Ableitung des hyperbolischen Kosinus

In diesem Artikel erklären wir, wie man den hyperbolischen Kosinus einer Funktion ableitet. Darüber hinaus finden Sie Beispiele für hyperbolische Kosinusableitungen und zum Schluss zeigen wir Ihnen die Formel für diese Art der trigonometrischen Ableitung.

Vom hyperbolischen Kosinus abgeleitete Formel

Die Ableitung des hyperbolischen Kosinus von x ist der hyperbolische Sinus von x.

$f(x)=\text{cosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x)$

Daher ist die Ableitung des hyperbolischen Kosinus einer Funktion gleich dem Produkt aus dem hyperbolischen Sinus der Funktion und der Ableitung dieser Funktion.

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

Die zweite Formel ist identisch mit der ersten, der einzige Unterschied besteht darin, dass in der zweiten die Kettenregel angewendet wird. Die erste Formel kann also nur zur Ableitung des hyperbolischen Kosinus von x verwendet werden, während die zweite Formel zur Ableitung des hyperbolischen Kosinus jeder Art von Funktion verwendet werden kann.

Wie Sie sehen können, unterscheidet sich die Formel für die Ableitung des hyperbolischen Kosinus von der Formel für die Ableitung des Kosinus, obwohl sie einige Ähnlichkeiten aufweisen.

➤ Siehe: Formel für die Ableitung des Kosinus

Beispiele für die Ableitung des hyperbolischen Kosinus

Anhand der Formel für die Ableitung des hyperbolischen Kosinus lösen wir im Folgenden mehrere Beispiele für Ableitungen dieser Art trigonometrischer Funktionen. Denken Sie daran, dass Sie alle Fragen, die auftauchen, in den Kommentaren stellen können.

Beispiel 1: Ableitung des hyperbolischen Kosinus von 2x

$f(x)=\text{cosh}(2x)$

In diesem Beispiel haben wir im Argument des hyperbolischen Kosinus eine von x verschiedene Funktion, daher müssen wir die Formel für die Ableitung des hyperbolischen Kosinus mit der Kettenregel verwenden:

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

Die Ableitung von 2x ist 2, also ist die Ableitung des hyperbolischen Kosinus von 2x der hyperbolische Sinus von 2x mal 2.

$f(x)=\text{cosh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)$

Beispiel 2: Ableitung des hyperbolischen Kosinus von x im Quadrat

$f(x)=\text{cosh}(x^2)$

Wie wir oben gesehen haben, lautet die Regel für die Ableitung der hyperbolischen Kosinusfunktion:

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

Wir leiten also einerseits die quadratische Funktion x ² ab, die 2x ergibt, dann berechnen wir die Ableitung der gesamten Funktion:

$f(x)=\text{cosh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x^2)\cdot 2x$

Beweis der Formel für die Ableitung des hyperbolischen Kosinus

Abschließend zeigen wir Ihnen die vom hyperbolischen Kosinus abgeleitete Formel, damit Sie sehen können, woher sie kommt. Wenn wir vom Ausdruck des hyperbolischen Kosinus ausgehen:

$\text{cosh}(x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}$