Auf dieser Seite finden Sie die Erklärung, was ein Ort ist. Darüber hinaus können Sie mehrere Beispiele von Orten sehen, um das Konzept vollständig zu verstehen.
Was ist ein Ort?
In der analytischen Geometrie ist ein Ort eine Menge von Punkten, die eine bestimmte geometrische Bedingung erfüllen.
Es kann sein, dass Ihnen bei der einfachen Definition eines Ortes das Konzept nicht ganz klar war, weil es schwer zu verstehen ist. Schauen wir uns also ein Beispiel an, um die Bedeutung zu vervollständigen:
Sie wissen wahrscheinlich, was Kreise sind. Ein Kreis ist ein klares Beispiel für einen geometrischen Ort, da alle Punkte auf der Ebene, die einen Kreis bilden, dieselbe geometrische Eigenschaft erfüllen: Alle Punkte auf einem Kreis haben den gleichen Abstand von einem anderen festen Punkt ( der Mittelpunkt des besagten Kreises).
Andererseits muss diese geometrische Eigenschaft, die alle Punkte eines Ortes erfüllen müssen, mathematisch durch algebraische Gleichungen ausgedrückt werden können.
Daher werden Orte verwendet, um verschiedene geometrische Figuren zu definieren. Nachfolgend finden Sie Beispiele für die wichtigsten Orte.
Beispiele für Orte
Nachdem wir gesehen haben, was der Ort von Punkten bedeutet, gehen wir nun zu mehreren Beispielen für Orte über. Unter ihnen stechen die sogenannten Kegelschnitte hervor, nämlich der Umfang , die Ellipse , die Parabel und die Hyperbel .
Diese geometrische Gruppe wird Kegelschnitte genannt, weil sie alle aus einem Kegel gewonnen werden können. Wenn Sie wissen möchten, wie das geht, können Sie sich unsere Seite zu konischen Abschnitten ansehen. Dort finden Sie eine detaillierte Erklärung, was sie sind und warum sie so wichtig sind.
Umfang
Wie wir zuvor gesehen haben, ist jeder Kreis ein Ort, der insbesondere die folgende Bedingung erfüllt:
Der Umfang ist der Ort der Punkte auf der kartesischen Ebene, die von einem festen Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind .
Wie Sie wissen, wird dieser Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Kreises und einem seiner Punkte als Radius bezeichnet.
Der Umfang ist eine geometrische Figur von besonderer Bedeutung für die Mathematik, da sie viele Anwendungen hat. Sie können sehen, wie Sie einen Kreis mithilfe der Kreisgleichung numerisch definieren. Darüber hinaus finden Sie hier alle Arten von Umfangsgleichungen sowie zugehörige Probleme und gelöste Übungen zum Üben.
Ellipse
Die Ellipse ist eine flache, geschlossene, gekrümmte Linie, die dem Umfang sehr ähnlich ist, ihre Form jedoch eher oval ist.
Genauer gesagt ist die Ellipse der Ort aller Punkte auf der XY-Ebene, deren Summe der Abstände zu zwei anderen festen Punkten (genannt Brennpunkte F und F‘) konstant ist.
Die analytische Darstellung einer Ellipse ist der eines Kreises sehr ähnlich. Wenn Sie möchten, können Sie zu diesem Link gehen, um zu erfahren, wie die reduzierte Gleichung der Ellipse aussieht. Hier finden Sie auch die Elemente, die eine Ellipse definieren, und sogar verschiedene Beispiele und gelöste Übungen.
Gleichnis
In der Mathematik ist eine Parabel der Ort von Punkten auf der Ebene, die den gleichen Abstand von einem festen Punkt (genannt Fokus) und einer festen Linie (genannt Leitlinie) haben.
Unten ist eine Parabel grafisch dargestellt (orangefarbene Kurve).
Wir haben versucht, alles, was Sie über das Gleichnis wissen müssen, auf einer Seite zu konzentrieren. Dort werden alle Elemente erklärt, die eine Parabel beschreiben, ihre verschiedenen Gleichungen, ihre Eigenschaften, ihre tatsächlichen Anwendungen usw. Kurz gesagt, unter dem folgenden Link erfahren Sie alles über die Parabel (Mathematik) .
Hyperbel
Eine Hyperbel ist der Ort von Punkten auf der Ebene, der die folgende Bedingung erfüllt: Der Absolutwert der Abstandsdifferenz zwischen einem beliebigen Punkt auf der Hyperbel und zwei festen Punkten (Brennpunkten genannt) muss konstant sein.
Darüber hinaus entspricht der Wert der Subtraktion dieser beiden Abstände immer dem Abstand zwischen den beiden Eckpunkten der Hyperbel.
In der folgenden grafischen Darstellung können Sie erkennen, dass eine Hyperbel immer aus zwei Zweigen besteht:
Wie Sie erraten können, der Parameterwert
einer Hyperbel ist grundlegend für Hyperbeln. In unserer Erklärung der Hyperbel erfahren Sie, warum es sich um einen so wichtigen Koeffizienten handelt und welche Elemente eine Hyperbel charakterisieren. Darüber hinaus erfahren Sie, wie die Gleichung einer Hyperbel aussieht, welche verschiedenen Arten von Hyperbeln es gibt und sogar Schritt-für-Schritt-Aufgaben und Übungen zu Hyperbeln.
Weitere Ortsbeispiele
Die am häufigsten analysierten Loci-Typen in der Mittel- und Oberstufe sind die vier vorherigen, die wir gesehen haben, aber es gibt auch andere Beispiele für bekannte Loci:
- Winkelhalbierende : Die Winkelhalbierende ist der Ort der Punkte, die von zwei festen Punkten gleich weit entfernt sind. Wenn diese beiden Punkte außerdem die Enden eines Segments sind, ist die Winkelhalbierende auch die Senkrechte, die das Segment in der Mitte schneidet. Wenn Sie mehr Interesse haben, können Sie hier sehen, wie der Mittelpunkt eines Segments berechnet wird.
- Winkelhalbierende : Die Winkelhalbierende ist der Ort der Punkte, die von den Seiten eines Winkels gleich weit entfernt sind. Mit anderen Worten: Die Winkelhalbierende ist die Linie, die einen Winkel halbiert.
- Parallele Linie : Eine parallele Linie ist der Ort von Punkten, die den gleichen Abstand von einer bestimmten Linie haben. Oder anders ausgedrückt: Der Abstand zwischen zwei parallelen Linien ist immer gleich.