So berechnen Sie die inverse Matrix -

Auf dieser Seite erfahren Sie, was das ist und wie Sie die Umkehrung einer Matrix mit der Determinantenmethode (oder adjungierten Matrix) und der Gauß-Methode berechnen. Außerdem sehen Sie alle Eigenschaften der inversen Matrix und finden zu jeder Methode Schritt-für-Schritt gelöste Beispiele und Übungen, damit Sie diese vollständig verstehen. Abschließend erklären wir eine Formel zum schnellen Invertieren einer 2×2-Matrix und sogar den größten Nutzen dieser Matrixoperation: das Lösen eines Systems linearer Gleichungen.

Was ist die Umkehrung einer Matrix?

Sei

$A$

eine quadratische Matrix. Die inverse Matrix von

$A$

es ist geschrieben

$A^{-1}$

, und es ist diese Matrix, die Folgendes erfüllt:

$A \cdot A^{-1} = I$

$A^{-1}\cdot A = I$

Gold

$I$

ist die Identitätsmatrix.

Wann kann man eine Matrix umkehren und wann nicht?

Der einfachste Weg, die Invertibilität einer Matrix zu bestimmen, besteht darin, ihre Determinante zu verwenden:

Wenn die Determinante der betreffenden Matrix von 0 verschieden ist, bedeutet dies, dass die Matrix invertierbar ist. In diesem Fall sagen wir, dass es sich um eine reguläre Matrix handelt. Darüber hinaus impliziert dies, dass die Matrix den maximalen Rang hat.

Wenn andererseits die Determinante der Matrix gleich 0 ist, kann die Matrix nicht invertiert werden. Und in diesem Fall sagen wir, dass es sich um eine singuläre oder entartete Matrix handelt.

Grundsätzlich gibt es zwei Methoden zum Invertieren einer Matrix: die Methode der Determinanten oder der adjungierten Matrix und die Gauß-Methode. Unten finden Sie die Erklärung des ersten, aber Sie können unten auch nachlesen, wie Sie eine Matrix mit der Gauß-Methode invertieren.

Invertieren Sie eine Matrix mithilfe der Determinantenmethode (oder mithilfe der angrenzenden Matrix).

Um die Umkehrung einer Matrix zu berechnen,

$\displaystyle A^{-1}$

, ist folgende Formel anzuwenden:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Gold:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

ist die Determinante der Matrix

$A$
$\text{Adj}(A)$

ist die adjungierte Matrix von

$A$
Der Aussteller
$\bm{t}$

zeigt Matrixtransponierung an, dh die angehängte Matrix sollte transponiert werden.

Kommentar: Einige Bücher verwenden eine etwas andere inverse Matrixformel: Sie transponieren zuerst die Matrix A und berechnen dann ihre adjungierte Matrix, anstatt zuerst die adjungierte Matrix zu berechnen und sie dann zu transponieren. In Wirklichkeit spielt die Reihenfolge keine Rolle, da das Ergebnis genau das gleiche ist. Hier überlassen wir Ihnen die Formel zum Invertieren einer modifizierten Matrix, falls Sie diese lieber verwenden möchten:

Formel für die inverse Matrix mit der adjungierten Matrix der Transponierten

Wir werden dann sehen , wie man die Umkehrung einer Matrix findet , indem wir als Beispiel eine Übung lösen:

Beispiel für die Berechnung der inversen Matrix mit der Determinantenmethode (oder adjungierten Matrix):

Berechnen Sie die Umkehrung der folgenden Matrix:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

Um die Umkehrung der Matrix zu bestimmen, müssen wir die folgende Formel anwenden:

Wenn die Determinante der Matrix jedoch Null ist, bedeutet dies, dass die Matrix nicht invertierbar ist. Daher muss zunächst die Determinante der Matrix berechnet und überprüft werden, ob sie von 0 verschieden ist:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -4- (-6) = 2$

Die Determinante ist nicht 0 , daher ist die Matrix invertierbar .

Wenn man also den Wert der Determinante in die Formel einsetzt, lautet die Umkehrung der Matrix:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Wir müssen nun die Stellvertretermatrix von A berechnen. Dazu müssen wir jedes Element der Matrix A durch seinen Stellvertreter ersetzen.

