▷ Wie man Grenzen im Unendlichen löst (+25 gelöste Übungen)

Hier erfahren Sie, wie Sie alle Arten von Grenzen im Unendlichen lösen: Polynome, rationale, exponentielle Funktionen, mit Wurzeln, Unbestimmtheiten im Unendlichen … Darüber hinaus können Sie mit 25 Schritt-für-Schritt-Übungen zu Grenzen bei x trainieren neige zum Unendlichen. .

Grenzwert einer Funktion, wenn x gegen Unendlich geht

Der Grenzwert einer Funktion, wenn x sich der Unendlichkeit nähert, kann, ob positiv oder negativ, ein reeller Wert sein, plus Unendlich, minus Unendlich oder nicht vorhanden. Um nach Grenzen im Unendlichen zu suchen, müssen Sie x durch Unendlich ersetzen.

Wie Sie dem ersten Diagramm entnehmen können, tendiert die dargestellte Funktion in Richtung Unendlich zum realen Wert k , da sie sich mit zunehmendem x näher an k annähert. Die Funktion oben rechts strebt gegen Unendlich, wenn x sich der Unendlichkeit nähert, da sie mit zunehmendem x- Wert unbegrenzt wächst. Andererseits nimmt die Grafik unten links kontinuierlich ab und tendiert daher gegen minus Unendlich. Schließlich ist die letzte Funktion periodisch und tendiert zu keinem Wert, daher gibt es in diesem Fall keine Grenze bis Unendlich.

So lösen Sie Grenzen im Unendlichen

Um eine Grenze zur Unendlichkeit in Polynomfunktionen zu lösen, müssen wir x nur im Term höchster Ordnung der Funktion durch Unendlich ersetzen.

Schauen Sie sich zum Beispiel die folgende Berechnung einer Grenze zur Unendlichkeit an, bei der wir nur die Unendlichkeit in das Monom des höchsten Grades einsetzen:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(3x^2-4x+6) = 3(+\infty)^2 = \bm{+\infty}$

Wie Sie im Beispiel sehen können, ergibt +∞ im Quadrat +∞, da eine sehr große Zahl (+∞) hoch 2 immer eine sehr große Zahl (+∞) ergibt.

Und das Gleiche passiert auch bei der Multiplikation: Wenn man eine sehr große Zahl (+∞) multipliziert, erhält man immer eine sehr große Zahl (+∞). Zum Beispiel:

$3\cdot (+\infty)= +\infty.$

Warnung: Um Grenzwerte bis ins Unendliche zu berechnen, müssen die folgenden Elemente berücksichtigt werden:

→ Eine negative Zahl, die auf einen geraden Exponenten erhöht wird, ist positiv. Daher ergibt minus Unendlich, erhöht auf einen geraden Exponenten, plus Unendlich:

$(-\infty)^2 = +\infty$

→ Eine negative Zahl, die auf einen ungeraden Exponenten erhöht wird, ist negativ. Daher ist minus Unendlich, erhöht auf einen ungeraden Exponenten, minus Unendlich:

$(-\infty)^3 = -\infty$

→ Die Multiplikation einer negativen Zahl ändert das Vorzeichen der Unendlichkeit:

$-2(+\infty) = - \infty$

→ Beliebige Zahl dividiert durch

$\pm \infty$

ergibt 0:

$\cfrac{5}{\infty} = 0$

Beispiele für Grenzen bis zur Unendlichkeit

Damit Sie sehen können, wie Grenzwerte bis ins Unendliche in Polynomen gelöst werden, finden Sie unten einige solcher gelösten Grenzwerte:

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^3-x^2+4)= (+\infty) ^3 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (-5x+2)= -5(+\infty)= \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^2-7x+1) = (-\infty)^2 = \bm{+\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (x^3-x^2+4)= (-\infty) ^3 = \bm{-\infty}\\[4ex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \ \cfrac{1}{x}= \cfrac{1}{+\infty} = \bm{0}\end{array}$

Unbestimmte Grenzen bis zur Unendlichkeit

Die Grenzen zur Unendlichkeit werden nicht immer so einfach zu berechnen sein, da wir manchmal die Unbestimmtheit der Unendlichkeit zwischen Unendlichkeit oder die Unbestimmtheit der Unendlichkeit minus Unendlichkeit erhalten.

