Matrixmultiplikation

Auf dieser Seite erfahren Sie, wie Sie Matrizen mit den Dimensionen 2×2, 3×3, 4×4 usw. multiplizieren . Wir erklären Ihnen das Verfahren der Matrizenmultiplikation Schritt für Schritt anhand eines Beispiels, anschließend finden Sie gelöste Aufgaben, damit Sie diese auch üben können. Abschließend erfahren Sie, wann zwei Matrizen nicht multipliziert werden können und welche Eigenschaften diese Matrixoperation hat.

Wie multipliziert man zwei Matrizen?

Sehen wir uns die Vorgehensweise zur Durchführung der Multiplikation zweier Matrizen anhand eines Beispiels an:

Um eine Matrixmultiplikation zu berechnen, müssen die Zeilen der linken Matrix mit den Spalten der rechten Matrix multipliziert werden.

Zuerst müssen wir also die erste Zeile mit der ersten Spalte multiplizieren. Dazu multiplizieren wir jedes Element in der ersten Zeile nacheinander mit jedem Element in der ersten Spalte und addieren die Ergebnisse. All dies wird also das erste Element der ersten Zeile des resultierenden Arrays sein. Schauen Sie sich das Verfahren an:

wie man 2x2-Matrixmultiplikationen löst, Operationen mit Matrizen

1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 3 + 8 = 11. Also:

Jetzt müssen wir die erste Zeile mit der zweiten Spalte multiplizieren. Deshalb wiederholen wir den Vorgang: Wir multiplizieren jedes Element der ersten Zeile einzeln mit jedem Element der zweiten Spalte und addieren die Ergebnisse. Und all dies wird das zweite Element der ersten Zeile des resultierenden Arrays sein:

1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 1 = 5 + 2 = 7. Also:

Sobald wir die erste Zeile der resultierenden Matrix gefüllt haben, gehen wir zur zweiten Zeile über. Wir multiplizieren daher die zweite Zeile mit der ersten Spalte, indem wir den Vorgang wiederholen: Wir multiplizieren eins nach dem anderen jedes Element der zweiten Zeile mit jedem Element der ersten Spalte und addieren die Ergebnisse:

-3 ⋅ 3 + 0 ⋅ 4 = -9 + 0 = -9. Noch:

Zum Schluss multiplizieren wir die zweite Zeile mit der zweiten Spalte . Immer mit dem gleichen Verfahren: Wir multiplizieren jedes Element der zweiten Zeile einzeln mit jedem Element der zweiten Spalte und addieren die Ergebnisse:

-3 ⋅ 5 + 0 ⋅ 1 = -15 + 0 = -15. Noch:

Und hier endet die Multiplikation der beiden Matrizen. Wie Sie gesehen haben, müssen Sie die Zeilen mit den Spalten multiplizieren und dabei immer den gleichen Vorgang wiederholen: Multiplizieren Sie jedes Element der Zeile nacheinander mit jedem Element der Spalte und addieren Sie die Ergebnisse.

Aufgaben zur Matrixmultiplikation gelöst

Übung 1

Lösen Sie das folgende Matrixprodukt:

Übung Schritt für Schritt gelöst: Produkt von 2x2 Matrizen, Operationen mit Matrizen

siehe Lösung

Es ist ein Produkt von Matrizen der Ordnung 2:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] 1 & 5 \end{pmatrix}$

Um ein Matrixprodukt zu lösen, müssen Sie die Zeilen der linken Matrix mit den Spalten der rechten Matrix multiplizieren.

