Matrixdefinition und Matrixtypen

In diesem Artikel erklären wir, was Matrizen sind und wie die Dimension einer Matrix bestimmt wird. Zusätzlich sehen Sie Beispielmatrizen. Und schließlich erfahren Sie, welche Matrizentypen am wichtigsten sind.

Was ist eine Matrix?

eine Befehlsmatrix

$m \times n$

ist eine Menge von Zahlen, die in angeordnet sind

$m$

Reihen und

$n$

Säulen:

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

Matrixbeispiele

Hier einige Beispiele für verschiedene Matrizen:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

Abmessungen eines Tisches

Die Dimension eines Arrays ist

$\bm{m \times n}$

. Gold

$m$

entspricht der Anzahl der Zeilen der Matrix und

$n$

auf die Anzahl der Spalten.

Beispiele:

Dimensionsmatrix

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

Dimensionsmatrix

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

Arten von Matrizen

Im Folgenden erläutern wir die Eigenschaften der wichtigsten Matrixtypen.

Zeilenmatrix

Es ist diese Matrix, die nur eine Zeile hat:

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

Spaltenmatrix

Es ist diese Matrix, die nur eine Spalte hat:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

transponierte Matrix

Die Transpositions- oder Transpositionsmatrix ist die Matrix, die durch die Umwandlung von Zeilen in Spalten erhalten wird. Und es wird durch ein „t“ oben rechts in der Matrix dargestellt

$\left(A^t \right) .$

Beispiele:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

Quadratische Matrix

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die genauso viele Zeilen wie Spalten hat.

$(m=n ) .$

Eine quadratische Matrix der Ordnung 3 wäre beispielsweise:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix besteht aus den Elementen, die von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke verlaufen:

Die sekundäre Diagonale einer quadratischen Matrix entspricht den Elementen, die von der unteren linken Ecke zur oberen rechten Ecke verlaufen:

Sekundärdiagonale einer quadratischen Matrix

Wir empfehlen Ihnen, sich alle Eigenschaften quadratischer Matrizen anzusehen, da sie wahrscheinlich der am häufigsten verwendete Matrizentyp sind und daher für die lineare Algebra sehr wichtig sind.

Dreiecksmatrix

Eine Dreiecksmatrix ist eine Matrix, in der alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonale 0 sind.

Dreiecksmatrizen werden in zwei Typen unterteilt: obere Dreiecksmatrizen , deren Elemente unterhalb der Hauptdiagonale Null sind, und untere Dreiecksmatrizen , deren Elemente oberhalb der Hauptdiagonale Null sind. Um die Unterschiede zwischen ihnen vollständig zu verstehen, können Sie sich andere Beispiele für Dreiecksmatrizen ansehen.

Obere Dreiecksmatrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Untere Dreiecksmatrix:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

diagonale Matrix

Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, in der alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonale liegen, Nullen sind. Die Eigenschaften und andere Beispiele von Diagonalmatrizen können Sie unter diesem Link sehen.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

Obwohl diese Matrizen sehr einfach erscheinen, weil sie viele Nullen enthalten, sind sie tatsächlich für die Mathematik sehr wichtig. Tatsächlich gibt es ein ganzes Verfahren zum Diagonalisieren einer Matrix, daher sind diagonalisierbare Matrizen von großer Bedeutung.

Skalarmatrix

Eine Skalarmatrix ist eine Diagonalmatrix, in der alle Elemente der Hauptdiagonale gleich sind. Wenn Sie möchten, können Sie sich hier weitere Beispiele für Skalarmatrizen ansehen.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Identitätsmatrix oder Einheit

Die Identitätsmatrix ist eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale gleich 1 sind.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Wie jede Diagonalmatrix sieht sie wie eine sehr einfache Art von Matrix aus. Aber lassen Sie sich nicht von ihrem Aussehen täuschen, es handelt sich aufgrund ihrer Eigenschaften um eine weit verbreitete Matrix, beispielsweise wird sie zum Invertieren einer Matrix verwendet. Wir empfehlen Ihnen, die Eigenschaften der Identitätsmatrix zu überprüfen, um ihren Nutzen zu verstehen.

Nullmatrix

Eine Nullmatrix ist eine Matrix, in der alle ihre Elemente 0 sind:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Wie Sie sehen, ist diese Matrix überhaupt nicht komplex. Aber auch wenn es vielleicht nicht so aussieht, hat es seinen Nutzen. Sie können ihre Anwendungen auf der Seite mit den Nullmatrix-Eigenschaften sehen.

symmetrische Matrix

Eine symmetrische Matrix ist eine Matrix, deren Hauptdiagonale eine Symmetrieachse ist.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

Aufgrund der Eigenschaften symmetrischer Matrizen ist das Ergebnis der Transponierung einer symmetrischen Matrix die Matrix selbst.

antisymmetrische Matrix

Eine antisymmetrische Matrix ist eine Matrix, bei der die Hauptdiagonale mit Nullen gefüllt ist und darüber hinaus eine Antisymmetrieachse ist.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

Im folgenden Link sehen Sie alle Eigenschaften und weitere Beispiele antisymmetrischer Matrizen .

Nachdem Sie nun die verschiedenen Tabellentypen kennengelernt haben, fragen Sie sich wahrscheinlich: Was soll das alles? Nun, eine der Hauptanwendungen sind Matrixoperationen, die wichtigste davon ist die Multiplikation, deren Funktionsweise Sie auch auf der Seite „Multiplikationsmatrix“ sehen können.

Matrixdefinition und matrixtypen