Lineare und quadratische Interpolation

Auf dieser Seite erfahren Sie, was es bedeutet, eine Funktion zu interpolieren. Insbesondere werden die lineare Interpolation und die quadratische Interpolation erläutert. Darüber hinaus können Sie mehrere Beispiele sehen, sodass Sie keinen Zweifel daran haben, wie eine Funktion interpoliert wird.

Was ist Funktionsinterpolation?

Die Definition der Interpolation lautet wie folgt:

In der Mathematik ist Interpolation ein Verfahren zur Näherung des Werts, den eine Funktion an einem Punkt in einem Intervall annimmt, dessen Endpunkte bekannt sind.

Was ist der Unterschied zwischen Interpolation und Extrapolation?

Interpolieren und Extrapolieren haben eine sehr ähnliche Bedeutung, da es bei beiden darum geht, den Wert einer Funktion an einem Punkt anhand zweier bekannter Punkte zu schätzen.

Die Interpolation besteht jedoch darin, eine Annäherung an einen Punkt vorzunehmen, der in dem von diesen beiden bekannten Punkten gebildeten Intervall liegt. Extrapolieren bedeutet stattdessen, den Wert der Funktion an einem Punkt außerhalb des Intervalls zu schätzen, aus dem diese beiden bekannten Punkte bestehen.

Interpolation und Extrapolation oder Interpolation und Extrapolation

Wie Sie in der obigen Grafik sehen können, sind die bekannten Punkte (2,3) und (6,5). In diesem Fall wollen wir auf x=4 interpolieren, weil es zwischen den bekannten Punkten liegt, und andererseits wollen wir auf x=8 extrapolieren, weil es außerhalb des bekannten Intervalls liegt.

Offensichtlich ist ein interpolierter Wert viel zuverlässiger als ein extrapolierter Wert, da wir bei der Extrapolation davon ausgehen, dass die Funktion einem ähnlichen Pfad folgt. Es ist jedoch möglich, dass sich die Steigung der Funktion außerhalb der Grenzen des bekannten Intervalls ändert und die Schätzung fehlerhaft ist.

Lineare Interpolation

Die lineare Interpolation ist ein Sonderfall der Newtonschen Polynominterpolation. In diesem Fall wird ein Polynom ersten Grades, also eine lineare oder affine Funktion, verwendet, um den Wert der Funktion an einem Punkt abzuschätzen.

Angesichts zweier bekannter Punkte:

$P_1(x_1,y_1)$

Und

$P_2(x_2,y_2)$

, die Formel zur Durchführung der linearen Interpolation lautet:

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Gold

$x$

Und

$y$

sind die Koordinaten des interpolierten Punktes.

Wir können überprüfen, dass diese Formel der Punkt-Steigungsgleichung der Geraden entspricht.

Beispiel einer linearen Interpolation

Als nächstes sehen wir uns ein Problem als Beispiel an, um das Konzept der linearen Interpolation zu verstehen:

In einer Fabrik werden 2 Artikel in 4 Stunden und 10 Artikel in 8 Stunden hergestellt. Wenn die Anzahl der produzierten Artikel in einem linearen Zusammenhang mit den geleisteten Arbeitsstunden steht, wie viele Artikel werden dann in 5 Stunden produziert?

Zunächst müssen wir die lineare Funktion definieren, die die geleisteten Arbeitsstunden mit den produzierten Artikeln in Beziehung setzt. In diesem Fall handelt es sich bei X um geleistete Arbeitsstunden und bei Y um hergestellte Artikel. Denn abhängig von den geleisteten Arbeitsstunden werden mehr oder weniger Artikel produziert, d. h. die Produktion hängt von den Stunden ab und nicht umgekehrt.

Aus der Aussage wissen wir, dass die Funktion die Punkte (4,2) und (8,10) durchläuft. Es reicht daher aus, die Formel zur Interpolation an dem Punkt anzuwenden

$x=5:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

Wir setzen die Werte der Punkte in die Gleichung ein:

$y=\cfrac{10-2}{8-4}\cdot(5-4) + 2$

Und wir führen die Operationen durch:

$y=\cfrac{8}{4}\cdot1 + 2 = 2\cdot 1 +2 = 4$

$\bm{y=4}$

In 5 Stunden werden also 4 Artikel hergestellt.

quadratische Interpolation

Bei der quadratischen Interpolation wird mit einem Polynom zweiten Grades anstelle eines Polynoms ersten Grades interpoliert. Daher wird in diesem Fall eine quadratische oder parabelförmige Funktion verwendet.

$y = ax^2+bx+c$

Im Allgemeinen ist die Interpolation zweiter Ordnung genauer als die Interpolation erster Ordnung, da sie einen höheren Grad aufweist. Im Gegenteil ist noch ein weiterer Punkt erforderlich, um die Interpolation durchführen zu können.

Der Mathematiker Lagrange entwickelte eine Formel, um die Interpolationsfunktion der Ordnung n zu finden. Für den Fall zweiter Ordnung lautet das Lagrange-Interpolationspolynom wie folgt:

$y=\cfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x-x_2)}\cdot y_0+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_0-x_2)}\cdot y_1+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\cdot y_2$

wo die bekannten Punkte

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

Und

$P_3(x_3,y_3)$

Sie werden verwendet, um den Wert der Funktion auf der Abszisse zu ermitteln

$x.$

In der Praxis wird jedoch im Allgemeinen nicht die Lagrange-Interpolationsmethode verwendet, sondern die quadratische Funktion wird aus den drei beobachteten Punkten berechnet und dann wird der Punkt ausgewertet, der in der Funktion interpoliert werden soll. Hier ist eine gelöste Übung, um zu sehen, wie sie gemacht wird:

Beispiel einer quadratischen Interpolation

Bestimmen Sie die quadratische Funktion, die durch die Punkte (0,1), (1,0) und (3,4) verläuft, und interpolieren Sie dann den Wert von
$x=-1.$

Da quadratische Funktionen Polynome zweiter Ordnung sind, sieht die Interpolationsfunktion wie folgt aus:

$y = ax^2+bx+c$

Daher ist es notwendig, die Koeffizienten zu berechnen

$a$

$b$

Und

$c$

. Dazu setzen wir die Koordinaten der bekannten Punkte in die Funktion ein:

$\left.\begin{array}{l} 1 = a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[2ex] 0 = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[2ex] 4 = a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \end{array} \right\} \longrightarrow \left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\}$

Wir lösen nun das Gleichungssystem:

$\left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{c \ = \ 1} \\[2ex] & \end{array} \left.\begin{array}{l} c=1 \\[2ex] 0 = a+b+1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}$

Wir kennen bereits den Wert von

$c$

, wir können das System also mit der Substitutionsmethode lösen: Wir löschen das Unbekannte

$a$

aus der zweiten Gleichung und ersetzen Sie den in der letzten Gleichung gefundenen Ausdruck:

$\left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9(-b-1)+3b+1 \end{array}\right\}$

Wir finden das Unbekannte

$b$

aus der letzten Gleichung:

$4 = -9b-9+3b+1$

$12 =-6b$

$b=\cfrac{12}{-6} = -2$

und finde den Wert von

$a$

mit der zweiten Gleichung des Systems:

$a=-(-2)-1 = 1$

Die quadratische Funktion lautet daher wie folgt:

$\bm{y = x^2-2x+1}$

Abschließend interpolieren wir die Abszisse

$x=-1$

Um den Wert der Funktion an dieser Stelle zu berechnen:

$y=(-1)^2-2\cdot(-1)+1=1+2+1=\bm{4}$

Interpolationsanwendungen

Auch wenn es nicht so scheint, ist die Interpolation in der Mathematik und Statistik sehr nützlich. Beispielsweise wird damit versucht, den Wert einer Funktion vorherzusagen: Aus einer Reihe gesammelter Daten wird die Regressionsgerade berechnet und Sie können damit eine Annäherung an den Wert der Funktion an jedem Punkt erhalten.

Die Interpolation einer Funktion kann, wie wir gesehen haben, manuell oder mit Computerprogrammen wie Excel oder MATLAB erfolgen. Offensichtlich ist es viel komfortabler und schneller, dies am Computer zu tun.

Andererseits wird die Interpolation auch zur Vereinfachung von Berechnungen eingesetzt. Es gibt einige Softwareprogramme, die komplexe Berechnungen mit sehr langen Funktionen durchführen müssen. Daher wird manchmal eine lineare Interpolation dieser Funktionen durchgeführt, um Operationen zu vereinfachen.

Lineare und quadratische interpolation