Also multiplizieren wir zunächst die erste Zeile mit der ersten Spalte. Dazu multiplizieren wir jedes Element in der ersten Zeile nacheinander mit jedem Element in der ersten Spalte und addieren die Ergebnisse. Und all dies wird das erste Element der ersten Zeile des resultierenden Arrays sein:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] 1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 3 +2 \cdot 1 & \\[1.1ex] & \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & \\[1.1ex] & \end{pmatrix}$

Jetzt multiplizieren wir die erste Zeile mit der zweiten Spalte, um das zweite Element der ersten Zeile der resultierenden Matrix zu erhalten:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] 1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1\cdot (-2) +2 \cdot 5 \\[1.1ex] & \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 8 \\[1.1ex] & \end{pmatrix}$

Wir gehen zur zweiten Zeile, also multiplizieren wir die zweite Zeile mit der ersten Spalte:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] 1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 8 \\[1.1ex] 3\cdot 3 +4 \cdot 1 & \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5 & 8 \\[1.1ex] 13 & \end{pmatrix}$

Zum Schluss multiplizieren wir die zweite Zeile mit der zweiten Spalte , um das letzte Element der Tabelle zu berechnen:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] 1 & 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & 8 \\[1.1ex]1 & 3\cdot (-2) +4 \cdot 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 8 \\[1.1ex] 13 & 14 \end{pmatrix}$

Das Ergebnis der Matrixmultiplikation ist also:

$\displaystyle \begin{pmatrix} \bm{5} & \bm{8} \\[1.1ex]\bm{13} & \bm{14} \end{pmatrix}$

Übung 2

Finden Sie das Ergebnis der folgenden 2×2-Quadratmatrix-Multiplikation:

Übung Schritt für Schritt gelöst in 2x2-Matrixmultiplikation, Matrixoperationen

siehe Lösung

Es ist ein Produkt von Matrizen der Dimension 2×2.

Um die Multiplikation zu lösen, müssen Sie die Zeilen der linken Matrix mit den Spalten der rechten Matrix multiplizieren:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 6 & -3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4\cdot (-2)+(-1) \cdot 6 & 4\cdot 5+(-1) \cdot (-3) \\[1.1ex](-2)\cdot (-2)+3 \cdot 6 & (-2)\cdot 5+3 \cdot (-3)\end{pmatrix} \\[2ex] & =\begin{pmatrix} \bm{-14} & \bm{23} \\[1.1ex]\bm{22} & \bm{-19} \end{pmatrix} \end{aligned}$

Übung 3

Berechnen Sie die folgende 3×3-Matrixmultiplikation:

Übung Schritt für Schritt gelöst: Multiplikation von 3x3-Matrizen, Matrixoperationen

siehe Lösung

Um eine 3×3-Matrixmultiplikation durchzuführen, müssen Sie die Zeilen der linken Matrix mit den Spalten der rechten Matrix multiplizieren:

$\displaystyle \begin{array}{l} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & -1 \\[1.1ex] 5 & 1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\[1.1ex] 1 & 0 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \\[7.5ex] =\begin{pmatrix} 1 \cdot 3+2 \cdot 1+ 0 \cdot (-1) & 1 \cdot 4+2 \cdot 0+ 0 \cdot 2 & 1 \cdot 0+2 \cdot (-2)+ 0 \cdot 1 \\[1.1ex] 3 \cdot 3+2 \cdot 1+ (-1) \cdot (-1) & 3 \cdot 4+2 \cdot 0+ (-1) \cdot 2 & 3 \cdot 0+2 \cdot (-2)+ (-1) \cdot 1 \\[1.1ex] 5 \cdot 3+1 \cdot 1+ (-2) \cdot (-1) & 5 \cdot 4+1 \cdot 0+ (-2) \cdot 2 & 5 \cdot 0+1 \cdot (-2)+ (-2) \cdot 1 \end{pmatrix} = \\[7.5ex] =\begin{pmatrix} \bm{5} & \bm{4} & \bm{-4} \\[1.1ex] \bm{12} & \bm{10} & \bm{-5} \\[1.1ex] \bm{18} & \bm{16} & \bm{-4} \end{pmatrix}\end{array}$

Übung 4

gegeben die Matrix

$A$

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] 4 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

Berechnung:

