In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion berechnen. Wir erklären es Ihnen, indem wir zwei Beispiele Schritt für Schritt lösen. Darüber hinaus können Sie mit Schritt-für-Schritt-Übungen die Maxima und Minima einer Funktion üben.
Was sind das Maximum und das Minimum einer Funktion?
Die Maxima einer Funktion sind die größten Werte der Funktion und die Minima einer Funktion sind die kleinsten Werte der Funktion. Die Maxima und Minima einer Funktion sind relative Extreme , wenn sie nur die größten oder kleinsten Werte in ihrer Umgebung darstellen, sie sind jedoch absolute Extreme, wenn sie die größten oder kleinsten Werte der gesamten Funktion darstellen.
Sie können relative Extreme auch identifizieren, indem Sie das Wachstum und die Abnahme der Funktion untersuchen:
- Ein Punkt ist ein relatives Maximum , wenn die Funktion von steigender zu fallender Funktion übergeht.
- Ein Punkt ist ein relatives Minimum , wenn die Funktion von fallend zu steigend übergeht.
So finden Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion
Aus der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion können wir erkennen, ob eine Funktion an einem Punkt ein relatives Extremum hat und ob dieser Punkt ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum ist:
- Eine Funktion hat ein Extremum relativ zu den Punkten, die ihre erste Ableitung aufheben.
- Und das Vorzeichen der zweiten Ableitung der Funktion bestimmt, ob der Punkt ein Maximum oder ein Minimum ist:
- Wenn die zweite Ableitung negativ ist, hat die Funktion an diesem Punkt ein relatives Maximum .
- Wenn die zweite Ableitung positiv ist, hat die Funktion an diesem Punkt ein relatives Minimum .
- Berechnen Sie die relativen Extremwerte der folgenden Funktion und bestimmen Sie, ob es sich um Maxima oder Minima handelt:
- Untersuchen Sie die Monotonie und berechnen Sie die relativen Extremwerte der folgenden Funktion:
Beispiel 1: So berechnen Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion
Nachdem wir die Definitionen des Maximums und Minimums einer Funktion gesehen haben, lösen wir Schritt für Schritt ein Beispiel, damit Sie sehen können, wie das Maximum und das Minimum einer Funktion berechnet werden.
Die relativen Extremwerte der Funktion sind die Punkte, die erfüllen
. Daher berechnen wir zunächst die Ableitung der Funktion:
Und nun setzen wir die Ableitung der Funktion gleich Null und lösen die resultierende quadratische Gleichung:
Daher sind die relativen Extremwerte der Funktion x=+1 und x=-1.
Sobald wir die relativen Extremwerte der Funktion kennen, können wir anhand des Vorzeichens der zweiten Ableitung erkennen, ob sie ein Maximum oder ein Minimum sind. Wir berechnen daher die zweite Ableitung der Funktion:
Und nun bewerten wir in der zweiten Ableitung die relativen Extremwerte, die wir zuvor gefunden haben, um zu wissen, ob sie ein relatives Maximum oder Minimum sind:
Relatives Minimum
Maximal relativ
Die zweite Ableitung bei x=1 ist positiv, also ist x=1 ein relatives Minimum . Andererseits ist die zweite Ableitung bei x=-1 negativ, sodass x=-1 ein relatives Maximum ist .
Schließlich ersetzen wir die gefundenen Punkte in der Originalfunktion, um die Y-Koordinate der relativen Extremwerte zu ermitteln:
Zusammenfassend sind die relativen Extreme der Funktion:
Minimum bis Punkt
Maximal auf den Punkt gebracht
Beispiel 2: Untersuchung der Monotonie sowie der Maxima und Minima einer Funktion
Sehen wir uns nun an, wie eine andere Art von Übung gelöst wird. In diesem Fall erklären wir, wie man aus der Monotonie einer Funktion das Maximum und das Minimum ermittelt.