Denken Sie daran, den Anhang zu berechnen

$a_{ij}$

, also des Zeilenelements

$i$

und die Säule

$j$

, ist folgende Formel anzuwenden:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Wobei das komplementäre Nebenfach von

$a_{ij}$

ist die Determinante der Matrix, die die Zeile eliminiert

$i$

und die Säule

$j$

Somit sind die Stellvertreter der Elemente der Matrix A:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) = \bm{-1}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Kommentar: Verwechseln Sie die Determinante 1×1 nicht mit dem Absolutwert, da in der Determinante 1×1 die Zahl nicht ins Positive umgewandelt wird.

Sobald die Stellvertreter berechnet wurden, ersetzen Sie einfach die Elemente von A durch ihre Stellvertreter, um die Stellvertretermatrix von A zu ermitteln:

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}$

Kommentar: An bestimmten Stellen ist die adjungierte Matrix die Transponierte der hier definierten adjungierten Matrix.

Daher setzen wir die angehängte Matrix in die inverse Matrixformel ein und es wird:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix} ^{\bm{t}}$

Der Aussteller

$\bm{t}$

Dies sagt uns, dass wir die Matrix transponieren müssen. Und um eine Matrix zu transponieren, müssen Sie ihre Zeilen in Spalten umwandeln , das heißt, dass die erste Zeile der Matrix zur ersten Spalte der Matrix wird und die zweite Zeile zur zweiten Spalte:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] -3 & 4 \end{pmatrix}$

Und schließlich multiplizieren wir jeden Term der Matrix mit

$\cfrac{1}{2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{2}{2} \\[1.1ex] \sfrac{-3}{2} & \sfrac{4}{2} \end{pmatrix}$

Übung gelöst inverse Matrix durch 2x2 Determinanten

Gelöste Aufgaben zu inversen Matrizen mit der Methode der Determinanten (oder der nebenstehenden Matrix)

Übung 1

Invertieren Sie die folgende Matrix der Dimension 2×2 mit der Methode der adjungierten Matrix:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{pmatrix}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Die inverse Matrixformel lautet:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Wir berechnen zunächst die Determinante der Matrix:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{vmatrix} = 7-6 = 1$

Die Determinante ist ungleich 0, daher kann die Matrix invertiert werden.

Berechnen wir nun die adjungierte Matrix von A:

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}$

Nachdem die Determinante der Matrix und ihr Adjunkt berechnet wurden, setzen wir ihre Werte in die Formel ein:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Wir transponieren die beigefügte Matrix:

$\displaystyle A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

Die inverse Matrix von A ist daher:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{1} \end{pmatrix}$

Übung 2

Kehren Sie die folgende quadratische Matrix mit der Determinantenmethode um:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{pmatrix}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Die inverse Matrixformel lautet:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Wir berechnen zunächst die Determinante der Matrix:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4\end{vmatrix} = -12+10 = -2$

Die Determinante ist ungleich 0, daher kann die Matrix invertiert werden.

Berechnen wir nun die adjungierte Matrix von A:

$\text{Adjunto de -3} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 5\end{vmatrix} = -1 \cdot 5 = \bm{-5}$

$\text{Adjunto de 5} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}$

Sobald die Determinante der Matrix und ihr Adjunkt gefunden sind, setzen wir ihre Werte in die Formel ein:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Wir transponieren die beigefügte Matrix:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -5 & -3 \end{pmatrix}$

Wir multiplizieren jedes Element mit

$\cfrac{1}{-2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{4}{-2} & \cfrac{2}{-2} \\[3ex] \cfrac{-5}{-2} & \cfrac{-3}{-2} \end{pmatrix}$

Die inverse Matrix von A ist daher:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{-1} \\[2ex] \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} & \cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}$

Übung 3

Invertieren Sie die folgende Matrix der Dimension 3×3 mit der Adjungierten-Matrix-Methode:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3\end{pmatrix}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Die inverse Matrixformel lautet:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Wir lösen zunächst die Determinante der Matrix mit der Sarrus-Regel:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3 \end{vmatrix} = -24+6-2+16-2+9 = 3$

Die Determinante ist ungleich 0, daher kann die Matrix invertiert werden.