$\displaystyle 2A\cdot A^t$

siehe Lösung

Wir berechnen zunächst die Transponierungsmatrix von

$A$

um die Multiplikation durchzuführen. Und um die Transponierungsmatrix zu erstellen, müssen wir die Zeilen in Spalten umwandeln. Das heißt, die erste Zeile der Matrix wird zur ersten Spalte der Matrix und die zweite Zeile der Matrix wird zur zweiten Spalte der Matrix. Noch:

$\displaystyle A^t= \begin{pmatrix} 3 & 4 \\[1.1ex] 1 & 2 \\[1.1ex] -2 & -1 \end{pmatrix}$

Die Matrixoperation bleibt daher:

$\displaystyle 2A\cdot A^t = 2 \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] 4 & 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\[1.1ex] 1 & 2 \\[1.1ex] -2 & -1 \end{pmatrix}$

Jetzt können wir die Berechnungen durchführen. Wir rechnen zunächst

$2A$

(obwohl wir auch zuerst berechnen können

$A \cdot A^t$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot (-2) \\[1.1ex] 2 \cdot 4 & 2 \cdot 2 & 2 \cdot (-1) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\[1.1ex] 1 & 2 \\[1.1ex] -2 & -1 \end{pmatrix} =$

$\displaystyle =\begin{pmatrix} 6 & 2 & -4 \\[1.1ex] 8 & 4 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\[1.1ex] 1 & 2 \\[1.1ex] -2 & -1 \end{pmatrix}$

Und schließlich lösen wir das Produkt von Matrizen:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \cdot 3 +2 \cdot 1 + (-4) \cdot (-2) & 6 \cdot 4 +2 \cdot 2 + (-4) \cdot (-1) \\[1.1ex] 8 \cdot 3 +4 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) & 8 \cdot 4 +4 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) \end{pmatrix} =$

$\displaystyle = \begin{pmatrix} \bm{28} & \bm{32} \\[1.1ex]\bm{32} & \bm{42} \end{pmatrix}$

Übung 5

Betrachten Sie die folgenden Matrizen:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] -3 & 5 \end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix} -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix}$

Berechnung:

$\displaystyle A\cdot B - B \cdot A$

siehe Lösung

Es handelt sich um eine Operation, die Subtraktion mit Matrixmultiplikationen der Ordnung 2 kombiniert:

$\displaystyle A\cdot B - B \cdot A= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] -3 & 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] -3 & 5 \end{pmatrix}$

Wir berechnen zunächst die Multiplikation links:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2\cdot (-1) + 4 \cdot 3 & 2\cdot (-2) + 4 \cdot (-3) \\[1.1ex] (-3)\cdot (-1) + 5 \cdot 3 & (-3)\cdot (-2) + 5 \cdot (-3) \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] -3 & 5 \end{pmatrix} =$

$\displaystyle= \begin{pmatrix} 10 & -16 \\[1.1ex] 18 & -9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] -3 & 5 \end{pmatrix}$

Nun lösen wir die Multiplikation rechts:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 10 & -16 \\[1.1ex] 18 & -9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \cdot 2 +(-2) \cdot (-3) & -1 \cdot 4 +(-2) \cdot 5 \\[1.1ex]3 \cdot 2 +(-3) \cdot (-3) & 3 \cdot 4 +(-3) \cdot 5 \end{pmatrix} =$

$\displaystyle =\begin{pmatrix} 10 & -16 \\[1.1ex] 18 & -9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 &-14 \\[1.1ex]15 & -3 \end{pmatrix}$

Und schließlich subtrahieren wir die Matrizen:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 10-4 & -16 -(-14) \\[1.1ex] 18-15 & -9-(-3) \end{pmatrix} =$

$\displaystyle =\begin{pmatrix} \bm{6} & \bm{-2} \\[1.1ex] \bm{3} & \bm{-6} \end{pmatrix}$

Wann kann man zwei Matrizen nicht multiplizieren?