Als erstes muss der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden. Da es sich um eine rationale Funktion handelt, müssen wir den Nenner auf 0 setzen, um zu sehen, welche Zahlen nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehören:
Nachdem wir den Definitionsbereich der Funktion berechnet haben, müssen wir untersuchen, welche Punkte die erste Ableitung aufheben. Wir leiten daher die Funktion ab:
Und nun setzen wir die Ableitung gleich 0 und lösen die Gleichung:
Der Begriff
Dazu müssen wir die gesamte linke Seite dividieren, damit wir sie mit der gesamten rechten Seite multiplizieren können:
Wir extrahieren den gemeinsamen Faktor, um die quadratische Gleichung zu lösen:
Damit die Multiplikation gleich 0 ist, muss eines der beiden Elemente der Multiplikation Null sein. Wir setzen daher jeden Faktor gleich 0 und erhalten die beiden Lösungen der Gleichung:
![\displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55127e675ce8f7742db17d565c2ae507_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sobald wir den Definitionsbereich der Funktion und berechnet haben
, wir stellen alle kritischen Punkte dar, die auf der Linie gefunden werden:
Und wir bewerten das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion zunimmt oder abnimmt. Dazu nehmen wir einen Punkt in jedem Intervall (niemals die kritischen Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die Ableitung an diesem Punkt hat:
Wenn die Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion zunimmt. Wenn die Ableitung jedoch negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion abnimmt. Daher sind die Wachstums- und Rückgangsintervalle:
Wachstum:
Verringern:
Darüber hinaus geht die Funktion bei x=0 von steigender zu fallender Funktion über, sodass x=0 ein relatives Maximum der Funktion ist . Und bei x=2 geht die Funktion von fallend zu steigend über, sodass x=2 ein relatives Minimum der Funktion ist .
Und schließlich ersetzen wir die in der ursprünglichen Funktion gefundenen Punkte, um die Y-Koordinate der Enden zu ermitteln:
Kurz gesagt sind die relativen Extreme der Funktion:
Maximal auf den Punkt gebracht
Minimum bis Punkt
Gelöste Übungen zu den Maxima und Minima einer Funktion
Übung 1
Berechnen Sie die relativen Extrema der folgenden Polynomfunktion und bestimmen Sie, ob es sich um Maxima oder Minima handelt:
Sehen Sie sich die Lösung anDie relativen Extremwerte der Funktion sind die Punkte, an denen die erste Ableitung der Funktion gleich Null ist. Wir berechnen daher die Ableitung der Funktion:
Und jetzt lösen wir die Gleichung
Wir haben eine quadratische Gleichung, also wenden wir die allgemeine Formel an, um sie zu lösen:
![\begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8e4a1d5ede3779d54c8b9b66571a3394_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Daher sind die relativen Extreme der Funktion die Punkte x=3 und x=-1.
Sobald wir die relativen Extremwerte der Funktion kennen, können wir anhand des Vorzeichens der zweiten Ableitung erkennen, ob sie ein Maximum oder ein Minimum sind. Daher differenzieren wir die Funktion noch einmal:
Und nun werten wir die zuvor berechneten Punkte in der zweiten Ableitung aus:
Die zweite Ableitung bei x=3 ist positiv, also ist x=3 ein Minimum . Und die zweite Ableitung bei x=-1 ist negativ, also ist x=-1 ein Maximum .
Und schließlich ersetzen wir die in der ursprünglichen Funktion gefundenen Punkte, um die Y-Koordinate der Enden zu ermitteln:
Kurz gesagt sind die relativen Extreme der Funktion:
Minimum relativ zum Punkt
Maximum relativ zum Punkt
Übung 2
Berechnen Sie die relativen Extrema der folgenden Exponentialfunktion und bestimmen Sie, ob es sich um Maxima oder Minima handelt:
Sehen Sie sich die Lösung anZuerst müssen wir die Funktion differenzieren. Dazu wenden wir die Formel für die Ableitung eines Produkts an:
Und jetzt lösen wir die Gleichung
![\displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5c0d99b3aa4115c0415e0e57f5df2a5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Eine auf eine andere erhöhte Zahl kann niemals zu 0 führen. Daher gilt:
hat keine Lösung und das einzige relative Extrem ist
.