Sobald die Determinante gelöst ist, finden wir die adjungierte Matrix von A:

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4&1\\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-13) = \bm{-13}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&-3\end{vmatrix} = -1 \cdot (-5) = \bm{5}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1&4\\[1.1ex] 2&1 \end{vmatrix} = 1\cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2 \\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-7) = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 2&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 2&1\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2\\[1.1ex] 4&1\end{vmatrix} = 1 \cdot 11 = \bm{11}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 1&1\end{vmatrix} = -1 \cdot 4 = \bm{-4}$

$\text{Adjunto de -3} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 1&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 = \bm{5}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

Nachdem wir die Determinante der Matrix und ihres Adjungierten berechnet haben, setzen wir ihre Werte in die Formel ein:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Wir transponieren die beigefügte Matrix:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 7 & 11 \\[1.1ex] 5 & -2 & -4 \\[1.1ex] -7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Und die invertierte Matrix A ist:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \sfrac{\bm{-13}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{11}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-2}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-4}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{-7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{4}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}}\end{pmatrix}$

Übung 4

Invertieren Sie die folgende Matrix der Ordnung 3 mithilfe der adjungierten Matrixmethode:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1\end{pmatrix}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Die inverse Matrixformel lautet:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Wir müssen zuerst die Determinante der Matrix berechnen, denn wenn die Determinante 0 ist, bedeutet dies, dass die Matrix keine Umkehrung hat.

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1 \end{vmatrix} = 12+30+8+9-64+5 = \bm{0}$

Die Determinante von A ist 0, daher kann die Matrix nicht invertiert werden.

Übung 5

Invertieren Sie die folgende 3 × 3-Quadratmatrix mit der Determinantenmatrixmethode:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2\end{pmatrix}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Die inverse Matrixformel lautet:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Zunächst lösen wir die Determinante der Matrix mit der Sarrus-Regel:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2+0-12-3-0+16 = 3$

Die Determinante ist ungleich 0, daher kann die Matrix invertiert werden.

Sobald die Determinante gelöst ist, finden wir die adjungierte Matrix von A:

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-0) = \bm{2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 4} = (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (-4-0) = \bm{4}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -3} = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(4-(-1)\bigr) = \bm{5}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (8-6) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-3) = \bm{-1}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 0} = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} \bigl(-2-(-4)\bigr) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -1} = (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(0-(-3)\bigr) = \bm{3}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0-6) = \bm{6}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 2} = (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(1-(-8)\bigr) = \bm{9}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

Nachdem wir die Determinante der Matrix und ihres Adjungierten berechnet haben, setzen wir ihre Werte in die Formel ein:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9\end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Wir transponieren die beigefügte Matrix:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 & 6 \\[1.1ex] 5 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

Und schließlich betreiben wir:

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{2}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{3}{3} \\[1.1ex] \sfrac{4}{3} & \sfrac{-1}{3} & \sfrac{6}{3} \\[1.1ex] \sfrac{5}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{9}{3} \end{pmatrix}$

Übung gelöst Schritt für Schritt der inversen Matrix mit der Methode der adjungierten Matrix 3x3

Invertieren Sie eine Matrix mit der Gauß-Methode:

Um die Umkehrung einer Matrix mit der Gauß-Methode zu berechnen , müssen Sie Operationen an den Zeilen einer Matrix durchführen (wir werden dies später sehen). Bevor Sie also lernen, wie man die Gauß-Methode verwendet, ist es wichtig, dass Sie alle Operationen kennen, die auf den Zeilen der Matrizen durchgeführt werden können:

In der Gaußschen Methode zulässige Linientransformationen

Ändern Sie die Reihenfolge der Zeilen der Matrix.

Beispielsweise können wir die Reihenfolge der Zeilen 2 und 3 einer Matrix ändern:

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \end{array} \right)$

Multiplizieren oder dividieren Sie alle Terme in einer Zeile mit einer Zahl ungleich 0.

Wir können zum Beispiel Zeile 1 mit 4 multiplizieren und Zeile 3 durch 2 dividieren:

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 2 & -4 & -2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{4 f_1} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -8 & 12 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right)$

Ersetzen Sie eine Zeile durch die Summe derselben Zeile plus einer anderen Zeile multipliziert mit einer Zahl.

In der folgenden Matrix fügen wir beispielsweise Zeile 3 multipliziert mit 1 zu Zeile 2 hinzu:

$\left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 2 & 4 & 1 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 1\cdot f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 3 & 2 & 4 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right)$

Beispiel für die Berechnung der inversen Matrix mit der Gauß-Methode:

Sehen wir uns anhand eines Beispiels an, wie man die Gauß-Methode zum Invertieren einer Matrix anwendet:

Berechnen Sie die Umkehrung der folgenden Matrix:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\[2ex] 0 & 2 & 1 \\[2ex] 1 & 5 & 4 \end{array} \right)$

Als Erstes müssen wir die A-Matrix und die Identitätsmatrix zu einer einzigen Matrix kombinieren. Die A-Matrix links und die Identitätsmatrix rechts:

$\displaystyle \bigl( A \ \lvert \ I \bigr)$

Übung Schritt für Schritt der inversen Matrix mit der 3x3-Gauß-Methode gelöst

Um die inverse Matrix zu berechnen, müssen wir die linke Matrix in eine Identitätsmatrix umwandeln. Und dazu müssen wir Transformationen auf die Zeilen anwenden, bis wir dort ankommen.