$\cfrac{\infty}{\infty}\qquad \qquad \infty-\infty$

Wenn wir diese Art von Unbestimmtheiten (oder unbestimmten Formen) erhalten, können wir das Ergebnis nicht direkt kennen, sondern müssen ein vorläufiges Verfahren durchführen, um den Grenzwert zu ermitteln. Wir werden dann sehen, wie die unbestimmten Grenzen im Unendlichen aufgelöst werden.

Unendliche Unbestimmtheit zwischen dem Unendlichen

Um das Ergebnis der Unbestimmtheit Unendlichkeit geteilt durch Unendlich zu finden, müssen wir den Grad des Zählers und den Grad des Nenners des Bruchs vergleichen:

Wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms, ist die unendliche Unbestimmtheit über der Unendlichkeit gleich Null.
Wenn der Grad des Zählerpolynoms dem Grad des Nennerpolynoms entspricht, ist die unendliche Unbestimmtheit über Unendlich der Quotient der Hauptkoeffizienten der beiden Polynome.
Wenn der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der Grad des Nennerpolynoms, ergibt die unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit mehr oder weniger Unendlichkeit (das Vorzeichen hängt von den Haupttermen der beiden Polynome ab).

$\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty}}\frac{a_nx^r+a_{n-1}x^{r-1}+a_{n-2}x^{r-2}+\dots}{b_nx^s+b_{n-1}x^{s-1}+b_{n-2}x^{s-2}+\dots}=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \text{si} & r<s \\[3ex]="" \cfrac{a_n}{b_n}="" &="" \text{si}="" r="s" \\[5ex]="" \pm="" \infty="">s \end{array}\right.“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“139″ width=“767″ style=“vertical-align: 0px;“> Im folgenden Grenzwert hat beispielsweise das Zählerpolynom zweiten Grades, während das Nennerpolynom dritten Grades ist, sodass die Lösung des Grenzwerts 0 ist. <p class=$ $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{6x^2-5}{x^3+1} = \cfrac{6(+\infty)^2}{(+\infty)^3} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

Schauen Sie sich dieses andere Beispiel an, in dem die beiden Polynome der rationalen Funktion zweiten Grades sind, sodass wir die Koeffizienten der Terme höheren Grades dividieren müssen, um den Grenzwert im Unendlichen zu berechnen.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{4x^2+1}{2x^2-5} = \cfrac{4(+\infty)^2}{2(+\infty)^2}= \cfrac{+\infty}{+\infty} =\cfrac{4}{2} = \bm{2}$

Am nächsten Grenzwert schließlich hat die Funktion des Zählers einen größeren Grad als die des Nenners, sodass die Unbestimmtheit von Unendlich über Unendlich Unendlichkeit ergibt. Darüber hinaus ergibt sich aus dem Zähler eine positive Unendlichkeit, aus dem Nenner jedoch eine negative Unendlichkeit, sodass das Ergebnis des Grenzwerts negativ ist (das Positive zwischen dem Negativen ist negativ).

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{3x^2+2x-5}{7x+1} = \cfrac{3(-\infty)^2}{7(-\infty)}=\cfrac{3(+\infty)}{-\infty}}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

Unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit und Wurzeln

Andererseits ist der Grad einer irrationalen Funktion (Funktion mit Wurzeln) der Quotient zwischen dem Grad des Hauptterms und dem Index des Radikals.

$\sqrt[\color{red}\bm{m}\color{black}]{a_nx^{\color{blue}\bm{n}\color{black}}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots} \ \longrightarrow \ \text{grado}=\cfrac{\color{blue}\bm{n}\color{black}}{\color{red}\bm{m}\color{black}}$

Wenn also der Grenzwert einer Funktion mit Wurzeln eine unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit ergibt , müssen wir dieselben oben erläuterten Regeln für die Grade von Zähler und Nenner anwenden, wobei jedoch zu berücksichtigen ist, dass der Grad eines Polynoms mit Wurzeln anders berechnet wird.

Schauen Sie sich das folgende Beispiel für den unendlichen Grenzwert einer Funktion mit Radikalen an:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+11}{\sqrt{x^8-3x^2-5}}=\frac{4(+\infty)^2}{\sqrt{(+\infty)^8}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Der Grad des Zählers ist 2 und der Grad des Nenners ist 4 (8/2=4), daher ist die Grenze 0, da der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist.

Unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit und Exponentialfunktionen

Das Wachstum einer Exponentialfunktion ist viel größer als das Wachstum einer Polynomfunktion, daher müssen wir berücksichtigen, dass der Grad einer Exponentialfunktion größer ist als der Grad einer Polynomfunktion.

$\text{exponencial}>\text{polinomio}“ title=“Rendered by QuickLaTeX.com“ height=“16″ width=“192″ style=“vertical-align: -4px;“> Wenn sich also die Unbestimmtheit Unendlich dividiert durch Unendlich aus einem Grenzwert mit Exponentialfunktionen ergibt, müssen wir einfach dieselben Regeln anwenden, die die Grade des Zählers und des Nenners erklären, wobei jedoch zu berücksichtigen ist, dass eine Exponentialfunktion von höherer Ordnung ist als ein Polynom. Wenn wir außerdem Exponentialfunktionen im Zähler und Nenner der Division haben, ist die Exponentialfunktion mit der größten Basis die Funktion höchster Ordnung. <p class=$ $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{7x^5+6x^3-4x}{4^x}=\frac{7(+\infty)^5}{4^{+\infty}}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

In diesem Beispiel wird der Nenner aus einer Exponentialfunktion gebildet, ist also von höherer Ordnung als der Zähler. Daher ergibt die unbestimmte Form Unendlichkeit zwischen Unendlichkeit 0.

Unendliche minus unendliche Unbestimmtheit

Die Lösung der unendlichen minus unendlichen Unbestimmtheit hängt davon ab, ob die Funktion Brüche oder Wurzeln hat. Sehen wir uns also an, wie diese Art von Unbestimmtheit für diese beiden unterschiedlichen Fälle gelöst werden kann.

Unbestimmtheit unendlich minus unendlich mit Brüchen

Wenn bei einer Addition oder Subtraktion algebraischer Brüche unendlich minus unendlich Unbestimmtheit auftritt , müssen wir zuerst die Addition oder Subtraktion der Brüche durchführen und dann den Grenzwert berechnen.

Sehen wir uns an, wie man die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich in einer Funktion mit Brüchen berechnet, indem man ein Beispiel Schritt für Schritt löst:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right)$

Wir versuchen zunächst, den Grenzwert zu berechnen:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right) = \frac{(+\infty)^2}{(+\infty)-1} - \frac{+\infty}{3} = \bm{+\infty - \infty}$

Aber wir erhalten die Unbestimmtheit ∞-∞.

Wir müssen zuerst die Brüche subtrahieren. Dazu reduzieren wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, das heißt, wir multiplizieren Zähler und Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{3}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2 \cdot 3}{(x-1)\cdot 3}- \frac{x\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 }{3(x-1)}- \frac{x^2-x}{3(x-1)}\right)\end{array}$

Und da die beiden Brüche nun denselben Nenner haben, können wir sie zu einem einzigen Bruch kombinieren:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -(x^2-x)}{3(x-1)}$

Wir operieren mit dem Zähler und dem Nenner:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -x^2+x}{3x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+x}{3x-3}$

Und zum Schluss berechnen wir noch einmal den Grenzwert:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x}{3x-3}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}$

In diesem Fall ergibt die unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit +∞, weil der Grad des Zählers größer ist als der Grad des Nenners.

Unbestimmtheit unendlich minus unendlich mit Wurzeln

Wenn bei der Radikaladdition oder -subtraktion unendlich minus unendlich Unbestimmtheit auftritt , müssen wir die Funktion zunächst mit dem konjugierten Radikalausdruck multiplizieren und dividieren und dann nach dem Grenzwert auflösen.

Sehen wir uns an, wie man die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich in einer irrationalen Funktion löst, indem wir einem Schritt-für-Schritt-Beispiel folgen:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)$

Wir versuchen zunächst, den Limes der Funktion mit Radikalen zu lösen:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)=+\infty-\sqrt{(+\infty)^2}=\bm{+\infty-\infty}$

Allerdings erhalten wir die unbestimmte Form ∞-∞. Um also zu wissen, wie viel Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich ist, müssen Sie das erläuterte Verfahren anwenden.

Da die Funktion Radikale hat, multiplizieren und dividieren wir die gesamte Funktion durch den konjugierten irrationalen Ausdruck:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)= \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-5}\right)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

Der algebraische Ausdruck des Zählers entspricht der bemerkenswerten Identität des Produkts aus einer Summe und einer Differenz. Wir können den Ausdruck daher vereinfachen:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-5}\right)}{ x + \sqrt{x^2-5}}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2- \left( \sqrt{x^2-5}\right)^2}{ x + \sqrt{x^2-5}}$

Jetzt vereinfachen wir die Wurzel des Grenzwerts, da sie quadriert ist:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-(x^2-5)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

Wir operieren mit dem Zähler des Bruchs:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2- x^2+5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

Und schließlich wiederholen wir die Grenzwertberechnung:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}=\frac{5}{+\infty+\sqrt{(+\infty)^2}}=\frac{5}{+\infty}=\bm{0}$

Das Ergebnis der Grenze ist daher 0, da jede durch Unendlich geteilte Zahl gleich Null ist.

Übungen zu Grenzen im Unendlichen gelöst

Übung 1

Finden Sie die folgenden Grenzen der Diagrammfunktion:

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)$

Grenzen bis Unendlich aus der Darstellung einer Funktion

Sehen Sie sich die Lösung an

Der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen minus Unendlich und plus Unendlich tendiert, ergibt 1:

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=1$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=1$

Die seitlichen Grenzen der Funktion links und rechts am Punkt x=-1 betragen plus Unendlich bzw. minus Unendlich:

$\displaystyle\lim_{x\to -1^-}f(x)=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty$

Schließlich sind die seitlichen Grenzen der Funktion, wenn x gegen 1 tendiert, minus Unendlich und plus Unendlich wert:

$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$

Übung 2

Lösen Sie den Grenzwert, wenn sich x der Zahl plus Unendlich der folgenden Funktion nähert:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Um den Grenzwert im Unendlichen zu ermitteln, müssen wir x im Term höchsten Grades des Polynoms durch Unendlich ersetzen:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^2+4x+1) = (+\infty)^2= \bm{+\infty}$

Übung 3

Berechnen Sie den Grenzwert ins Unendliche der folgenden Polynomfunktion:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Um den Grenzwert im Unendlichen zu ermitteln, ersetzen wir x durch Unendlich im höchsten Grad des Polynoms und führen die Berechnungen durch:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-3x^2+8x+5) = -3(+\infty)^2= -3\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}$

Übung 4

Lösen Sie den mindestens unendlichen Grenzwert der folgenden Polynomfunktion:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Um den Grenzwert im Unendlichen zu berechnen, ersetzen wir x im höchsten Grad des Polynoms durch minus Unendlich und werten die Funktion aus:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (6x^2-3x-4) = 6(-\infty)^2= 6\cdot (+\infty) = \bm{+\infty}$

Da minus Unendlich quadriert wird, wird das Vorzeichen der Unendlichkeit positiv.

Übung 5

Finden Sie den Grenzwert im Unendlichen der folgenden rationalen Funktion:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Um die Grenze zur Unendlichkeit zu bestimmen, ersetzen wir x durch plus Unendlich am Term des höchsten Grades des Zählers und Nenners des Bruchs:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{7}{2x-5} = \cfrac{7}{2\cdot(+\infty)}=\frac{7}{+\infty}=\bm{0}$

Denken Sie daran, dass jede durch plus oder minus Unendlich geteilte Zahl gleich 0 ist.

Übung 6

Lösen Sie den folgenden Grenzwert im Unendlichen:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Um den Grenzwert zu berechnen, wenn x in Richtung ±∞ einer Funktion tendiert, schauen Sie sich einfach das Monom des höchsten Grades der Funktion an:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^3+x^2+5x) = -(-\infty)^3= -(-\infty)= \bm{+\infty}$

Übung 7

Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Funktion, wenn x sich der negativen Unendlichkeit nähert:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4)$

Sehen Sie sich die Lösung an

In diesem Fall reicht es aus, den quadratischen Term durch Unendlich zu ersetzen:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^2+4) = -4(-\infty)^2= -4\cdot (+\infty) = \bm{-\infty}$

Übung 8

Finden Sie den Grenzwert der folgenden Exponentialfunktion, wenn x gegen Unendlich geht:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x$

Sehen Sie sich die Lösung an

Obwohl es sich um eine Exponentialfunktion handelt, ist der Prozess zur Lösung des Grenzwerts derselbe: Ersetzen Sie x durch Unendlich.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2^x = 2^{+\infty}=\bm{+\infty}$

Übung 9

Lösen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden Exponentialfunktion:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Um diese Grenze aufzulösen, müssen Sie die Eigenschaften von Brüchen nutzen:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 5^{-x} = 5^{-(+\infty)}=5^{-\infty}= \cfrac{1}{5^{+\infty}}= \cfrac{1}{\infty} =\bm{0}$

Übung 10

Lösen Sie den folgenden Grenzwert im Unendlichen:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Der Grenzwert ergibt Unbestimmtheit minus Unendlichkeit zwischen plus Unendlichkeit. Der Grad des Zählers ist größer als der Grad des Nenners, daher ist die unbestimmte Grenze gleich plus Unendlich. Da die Division jedoch negativ Unendlich durch positiv Unendlich ist, ist das Ergebnis negativ Unendlich.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x^2+3}{3x+1} = \cfrac{-4(+\infty)^2}{3(+\infty)} =\cfrac{-4(+\infty)}{+\infty}= \cfrac{-\infty}{+\infty}= \bm{-\infty}$

Übung 11

Korrigieren Sie die folgende unbestimmte Grenze:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2}$

Sehen Sie sich die Lösung an

In diesem Problem wird die unbestimmte Form Unendlich über Unendlich aus dem Quotienten zweier Polynome gleichen Grades erhalten, sodass das Ergebnis des unbestimmten Grenzwerts die Division ihrer Hauptkoeffizienten ist:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{5x+8}{-5x+2} = \cfrac{5(+\infty)}{-5(+\infty)} = \cfrac{+\infty}{-\infty}=\cfrac{5}{-5}= \bm{-1}$

Übung 12

Berechnen Sie den folgenden Grenzwert mindestens bis ins Unendliche:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Der Grad des algebraischen Ausdrucks des Zählers ist geringer als der Grad des Ausdrucks des Nenners, daher ergibt die Unbestimmtheit +∞/+∞ 0:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{x^2+3x+5}{x^4-x-6} = \cfrac{(-\infty)^2}{(-\infty)^4} = \cfrac{+\infty}{+\infty}= \bm{0}$

Übung 13

Lösen Sie den folgenden unbestimmten Grenzwert einer Funktion mit Wurzeln:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Der Ausdruck des Zählers steht unter einem Wurzelzeichen, sein Grad ist also 7/3. Andererseits ist das Nennerpolynom quadratisch. Und da 7/3>2, ergibt der Grenzwert mehr Unendlichkeit:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt[3]{x^7-4x^3}}{x^2+5x}=\frac{\sqrt[3]{(+\infty)^7}}{(+\infty)^2}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}$

Übung 14

Bestimmen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion mit Brüchen:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x}$

Sehen Sie sich die Lösung an

In dieser Übung erhalten wir die Unbestimmtheit minus Unendlich dividiert durch minus Unendlich, wobei der Grad des Zählers größer als der Grad des Nenners ist, also:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{-2x^2}{5-4x} = \cfrac{-2(+\infty)^2}{-4(+\infty)} = \cfrac{-2(+\infty)}{-\infty}= \cfrac{-\infty}{-\infty} =\bm{+\infty}$

Übung 15

Finden Sie den mindestens unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Das Nennerpolynom ist quadratisch, während das Zählerpolynom linear ist. Daher ergibt unendliche Unbestimmtheit dividiert durch Unendlich 0.

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{9x}{4-x^2} = \cfrac{9(-\infty)}{-(-\infty)^2} = \cfrac{-\infty}{-(+\infty)}=\cfrac{-\infty}{-\infty}= \bm{0}$

Übung 16

Lösen Sie den mindestens unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Der Zähler ist einen Grad größer als der Nenner, daher ist das Ergebnis der unbestimmten Form ∞/∞ unendlich. Darüber hinaus ist das Unendlichkeitszeichen negativ, da das Positive zwischen dem Negativen ins Negative übersetzt wird:

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \cfrac{-2x^3-3x}{-3x^2+4x-1} = \cfrac{-2(-\infty)^3}{-3(-\infty)^2} =\cfrac{-2(-\infty)}{-3(+\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty}= \bm{-\infty}$

Übung 17

Lösen Sie den folgenden Grenzwert im Unendlichen:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\cfrac{2^x-4}{-2x^6+x^4}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Die Exponentialfunktion ist von höherer Ordnung als die Polynomfunktion, daher ergibt der Grenzwert Unendlich. Wenn man jedoch das Positive durch das Negative dividiert, erhält man ein negatives Unendlichkeitszeichen:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{2^x-4}{-2x^6+x^4}=\frac{2^{+\infty}}{-2(+\infty)^6}=\frac{+\infty}{-\infty}=\bm{-\infty}$

Übung 18

Berechnen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion mit einer Quadratwurzel:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Der Zähler besteht aus einer Quadratwurzel, sein Grad ist also 2/2=1. Dann ist der Grad des Zählers gleich dem des Nenners, sodass die unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit wie folgt aufgelöst wird:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt{4x^2+1}}{-2x}= \cfrac{\sqrt{4(+\infty)^2}}{-2(\infty)}= \cfrac{+\infty}{-\infty} = \cfrac{\sqrt{4}}{-2}=\cfrac{2}{-2}=\bm{-1}$

Übung 19

Lösen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion mit zwei Radikalen:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Der Grad des Zählers ist 7/3=2,33 und der Grad des Nenners ist 5/2=2,5. Da der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners, ist die unbestimmte Unendlichkeitsgrenze zwischen Unendlich 0:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[3]{6x^7+2x^3}}{\sqrt{x^5-3x^4+2x}}=\cfrac{\sqrt[3]{6(+\infty)^7}}{\sqrt{(+\infty)^5}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Übung 20

Berechnen Sie den folgenden Grenzwert:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}$

Sehen Sie sich die Lösung an

Unabhängig vom Grad des Zählers ist das Ergebnis der unbestimmten Form Unendlich über Unendlich 0, da wir im Nenner eine Exponentialfunktion haben:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\sqrt[5]{x^7-2x^5-1}}{4^{x-2}+3x}=\cfrac{\sqrt[5]{(+\infty)^7}}{4^{+\infty-2}}=\cfrac{+\infty}{+\infty}=\bm{0}$

Übung 21

Bestimmen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden rationalen Funktion:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Zuerst versuchen wir, den Grenzwert zu berechnen, indem wir Unendlich in die Funktion einsetzen:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4}\right)=\frac{(+\infty)^3+1}{+\infty-1}-\frac{+\infty}{4} = \bm{+\infty -\infty}$

Aber wir finden die Unbestimmtheit ∞ – ∞. Deshalb bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{(x^3+1)\cdot4}{(x-1)\cdot4}-\frac{x\cdot(x-1)}{4\cdot (x-1)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)\end{array}$

Und da die beiden Brüche nun den gleichen Nenner haben, können wir sie zu einem einzigen Bruch zusammenfassen:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+4-(x^2-x)}{4x-4}$

Wir machen die Klammern des Zählers:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}$

Und schließlich bestimmen wir den Grenzwert:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}=\frac{4(+\infty)^3}{4(+\infty)}=\frac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}$

In diesem Fall ergibt die Unbestimmtheit ∞/∞ +∞, da der Grad des Zählers größer ist als der Grad des Nenners.

Übung 22

Lösen Sie den Grenzwert der folgenden Bruchfunktion, wenn x sich 0 nähert:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Wir versuchen zunächst wie gewohnt den Grenzwert zu berechnen:

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\frac{-3\cdot0-2}{0^4}-\frac{5}{0^2}=\frac{-2}{0}-\frac{5}{0}=\bm{\infty-\infty}$

Aber wir erhalten die unbestimmte Form ∞-∞. Wir müssen daher die Brüche der Funktion auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

In diesem Fall ist x ⁴ ein Vielfaches von x ² . Durch die einfache Multiplikation von Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit x ² stellen wir sicher, dass beide Brüche denselben Nenner haben:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5\cdot x^2}{x^2\cdot x^2} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)\end{array}$

Wir können nun die beiden Brüche subtrahieren:

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{-3x-2-5x^2 }{x^4}$

Wir versuchen das Limit erneut aufzulösen:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{-3x-2-5x^2 }{x^4} =\cfrac{-3\cdot 0-2-5\cdot 0^2}{0^4}=\frac{-2}{0}$

Aber am Ende haben wir die Unbestimmtheit einer Konstante, die bei Null beginnt. Daher ist es notwendig, die seitlichen Grenzen der Funktion zu berechnen.

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Lösung des Grenzwerts -∞ lautet, da die beiden seitlichen Grenzen der Funktion am Punkt x=0 -∞ ergeben:

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty\ \longrightarrow \ \lim_{x \to 0}f(x)= \bm{-\infty}$

Übung 23

Lösen Sie den unendlichen Grenzwert der folgenden Funktion mit Wurzeln:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Beim Versuch, den Grenzwert zu lösen, erhalten wir die Unbestimmtheit Unendlich minus Unendlich:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)=4(+\infty)^2-\sqrt{(+\infty)^4}=\bm{+\infty -\infty}$

Da die Funktion Radikale enthält, muss sie daher multipliziert und durch den konjugierten Radikalausdruck dividiert werden:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1} \right)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)\cdot\left(4x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

Im Zähler haben wir das bemerkenswerte Produkt einer Summe und einer Differenz, das gleich der Differenz der Quadrate ist. Noch:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(4x^2\right)^2-\left(\sqrt{x^4+1}\right)^2}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

Wir vereinfachen das Radikal zum Quadrat:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\bigl(4x^2\bigr)^2-(x^4+1)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

Wir operieren mit dem Zähler:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{16x^4-x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

Und schließlich finden wir die Grenze:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}=\frac{15(+\infty)^4}{4(+\infty)^2+\sqrt{(+\infty)^4}}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}$

In diesem Fall ist die Unbestimmtheit Unendlich geteilt durch Unendlich unendlicher, weil der Grad des Zählers größer ist als der Grad des Nenners (denken Sie daran, dass die Quadratwurzel den Grad um zwei reduziert:

$\sqrt{x^4} = x^{4/2} = x^2$

Übung 24

Lösen Sie den Grenzwert, wenn x sich der Unendlichkeit der folgenden irrationalen Funktion nähert:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Zunächst versuchen wir wie gewohnt den Grenzwert zu berechnen:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)=2(+\infty)-\sqrt{4(+\infty)^2}=\bm{+\infty -\infty}$

Dies führt aber zur Unbestimmtheit der Differenz der Unendlichkeiten. Da die Funktion Wurzeln hat, müssen wir daher den Ausdruck mit dem konjugierten Radikal multiplizieren und dividieren:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)\cdot\left(2x-1+\sqrt{4x^2+1}\right)}{2x-1 +\sqrt{4x^2+1}}$

Wir gruppieren die bemerkenswerte Gleichheit des Zählers des Bruchs:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

Wir lösen die Quadratwurzel:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

Wir lösen die bemerkenswerte Identität des Quadrats einer Differenz:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

Wir operieren mit dem Zähler:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-4x^2-1}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

Und schließlich berechnen wir den Wert des Grenzwerts im Unendlichen:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x }{2x-1 +\sqrt{4x^2+1} } = \cfrac{-4(+\infty) }{2(+\infty)+\sqrt{4(+\infty)^2} } = \cfrac{-\infty}{+\infty} =$

Auch wenn im Nenner ein x zum Quadrat steht, ist sein Grad tatsächlich 1, da er innerhalb einer Wurzel liegt:

$\sqrt{4x^2} =\sqrt{4}\cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{4}\cdot x^{2/2} =\sqrt{4} x^1=\sqrt{4}x .$

Daher ist das Ergebnis der Unbestimmtheit -∞/+∞ die Division der Koeffizienten von x mit dem höchsten Grad, da der Grad des Zählers derselbe ist wie der Grad des Nenners.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1} }=\frac{-\infty}{+\infty}=\frac{-4}{2+\sqrt{4}}=\frac{-4}{2+2}=\frac{-4}{4}=\bm{-1}$

Beachten Sie, dass der Nenner zwei Terme ersten Grades enthält

$\bigl(2x$

Und

$\sqrt{4x^2}\bigr)$

, um die Unbestimmtheit -∞/+∞ aufzulösen, ist es notwendig, alle Koeffizienten der Terme ersten Grades zu nehmen, also die

$2$

von

$2x$

und das

$\sqrt{4}$

von

$\sqrt{4x^2}.$

Übung 25

Berechnen Sie den Grenzwert, wenn x sich 1 der folgenden Funktion mit Brüchen nähert:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$

Sehen Sie sich die Lösung an

Indem wir versuchen, den Grenzwert festzulegen, erhalten wir den unbestimmten Grenzwert von Unendlich minus Unendlich:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\frac{1}{1-1}--\frac{3}{1-1^3}=\frac{1}{0}-\frac{3}{0}=\bm{\infty-\infty}$

Wir müssen also die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, oder mit anderen Worten, wir müssen den Zähler und den Nenner des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen multiplizieren:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\left( \frac{1\cdot(1-x^3)}{(1-x)\cdot(1-x^3)}-\frac{3\cdot(1-x)}{(1-x^3)\cdot(1-x)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)\end{array}$

Und da nun die beiden Brüche den gleichen Nenner haben, können wir sie zusammensetzen:

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)=\lim_{x\to 1}\frac{1-x^3-(3-3x)}{1-x-x^3+x^4}$

Wir betreiben:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{1-x^3-3+3x}{1-x-x^3+x^4}$

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \cfrac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}$

Und wir versuchen das Limit noch einmal zu lösen:

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\frac{-1^3+3\cdot1-2}{1^4-1^3-1+1}=\mathbf{\frac{0}{0}}$

Aber wir finden die Unbestimmtheit Null dividiert durch Null. Wir müssen daher die Polynome des Zählers und des Nenners faktorisieren:

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-x^3+3x-2}{x^4-x^3-x+1}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x^2+x+1)}$

Jetzt vereinfachen wir den Bruch, indem wir den Faktor entfernen, der sich im Zähler und Nenner wiederholt:

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-\cancel{(x-1)^2}(x+2)}{\cancel{(x-1)^2}(x^2+x+1)}=\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}$

Und schließlich lösen wir das Limit auf:

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}=\frac{-(1+2)}{1^2+1+1}=\frac{-3}{3}=\bm{-1}$

Grenzen bis ins unendliche

Grenzwert einer Funktion, wenn x gegen Unendlich geht

So lösen Sie Grenzen im Unendlichen

Beispiele für Grenzen bis zur Unendlichkeit

Unbestimmte Grenzen bis zur Unendlichkeit

Unendliche Unbestimmtheit zwischen dem Unendlichen

Unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit und Wurzeln

Unendliche Unbestimmtheit zwischen Unendlichkeit und Exponentialfunktionen

Unendliche minus unendliche Unbestimmtheit

Unbestimmtheit unendlich minus unendlich mit Brüchen

Unbestimmtheit unendlich minus unendlich mit Wurzeln

Übungen zu Grenzen im Unendlichen gelöst

Übung 1

Übung 2

Übung 3

Übung 4

Übung 5

Übung 6

Übung 7

Übung 8

Übung 9

Übung 10

Übung 11

Übung 12

Übung 13

Übung 14

Übung 15

Übung 16

Übung 17

Übung 18

Übung 19

Übung 20

Übung 21

Übung 22

Übung 23

Übung 24

Übung 25

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