Jetzt berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion, um zu wissen, dass das relative Extrem ein Maximum oder ein Minimum ist:
Und nun bewerten wir in der zweiten Ableitung das Extrem, das wir zuvor gefunden haben, um zu sehen, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist:
Da die zweite Ableitung bei x=0 positiv ist, ist x=0 ein relatives oder lokales Minimum .
Schließlich ersetzen wir den in der ursprünglichen Funktion gefundenen Punkt, um die andere Endkoordinate zu finden:
Das einzige relative Extremum der Funktion ist daher:
Minimum bis Punkt
Übung 3
Untersuchen Sie die Monotonie und finden Sie die relativen Extreme der folgenden rationalen Funktion:
Sehen Sie sich die Lösung anZuerst bestimmen wir den Definitionsbereich der Funktion. Dazu setzen wir den Nenner des Bruchs gleich Null und lösen die resultierende quadratische Gleichung:
Der Ausdruck
Es wird niemals 0 sein, da das Ergebnis von x 2 immer eine positive Zahl oder 0 sein wird. Daher wird die Addition von 1 niemals 0 ergeben. Der Definitionsbereich der Funktion besteht daher nur aus reellen Zahlen:
Als nächstes untersuchen wir, welche Punkte zusammentreffen
Wir differenzieren die Funktion mit der Quotientenregel:
Wir setzen die Ableitung gleich 0 und lösen die Gleichung:
Wir haben eine quadratische Gleichung, also verwenden wir die allgemeine Formel, um sie zu lösen:
![\begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-836d878f15098c1fe997fbb0392b8733_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sobald wir den Definitionsbereich der Funktion und berechnet haben
, wir stellen alle singulären Punkte dar, die auf der Zahlengeraden gefunden werden:
Und jetzt bewerten wir das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall, um herauszufinden, ob die Funktion zu- oder abnimmt. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die singulären Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die Ableitung an dieser Stelle hat:
Wenn die Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion in diesem Intervall zunimmt. Wenn die Ableitung jedoch negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion abnimmt. Daher sind die Wachstums- und Rückgangsintervalle:
Wachstum:
Verringern:
Die Funktion wechselt bei x=-0,41 von abnehmend zu steigend, sodass x=-0,41 ein lokales Minimum der Funktion ist . Und die Funktion geht bei x=2,41 vom Ansteigenden zum Absteigenden über, sodass x=2,41 ein lokales Maximum der Funktion ist .
Schließlich ersetzen wir die gefundenen Extrema in der ursprünglichen Funktion, um die Y-Koordinaten der Punkte zu ermitteln:
Die relativen Extremwerte der Funktion sind daher:
Minimum bis Punkt
Maximal auf den Punkt gebracht
Übung 4
Wir wissen, dass die Funktion
durch den Punkt gehen
und hat ein relatives Extrem in
Bestimmen Sie den Wert der Unbekannten
und der Wert von
Sehen Sie sich die Lösung anDie Funktion soll ein relatives Extremum haben
das heißt, es ist geschafft
Daher berechnen wir die Ableitung der Funktion in
und wir setzen es gleich 0:
![\left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1786074f9a3b69a0c2a13a0db7a67895_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Und wir lösen die erhaltene Gleichung, um den Wert des Parameters a zu finden:
Die Funktion wird daher sein:
Andererseits sagen sie uns, dass die Funktion durch den Punkt verläuft
Das heißt,
Daher können wir diese Bedingung anwenden, um den Wert der Variablen b zu ermitteln:
![\left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c09bb57a4a4fd3eb5d72f5d35d3c539_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Und wir lösen die erhaltene Gleichung, um den Wert des Parameters b zu finden:
Die Funktion lautet also:
