Linie nehmen, um die Ebene zu definieren. Darüber hinaus sagt uns die Aussage, dass die Ebene parallel zur Geraden ist

$s,$

wir können also auch den Richtungsvektor dieser Geraden für die Ebenengleichung verwenden.

das Recht

$r$

wird in Form parametrischer Gleichungen ausgedrückt, sodass die Komponenten seines Richtungsvektors die Koeffizienten der Parameterterme sind

$t:$

$\vv{r} =(1,-3,2)$

Und die kartesischen Koordinaten eines Punktes auf derselben Linie sind die unabhängigen Terme der parametrischen Gleichungen:

$P(1,2,4)$

Andererseits die gerade Linie

$s$

hat die Form einer kontinuierlichen Gleichung, so dass die Komponenten ihres Richtungsvektors die Nenner der Brüche sind:

$\vv{s} =(2,2,-3)$

Daher lauten die parametrischen Gleichungen des Plans:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}x=1 + \lambda \cdot 1+ \mu \cdot 2 \\[1.7ex] y=2 + \lambda \cdot (-3) + \mu \cdot 2 \\[1.7ex] z=4 + \lambda\cdot 2 + \mu \cdot (-3) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=1 + \lambda+2\mu } \\[1.7ex] \bm{y=2-3 \lambda+2 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=4+2\lambda -3\mu } \end{cases}$

Parametrische gleichungen der ebene

Was sind die parametrischen Gleichungen einer Ebene?

Formulierung parametrischer Gleichungen des Plans

Beispiel für das Finden parametrischer Gleichungen einer Ebene

Wie kommt man von der Vektorgleichung einer Ebene zu parametrischen Gleichungen?

Probleme parametrischer Gleichungen der Ebene gelöst

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

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