Nicht alle Matrizen können multipliziert werden. Um zwei Matrizen zu multiplizieren, muss die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix mit der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix übereinstimmen.

Beispielsweise kann die folgende Multiplikation nicht durchgeführt werden, da die erste Matrix drei Spalten und die zweite Matrix zwei Zeilen hat:

$\displaystyle\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 4 & 0 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix} \ \longleftarrow \ \color{red} \bm{\times}$

Aber wenn wir die Reihenfolge umkehren, können sie multipliziert werden. Da die erste Matrix zwei Spalten und die zweite Matrix zwei Zeilen hat:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 4 & 0 & 5 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 2\cdot 1 + 1 \cdot 4 & 2\cdot 3 + 1 \cdot 0 & 2\cdot (-2) + 1 \cdot 5 \\[1.1ex] 3\cdot 1 + (-1) \cdot 4 & 3\cdot 3 + (-1) \cdot 0 & 3\cdot (-2) + (-1) \cdot 5 \end{pmatrix} \\[2ex] & = \begin{pmatrix} \bm{6} & \bm{6} & \bm{1} \\[1.1ex]\bm{-1} & \bm{9} & \bm{-11} \end{pmatrix} \end{aligned}$

Eigenschaften der Matrixmultiplikation

Diese Art von Matrixoperation weist die folgenden Merkmale auf:

Die Matrixmultiplikation ist assoziativ:

$\displaystyle \left( A \cdot B \right) \cdot C = A \cdot \left( B \cdot C \right)$

Die Matrixmultiplikation hat auch die Verteilungseigenschaft:

$\displaystyle A\cdot \left(B+C\right) = A\cdot B + A \cdot C$

Das Produkt von Matrizen ist nicht kommutativ:

$\displaystyle A \cdot B \neq B \cdot A$

Die folgende Matrixmultiplikation liefert beispielsweise ein Ergebnis:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1\cdot (-2) + (-1) \cdot 0 & 1\cdot 5 + (-1) \cdot 1 \\[1.1ex] 2\cdot (-2) + 3 \cdot 0 & 2\cdot 5 + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} \\[2ex] & = \begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-4} & \bm{13} \end{pmatrix}\end{aligned}$

Das Ergebnis des Produkts ist jedoch ein anderes, wenn wir die Reihenfolge der Multiplikation der Matrizen umkehren:

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{pmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -2 \cdot 1 + 5\cdot 2 & -2 \cdot (-1) + 5\cdot 3 \\[1.1ex] 0 \cdot 1 + 1\cdot 2 & 0 \cdot (-1) + 1\cdot 3 \end{pmatrix} \\[2ex] & = \begin{pmatrix} \bm{8} & \bm{17} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{3} \end{pmatrix}\end{aligned}$

Darüber hinaus ergibt jede mit der Identitätsmatrix multiplizierte Matrix dieselbe Matrix. Dies wird als multiplikative Identitätseigenschaft bezeichnet:

$\displaystyle A \cdot I=A$

$\displaystyle I \cdot A=A$

Zum Beispiel:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 7 \\[1.1ex] -6 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{7} \\[1.1ex] \bm{-6} & \bm{5} \end{pmatrix}$

Schließlich ist, wie Sie vielleicht schon erraten haben, jede mit der Nullmatrix multiplizierte Matrix gleich der Nullmatrix. Dies nennt man die multiplikative Eigenschaft von Null:

$\displaystyle A \cdot 0=0$

$\displaystyle 0\cdot A=0$

Zum Beispiel:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -4 \\[1.1ex] 3 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \bm{0} & \bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{0}\end{pmatrix}$

Matrix-multiplikation

Wie multipliziert man zwei Matrizen?

Aufgaben zur Matrixmultiplikation gelöst

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

Wann kann man zwei Matrizen nicht multiplizieren?

Eigenschaften der Matrixmultiplikation

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