Wir werden spaltenweise vorgehen, das heißt, wir führen Operationen an den Zeilen durch, um zunächst die Zahlen in der ersten Spalte, dann die in der zweiten Spalte und schließlich die in der dritten Spalte umzuwandeln.

Die Einsen und Nullen in der ersten Spalte sind bereits geeignet, da die Identitätsmatrix an diesen Stellen auch eine 1 und eine 0 hat. Daher besteht derzeit keine Notwendigkeit, eine Transformation auf diese Zeilen anzuwenden.

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Allerdings hat die Identitätsmatrix im letzten Element der ersten Spalte eine 0, wo wir nun eine 1 haben. Wir müssen also die 1 in 0 umwandeln. Dazu fügen wir Zeile 1 multipliziert mit – zu Zeile 3.1 hinzu:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \\ + & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ \hline & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Wenn wir also diese Summe bilden, erhalten wir die folgende Matrix:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Damit ist es uns gelungen, die 1 in eine 0 umzuwandeln.

Kommen wir nun zur zweiten Spalte der linken Matrix. Das erste Element ist eine 0, was gut ist, da die Identitätsmatrix an derselben Position eine 0 hat. Allerdings sollte statt einer 2 eine 1 stehen, also dividieren wir die zweite Zeile durch 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2/2}\\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Zusätzlich müssen wir in der zweiten Spalte auch die 5 in 0 umwandeln. Da die 5 fünfmal größer ist als die 1 in der zweiten Zeile, fügen wir Zeile 2 multipliziert mit -5 zu Zeile 3 hinzu:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \\ + & 0 & -5 & \sfrac{-5}{2} & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-5}{2} & 0 \\ \hline & 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} \vphantom{\Bigl(} & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -5f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Wenn wir diese Operation ausführen, erhalten wir daher eine Matrix mit einer 0 im letzten Element der zweiten Spalte:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 5f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)$

Zum Schluss transformieren wir die letzte Spalte der Matrix nach links, aber dieses Mal müssen wir von unten beginnen. Es ist daher notwendig, die zu transformieren

$\sfrac{1}{2}$

in eine 1. Daher multiplizieren wir die letzte Zeile mit 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)\begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{2f_3} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Wir müssen das jetzt umwandeln

$\sfrac{1}{2}$

Rest der letzten Spalte als 0. Dieses Mal können wir die Zeile jedoch nicht mit 2 multiplizieren, da wir auch die 1 in 2 umwandeln würden (wenn die Identitätsmatrix an dieser Position eine 1 hat). Daher fügen wir Zeile 3 geteilt durch -2 zu Zeile 2 hinzu:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 0 & 1 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\ + & 0 & 0 &\vphantom{\Bigl(} -\sfrac{1}{2} & 1 & \sfrac{5}{2} & -1 \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0} & 1 & 3 \vphantom{\Bigl(} & -1 \end{array} \begin{array}{l}\vphantom{\Bigl(} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_3/(-2)}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Durch diese Operation schaffen wir es also, das zu transformieren

$\sfrac{1}{2}$

in einer 0:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Zum Schluss müssen wir nur noch die 1 in der ersten Zeile der dritten Spalte in 0 umwandeln. Die dritte Zeile hat auch eine 1 in derselben Spalte, also fügen wir Zeile 3 multipliziert mit -1 zu Zeile 1 hinzu:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 0 & -1 & 2 & 5 & -2 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 3 & 5 & -2 \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\\ \phantom{hline} \end{array}$

Und durch diese Operation schaffen wir es, die 1 in eine 0 umzuwandeln:

$\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 &0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 3 & 5 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Nachdem wir die linke Matrix erfolgreich in eine Identitätsmatrix umgewandelt haben, kennen wir auch die inverse Matrix. Denn die inverse Matrix ist die Matrix, die wir auf der rechten Seite erhalten, indem wir die linke Matrix in eine Identitätsmatrix umwandeln . Die Umkehrung der Matrix lautet daher: